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- 2021-06-11 发布
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直线的斜率与倾斜角
(答题时间:40分钟)
*1. 对于下列命题:
①若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180°;
②若k是直线的斜率,则k∈R;
③任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率;
④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角。
其中正确命题的个数是________个。
*2. 斜率为2的直线经过A(3,5)、B(a,7)、C(-1,b)三点,则a、b的值分别为________。
**3. 若直线l沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来位置,那么直线l的斜率是________。
**4. 直线l过原点(0,0),且不过第三象限,那么l的倾斜角α的取值范围是________。
**5. 若过P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为0°,则a=________。
***6. 直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点。则直线l的倾斜角的取值范围为____________。
***7. 已知直线l过P(-2,-1),且与以A(-4,2)、B(1,3)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围。
**8. 已知点A(1,2),在坐标轴上求一点P,使直线PA的倾斜角为60°。
**9. 已知实数x、y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求的最大值和最小值。
3
1. 3 解析:①②③正确。
2. 4、-3
解析:由题意,得,即,解得a=4,b=-3。
3. - 解析:设P(a,b)为l上任一点,经过平移后,点P到达点Q(a-3,b+1),此时直线PQ与l重合。故l的斜率k=kPQ==-。
4. [90°,180°)或α=0°
解析:倾斜角的取值范围为0°≤α<180°,直线过原点且不过第三象限,切勿忽略x轴和y轴。
5. 1 解析:由题意得1+a=2a,∴a=1。
6. [0°,45°]∪(90°,180°)
解析:直线l的斜率k==1-m2≤1。
若l的倾斜角为α,则tan α≤1。
又∵α∈[0°,180°),
当0≤tan α≤1时,0°≤α≤45°;
当tan α<0时,90°<α<180°。∴α∈[0°,45°]∪(90°,180°)。
7. 解:根据题中的条件可画出图形,如图所示:
又可得直线PA的斜率kPA=-,
直线PB的斜率kPB=,
结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90°,故斜率的取值范围为[,+∞);
当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时,它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角,故斜率的变化范围是(-∞,-]。
综上可知,直线l的斜率的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞)。
8. 解:①当点P在x轴上时,设点P(a,0),
∵A(1,2),∴k==。
又∵直线PA的倾斜角为60°,
3
∴tan 60°=。解得a=1-。
∴点P的坐标为。
②当点P在y轴上时,设点P(0,b),
同理可得b=2-,∴点P的坐标为(0,2-)。
综上,所以P点坐标为或(0,2-)。
9. 解:如图所示,由于点(x,y)满足关系式2x+y=8,且2≤x≤3,
可知点P(x,y)在线段AB上移动,并且A、B两点的坐标可分别求得为A(2,4),B(3,2)。
由于的几何意义是直线OP的斜率,
且kOA=2,kOB=,
所以可求得的最大值为2,最小值为。
3
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