高考数学一轮复习练案57第八章解析几何第八讲曲线与方程含解析 8页

‎ [练案57]第八讲　曲线与方程 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．(2019·云南质量检测)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　D　)‎ A．x2＋y2＝2　　 B．x2＋y2＝4‎ C．x2＋y2＝2(x≠±)　　 D．x2＋y2＝4(x≠±2)‎ ‎[解析]　MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D.‎ ‎2．方程lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是(　D　)‎ ‎3．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　D　)‎ A．双曲线　　 B．椭圆 C．圆　　 D．抛物线 ‎[解析]　连接MF，由中垂线性质知|MB|＝|MF|，‎ 即M到定点F的距离与它到直线x＝－1距离相等．‎ ‎∴点M的轨迹是抛物线，∴D正确．‎ ‎4．(2019·金华模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　D　)‎ A．2x＋y＋1＝0　　 B．2x－y－5＝0‎ C．2x－y－1＝0　　 D．2x－y＋5＝0‎ ‎[解析]　设Q(x，y)，∵|PM|＝|MQ|，∴M为线段PQ的中点，∴则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.‎ ‎5．(2019·四川雅安调研)设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是(　B　)‎ - 8 -‎ A．圆　　 B．两条平行直线 C．抛物线　　 D．双曲线 ‎[解析]　设P(1，a)，Q(x，y)．以点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，＝－1，x＝－ay，∵|OP|＝|OQ|，∴1＋a2＝x2＋y2＝a2y2＋y2＝(a2＋1)y2，而a2＋1>0，∴y2＝1，∴y＝1或y＝－1，∴动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直线．‎ ‎6．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”，以下曲线不是“好曲线”的是(　B　)‎ A．x＋y＝5　　 B．x2＋y2＝9‎ C.＋＝1　　 D．x2＝16y ‎[解析]　M点的轨迹是双曲线 －＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x2＋y2＝9与M点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点，所以圆x2＋y2＝9不是“好曲线”．‎ ‎7．(2019·大同模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　D　)‎ A．y2＝2x　　 B．(x－1)2＋y2＝4‎ C．y2＝－2x　　 D．(x－1)2＋y2＝2‎ ‎[解析]　如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，‎ 连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.‎ 又∵|PA|＝1，∴|PM|＝＝，‎ 即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.‎ ‎8．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　A　)‎ A．x2＝2y－1　　 B．x2＝2y－ C．x2＝y－　　 D．x2＝2y－2‎ ‎[解析]　把抛物线方程y＝x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1)，‎ - 8 -‎ 设P(x0，y0)，PF的中点为M(x，y)．‎ 由中点坐标公式得，∴ 又∵P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，‎ ‎∴2y－1＝(2x)2，即x2＝2y－1，故选A.‎ ‎9．(2019·江西省萍乡市模拟)已知动圆C经过点A(2,0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是(　D　)‎ A．圆　 B．椭圆　‎ C．双曲线　 D．抛物线 ‎[解析]　‎ 设圆心C(x，y)，弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2，∴|CA|2＝|BC|2＝|BE|2＋|CE|2，∴(x－2)2＋y2＝22＋x2，化为y2＝4x，y2＝4x为抛物线．‎ 二、多选题 ‎10．当α∈(，)时，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示的轨迹可以是(　ACD　)‎ A．两条直线　　 B．圆 C．椭圆　　 D．双曲线 ‎[解析]　当α∈(，)时，sin α∈(，1)，∈(1，)，cos α∈(0，)，∈(，＋∞)，‎ >>0.‎ 方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1，‎ 表示焦点在y轴上的椭圆．‎ 当α＝时，sin α＝1，cos α＝0，方程x2sin α＋y2cos α＝1化为x2＝1，x＝±1，表示两条直线．‎ 当α∈(，)时，‎ - 8 -‎ sin α∈(，1)，∈(1，)，‎ cos α∈(－，0)，∈(－∞，－)，‎ 方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为－＝1，‎ 表示焦点在x轴上的双曲线．‎ 所以曲线不可能表示圆，故选A、C、D.‎ ‎11．已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　AC　)‎ A．C的方程为－y2＝1‎ B．C的离心率为 C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点 D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点 ‎[解析]　对于选项A：由已知可设所求双曲线方程为x2－y2＝λ，又双曲线C过点(3，)，从而×32－()2＝λ，即λ＝1，从而A正确；对于选项B：由双曲线方程可知a＝，b＝1，c＝2，从而离心率为e＝＝＝，所以B错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为(2,0)，满足y＝ex－2－1，从而C正确；对于选项D：联立，整理，得y2－2y＋2＝0，由Δ＝(2)2－4×2＝0，知直线与双曲线C只有一个交点，D错误．故选A、C.‎ 三、填空题 ‎12．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是　＋＝1(y≠0)　.‎ ‎[解析]　设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎13．(2019·江西九江联考)设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为__y2＝4x__.‎ - 8 -‎ ‎[解析]　设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由＝2，得即因为⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0，即－x＋y2＝0，所以点N的轨迹方程为y2＝4x.‎ 四、解答题 ‎14．(2019·四川成都诊断)已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足＝3，记动点P的轨迹方程为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设不经过点H(0,1)的直线y＝2x＋t与曲线C相交于M，N若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值．‎ ‎[解析]　(1)设P(x，y)，A(m,0)，B(0，n)，‎ ‎∵＝3，‎ ‎∴(x，y－n)＝3(m－x，－y)＝(‎3m－3x，－3y)，‎ 即，∴.‎ 又|AB|＝4，∴m2＋n2＝16.从而＋16y2＝16.‎ ‎∴曲线C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 联立，消去y，得37x2＋36tx＋9(t2－1)＝0，‎ 由Δ＝(36t)2－4×37×9(t2－1)>0，‎ 可得－8＝|C‎1C2|，‎ 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，‎ 且‎2a＝16,‎2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝4.‎ 故所求的轨迹方程为＋＝1.故选D.‎ ‎2．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　C　)‎ A．－＝1　　 B．－＝1‎ C.－＝1(x＞3)　　 D．－＝1(x＞4)‎ - 8 -‎ ‎[解析]　如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．‎ ‎3．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　A　)‎ A．y2－＝1(y≤－1)　　 B．y2－＝1‎ C．y2－＝－1　　 D．x2－＝1‎ ‎[解析]　显然|AC|＝13，|BC|＝15，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝2.∴F的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的下支，故选A.‎ ‎4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为__y2＝4(x－2)__.‎ ‎[解析]　设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由＝，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)．‎ 得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.‎ 由联立得x＝x1＋x2＝.‎ y＝y1＋y2＝，消去参数k，得y2＝4(x－2)．‎ ‎5．(2019·课标Ⅱ，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；‎ ‎(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.‎ ‎①证明：△PQG是直角三角形；‎ ‎②求△PQG面积的最大值．‎ ‎[解析]　(1)由题设得·＝－，‎ 化简得＋＝1(|x|≠2)，‎ - 8 -‎ 所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．‎ ‎(2)①设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)，‎ 由得x＝±.‎ 记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．‎ 于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．‎ 由 得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①‎ 设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，‎ 故xG＝，由此得yG＝.‎ 从而直线PG的斜率为＝－.‎ 所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．‎ ‎②由①得|PQ|＝2u，|PG|＝，‎ 所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝‎ ＝ 设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号，‎ 因为S＝在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，‎ 即k＝1时，S取得最大值，最大值为.‎ 因此，△PQG面积的最大值为.‎ - 8 -‎