【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷06 等比数列（原卷版） 4页

2021 年高考数学一轮复习等比数列创优测评卷(新高考专用) 一、单选题(共 60 分,每题 5 分) 1．等比数列 中， ， ，函数 .则 ( ) A． B． C． D． 2．等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 2 3 22 ,a a a S  是 1S 与 3mS 的等比中项，则 m 的值为（ ） A．1 B． 9 7 C． 6 7 D． 1 2 3．已知等比数列{ }na 的公比 0q  ,其前 n 项和为 nS ,则 9 8a S 与 8 9a S 的大小关系是 A． 9 8 8 9a S a S B． 9 8 8 9a S a S C． 9 8 8 9a S a S D． 9 8a S 与 8 9a S 的大小不确定 4．已知曲线 1: ( 0)C y xx   及两点 1 1( ,0)A x 和 2 2( ,0)A x ，其中 2 1 0x x  ．过 1A ， 2A 分别作 x 轴的垂线， 交曲线C 于 1B ， 2B 两点，直线 1 2B B 与 x 轴交于点 3 3( ,0)A x ，那么（ ） A． 3 1 2, ,2 xx x 成等差数列 B． 3 1 2, ,2 xx x 成等比数列 C． 1 3 2, ,x x x 成等差数列 D． 1 3 2, ,x x x 成等比数列 5．已知函数    2 2 1f x x Rx   ，若等比数列 na 满足 1 2019 1a a  ，则        1 2 3 2019......f a f a f a f a     （ ） A．2019 B． 2019 2 C．2 D． 1 2 6．设 ( )f x 为一次函数，若 (0) 1f  ，且 (1)f ， (4)f ， (13)f 成等比数列，则 (2) (4) (6) (2 )f f f f n   的值为( ) A． (2 3)n n  B． ( 4)n n  C． 2 (2 3)n n  D． 2 (2 4)n n  7．给定公比为 的等比数列 ，设 ， ，则数列 （ ）． A．是等差数列 B．是公比为 的等比数列 C．是公比为 的等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 8．已知 , ,   成公比为 2 的等比数列，  0,2  ，且sin ,sin ,sin   也成等比数列，则 的值为（ ） A． 2 3  或 0 B． 4 3  C． 2 3  或 4 3  D． 2 3  或 4 3  或 0 9．已知等比数列 na 中， 23a ， 22a ， 4a 成等比数列，设 nS 为数列 na 的前 n 项和，则 3 nS a 等于（ ）． A．13 9 B．3或13 9 C．3 D． 7 9 10．若正数 a ，b ， c 成等比数列，则下列三数中成等比数列的是（ ） A．10a ，10b ，10c B． lg a ， lgb ， lg c C． lg3 a ， lg3 b ， lg3 c D． a ， 3 b ， 4 c 11．设 na 为等比数列，给出四个数列：① 2 na ，② 2 na ，③ 2 na ，④ 2log | |na .其中一定为等比数 列的是（ ） A．①③ B．②④ C．②③ D．①② 12．定义在 ( ,0) (0, )  上的函数  f x ，如果对于任意给定的等比数列 na ，若   nf a 仍是等比 数列，则称  f x 为“保等比数列函数”，现有定义在 ( ,0) (0, )  上的如下函数：①   2f x x ； ②   xf x e ； ③ ( ) | |f x x ；④  f x  ln x ，则其中是“保等比数列函数  f x 的序号为（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 二、填空题(共 20 分,每题 5 分) 13．已知等比数列 na 中， 1 3 4 6 510, 4a a a a    ，则等比数列 na 的公比 q  __________． 14．等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若  2 1 3 2 14n nS a a a      n N  ，则该等比数列 na 的公比 为______ 15．记 nS 为等比数列 na 的前 n 项和，若数列 12nS a 也为等比数列，则 4 3 S S ________. 16．数列 na 为等比数列， nS 是等比数列 na 的前 n 项和，已知 1 3 5 2 4( ) 2015a a a a a     ，则 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 2016a a a a a     ，则 5S = . 三、解答题 17．(10 分)已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，公比 0q  ， 2 22 2S a  ， 3 4 2S a  ． （1）求等比数列 na 的通项公式； （2）设 2logn nb a ，求 1 1{ } n nb b  的前 n 项和 nT ． 18．(10 分)已知公差不为 0 的等差数列 na 的前 n 项和 nS ， 1 1S  ， 3S ， 4S 成等差数列，且 1a ， 2a ， 5a 成 等比数列. （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 4S ， 6S ， nS 成等比数列，求 n 及此等比数列的公比. 19．(12 分)已知数列 na 和 nb 满足： 1 1a  ， 2 2a  ， 0na  ，  * 1n n nb a a n N  ，且 nb 是以 q为 公比的等比数列. (1)证明： 2 2n na a q  ； (2)若 2 1 22n n nc a a  ，证明数列 nc 是等比数列； (3)求和： 1 2 3 4 2 1 2 1 1 1 1 1 1 n na a a a a a      . 20．(12 分)如果数列 na 同时满足：（1）各项均不为 0 ，（2）存在常数 k, 对任意 * 2 1 2, n n nn N a a a k    都成立，则称这样的数列 na 为“类等比数列” .由此等比数列必定是“类等比数列” .问： （1）各项均不为 0 的等差数列 nb 是否为“类等比数列”？说明理由. （2）若数列 na 为“类等比数列”，且 1 2,a a a b  (a，b 为常数)，是否存在常数λ，使得 2 1n n na a a   对任意 *n N 都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例． （3）若数列 na 为“类等比数列”，且 1 2,a a a b  ， 2 2 k a b (a，b 为常数)，求数列 的前 n 项之 和 nS ；数列 nS 的前 n 项之和记为 ，求 4 3 ( )kT k N    . 21．(12 分)若数列各项均非零，且存在常数 k ，对任意 *n N ， 2 1 2n n na a a k   恒成立，则成这样的数列 为“类等比数列”，例如等比数列一定为类等比数列，则： （1）各项均非零的等差数列是否可能为“类等比数列”？若可能，请举例；若不能，说明理由； （2）已知数列 na 为“类等比数列”，且 1 2,a a a b  ，是否存在常数  ，使得 2 1n n na a a   恒成立？ （3）已知数列 na 为“类等比数列”，且 2 2 1 2, ,a a a b k a b    ，求 1 2 2019S S S   . 22．(14 分)已知数列 na 满足 1 6a  ， 2 12a  ， 3 72a  ， 1 2n n nb a a   *nN ，且 nb 是等比数列． （1）求数列 nb 的通项公式； （2）①求证： 14 n n a    为等比数列； ②求证：对于任意 *nN ，都有 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1...4 3n na a a a       成立．