人教A版选修1-11-4-1生活中的优化问题举例（1）（含答案） 5页

§1．4．1 生活中的优化问题举例(1) 【学情分析】： 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、 效率最值问题。 【教学目标】： 1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。 2.提高将实际问题转化为数学问题的能力. 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能 力 3．体会导数在解决实际问题中的作用. 【教学重点】： 利用导数解决生活中的一些优化问题． 【教学难点】： 将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。 【教学突破点】： 利用导数解决优化问题的基本思路： 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题优化问题 用导数解决数学问题优化问题的答案 【教法、学法设计】： 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计 意图 (1)复习引入：提问用导 数法求函数最值的基本 步骤 学生回答：导数法求函数最值的基本步骤 为课 题作 铺 垫. (2)典型例题讲解 例 1、 把边长为 a cm 的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正 方形(如图示)，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积 最大？ 解 设剪去的小方形的边长为 x ，则盒子的为 2( 2 )V x a x  (0 )2 ax  ， 求导数，得 2( 2 ) 4 ( 2 ) (2 )(6 )V a x x a x x a x a        ， 选择 一个 学生 感觉 不是 很难 的题 目作 为例 题， 令 0V  得 6 ax  或 2 ax  ，其中 2 ax  不合题意，故在区间 (0, )2 a 内只有一个根： 6 ax  ， 显然， 0 ( ) 0 ( ) 06 6 2 a a ax x x x     , ,时v 时v 因此，当四角剪去边长为 6 a cm 的小正方形时，做成的纸盒的容积 最大． 让学 生自 己体 验一 下应 用题 中最 优化 化问 题的 解 法。 (3) 利用导数解决优化 问题的基本思路： 1、 生活中的优化问题转化为数学问题 2、 立数学模型（勿忘确定函数定义域） 3、 利用导数法讨论函数最值问题 使学 生对 该问 题的 解题 思路 清析 化。 (4)加强巩固 1 例 2、铁路 AB 段长 100 千米，工厂 C 到铁路的距离 AC 为 20 千 米，现要在 AB 上找一点 D 修一条公路 CD，已知铁路与公路每吨 千米的运费之比为 3:5，问 D 选在何处原料从 B 运到 C 的运费最 省? 解： 设 AD 的长度为 x 千米，建立运费 y 与 AD 的长度 x 之间的 函数关系式，则 CD＝ 2 220 x ，BD＝100-x，公路运费 5k 元／Tkm，铁路运费 3k 元／Tkm y＝ 25 400 3 (100 )k x k x   ，  ( 0,100 )x 求出 f' (x)＝ 2 5 3 400 kx k x   ， 令 f’(x)＝0，得 3600＋9x2＝25x2 解得 x1＝15，x2＝-15(舍去)， ∵y(15)＝330k y(0)＝400k，y(100)≈510k ∴原料中转站 D 距 A 点 15 千米时总运费最省。 使学 生能 熟练 步 骤. (5) 加强巩固 2 例 3、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本 是 20.8 r 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大 半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为 r ，所以每瓶饮料的利润是   3 3 2 240.2 0.8 0.8 , 0 63 3 ry f r r r r r              令   20.8 ( 2 ) 0f r r r    解得 2r  （ 0r  舍去） 当  0 , 2r  时，   0f r  ；当  2 , 6r  时，   0f r  ． 当半径 2r  时，   0f r  它表示  f r 单调递增，即半径越大， 利润越高； 当半径 2r  时，   0f r  它表示  f r 单调递减，即半径越大， 利润越低． （1） 半径为 2 cm 时，利润最小，这时  2 0f  ，表示此种瓶 内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． （2） 半径为 6 cm 时，利润最大． 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察， 会有什么发现？ 有图像知：当 3r  时，  3 0f  ，即瓶子的半径为 3cm 时，饮料 的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当 3r  时，利润才为正值． 当  0 , 2r  时，   0f r  ，  f r 为减函数，其实际意义为： 瓶子的半径小于 2cm 时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为 2 cm 时，利润最小． 提高 提高 问题 的综 合 性， 锻炼 学生 能 力。 (6)课堂小结 1、 建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键 2、 要注意不能漏掉函数的定义域 3、 注意解题步骤的规范性 (7)作业布置:教科书 P104 A 组 1,2,3。 (8 备用题目： 1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20cm ，要使其体积最大，则其高为 （ A ） A 20 3 3 cm B 100cm C 20cm D 20 3 cm 2、设正四棱柱体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为 （A ） A 3 V B 3 2V C 3 4V D 32 V 3、设 8 分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为 4 。 4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是 4 。 5、某厂生产产品固定成本为 500 元，每生产一单位产品增加成本 10 元。已知需求函数为： 200 4q p  ，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：先求出利润函数的表达式： ( ) ( ) ( ) (500 10 )L q R q C q pq q     2200 1500 10 40 5004 4 q q q q q       再求导函数： 1( ) 402L q q    求得极值点：q ＝ 80。只有一个极值点，就是最值点。 故得：q ＝ 80 时，利润最大。最大利润是： 21(80) 80 40 80 500 11004L        注意：还可以计算出此时的价格：p ＝ 30 元。 6、用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方 形.然后把四边翻转 90 度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？ 最大容积是多少？ 48 48 2x 90 2x 48 2x x x 解：设容器高为 xcm，容器的体积为 V(x)，则 ( ) (90 2 )(48 2 )V x x x x   3 24 276 4320x x x   48 2 0,90 2 0, 0x x x     0 24x   2( ) ( ) 12 552 4320V x V x x x   求 导数得 12( 10)( 36)x x   令 1 2( ) 0 10, 36( )V x x x   解得 舍 (0,10) , '( ) 0, ( )x V x V x 当 时 那么 为增函数 (10,24) , '( ) 0, ( )x V x V x 当 时 那么 为减函数 , (0,24) , ( ) 10V x x 因此 在定义域 内 函数 只有当 时取得最大值 3(10) 10 (90 20) (48 20) 19600( )V cm     其最大值为 3: 10 , , 19600( )cm cm答 当容器的高为 时 容器的容积最大 最大容积为 令 1 2( ) 0 10, 36( )V x x x   解得 舍 (0,10) , '( ) 0, ( )x V x V x 当 时 那么 为增函数 (10,24) , '( ) 0, ( )x V x V x 当 时 那么 为减函数 , (0,24) , ( ) 10V x x 因此 在定义域 内 函数 只有当 时取得最大值 3(10) 10 (90 20) (48 20) 19600( )V cm     其最大值为 3: 10 , , 19600( )cm cm答 当容器的高为 时 容器的容积最大 最大容积为