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- 2021-06-11 发布
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2009年辽宁省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知集合M={x|-25}，则M∪N=( )
A.{x|x<-5或x>-2} B.{x|-55}
2. 已知复数z=1-2i，那么1z¯=( )
A.55+255i B.55-255i C.15+25i D.15-25i
3. 已知{an}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=( )
A.-2 B.-12 C.12 D.2
4. 平面向量a→与b→的夹角为60∘，a→=(2, 0)，|b→|=1，则|a→+2b→|=( )
A.3 B.23 C.4 D.12
5. 如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60∘纬线长和赤道长的比值为（ ）
A.0.8 B.0.75 C.0.5 D.0.25
6. 已知函数f(x)满足：x≥4，则f(x)=(12)x；当x<4时f(x)=f(x+1)，则f(2+log23)=( )
A.124 B.112 C.18 D.38
7. 已知圆C与直线x-y＝0及x-y-4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，则圆C的方程为（ ）
A.(x+1)2+(y-1)2＝2 B.(x-1)2+(y+1)2＝2
C.(x-1)2+(y-1)2＝2 D.(x+1)2+(y+1)2＝2
8. 已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=( )
A.-43 B.54 C.-34 D.45
9. ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）
A.π4 B.1-π4 C.π8 D.1-π8
10. 某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…aN，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）
A.A>0，V＝S-T B.A<0，V＝S-T C.A>0，V＝S+T D.A<0，V＝S+T
11. 下列4个命题
p1：∃x∈(0,+∞)，(12)x<(13)x
p2:∃x∈(0, 1)，log1/2x>log1/3x
p3：∀x∈(0,+∞)，(12)x>log1/2x
p4：∀x∈(0,13)，(12)x0)的图象如图所示，则ω=________．
15. 若函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取极值，则a=________．
16. 设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为 4 m3．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q；
(2)r若a1-a3=3，求Sn．
18. 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75∘，30∘，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60∘，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449）
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19. 如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；
（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
20. 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在(29.94, 30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：
甲厂
分组
[29.86, 29.90)
[29.90, 29.94)
[29.94，
29.98)
[29.98，
30.02)
[30.02，
30.06)
[30.06，
30.10)
[30.10，
30.14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂
分组
[29.86，
29.90)
[29.90，
29.94)
[29.94，
29.98)
[29.98，
30.02)
[30.02，
30.06)
[30.06，
30.10)
[30.10，
30.14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由于以上统计数据填下面2×2(3)列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
甲厂
乙厂
合计
优质品
非优质品
合计
附：x2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2，p(x2≥k)k0.050.013.8416.635．
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21. 设f(x)=ex(ax2+x+1)，且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行．
(1)求a的值，并讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当θ∈[0,π2]时，|f(cosθ)-f(sinθ)|<2．
22. （西安中学四模）已知，椭圆C过点A(1,32)，两个焦点为(-1, 0)，(1, 0)．
求椭圆C的方程；
E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
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参考答案与试题解析
2009年辽宁省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.A
2.D
3.B
4.B
5.C
6.A
7.B
8.D
9.B
10.C
11.D
12.A
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13.(0, -2)
14.32
15.3
16.4
三、解答题（共6小题，满分70分）
17.解：(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)，
由于a1≠0，故2q2+q=0，
又q≠0，从而q=-12.
(2)由已知可得a1-a1(-12)2=3，
故a1=4，
从而Sn=4[1-(-12)n]1-(-12)=83[1-(-12)n].
18.0.33 km
19.解：（1）解法一：
取CD的中点G，连接MG，NG．设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
则MG⊥CD，MG=2，NG=2．
∵ 平面ABCD⊥平面DCED，
∴ MG⊥平面DCEF，
∴ ∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．
∵ MN=MG2+GN2=6，∴ sin∠MNG=63为MN与平面DCEF所成角的正弦值
解法二：
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，
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分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．
则M(1, 0, 2)，N(0, 1, 0)，可得MN→=(-1, 1, -2)．
又∵ DA→=(0, 0, 2)为平面DCEF的法向量，
∴ cos(MN→, DA→)=||MN→||DA→|˙=-63•
∴ MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos(MN→，DA→)=63•
（2）假设直线ME与BN共面，
则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知，两正方形不共面，∴ AB⊄平面DCEF．
又∵ AB // CD，∴ AB // 平面DCEF．
∵ 面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴ AB // EN．
又∵ AB // CD // EF，
∴ EN // EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．
∴ ME与BN不共面，它们是异面直线．
20.解：(I)甲厂抽查的产品中有360件优质品，
从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500=72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，
从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500=64%
(II)
甲厂
乙厂
合计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
合计
500
500
1000
x2=1000×(360×180-320×140)2500×500×680×320
≈7.35>6.635，
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”
21.解：(I)f'(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1)．
由条件知，f'(1)=0，故a+3+2a=0⇒a=-1．
于是f'(x)=ex(-x2-x+2)=-ex(x+2)(x-1)．
故当x∈(-∞, -2)或(1, +∞)时，f'(x)<0；
当x∈(-2, 1)时，f'(x)>0．
从而f(x)在(-∞, -2)，(1, +∞)单调减少，在(-2, 1)单调增加．
(II)由(I)知f(x)在[0, 1]单调增加，
故f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)=e，
最小值为f(0)=1．
从而对任意x1，x2∈[0, 1]，有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2．
而当θ∈[0,π2]时，cosθ，sinθ∈[0, 1]．
从而|f(cosθ)-f(sinθ)|<2
22.x24+y23=1
证明：设直线AE的方程为：y=k(x-1)+32，
代入x24+y23=1得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+432-k2-12=0．
设E(xE, yE)，F(xF, yF)，因为点A1,32在椭圆上，
所以xE=432-k2-123+4k2，yE=kxE+32-k．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以-k代k，可得xF=432+k2-123+4k2，yF=-kxF+32+k．
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所以直线EF的斜率kEF=yF-yExF-xE=-k(xF+xE)+2kxF-xE=12，
即直线EF的斜率为定值，其值为12．
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