宁夏六盘山高级中学2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题 5页

绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学2020届高三第三次模拟考试 理科数学试卷 命题： 审题： ‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则( )‎ ‎ A、 B、 ‎ ‎ C、 D、‎ ‎2．在复平面内，复数和对应的点分别是和，则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序 ‎ 号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据 ‎ 图像，给出下列结论：‎ ‎①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；‎ ‎②二班成绩不够稳定，波动程度较大；‎ ‎③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升。‎ 其中正确结论的个数为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，堤有 ‎ 九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？若 ‎ ‎ 记堤与枝的个数分别为，现有一个等差数列，其前项和为，且，‎ ‎ ，则（ ）‎ ‎ A、84 B、‎159 ‎C、234 D、243‎ ‎5. 已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（ ）‎ ‎ A、2 B、‎4 ‎C、 D、‎ ‎6. 设ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，‎ ‎ 则∠B=（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎7．已知等边的边长为，若，，则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎8．已知直三棱柱中，，，，则异 ‎ 面直线与所成角的余弦值为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9. 若函数（其中，图象的一个对称中心为，，‎ ‎ 其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到 ‎ 的图象，则只要将的图象( )‎ ‎ A、向右平移个单位长度 B、向左平移个单位长度 ‎ C、向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度 ‎10. 已知满足，则（ ）‎ ‎ A、 B、 C、3 D、‎ ‎11．已知函数是定义在上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意 ‎ 的都有恒成立，则( )‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎12．已知为抛物线：()的焦点，过点且斜率为的直线与 ‎ 曲线交于、两点，过与中点的直线与曲线交于点，则的 ‎ 取值范围是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 已知函数，且，则实数a的值等于______.‎ ‎14. 很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录 ‎ ‎ 验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码 ‎ ‎ 称为“递增型验证码”(如)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首 ‎ 位数字是的概率为___________．‎ ‎15. 如图所示，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积 ‎ 最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是___________．‎ ‎16. 已知函数，若 ‎ 有且仅有一个整数根，则实数的取值范围是___________．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ （一） 必考题：共60分.‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.‎ ‎（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.‎ ‎（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；‎ ‎（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为，求的分布列及期望.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 三棱柱中, ，且，‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)若，在棱上是否存在点，‎ 使得二面角的大小为。若存在，‎ 求的长；若不存在，说明理由.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设椭圆()的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率。‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上)，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎(1)若曲线在点处的切线的斜率小于，求的单调区间；‎ ‎(2)对任意的，()，恒有，求正数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为(为参数，为的倾斜角，)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。曲线：，曲线：。‎ ‎(1)若直线与曲线有且仅有一个公共点，求直线的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线与曲线交于不同两点、，与交于不同两点、，这四点从左至右依次为、、、，求的取值范围.‎ ‎23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，若的最小值为2，求的最小值.‎