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- 2021-06-11 发布
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2009年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1. 若log2a<0，(12)b>1，则（ ）
A.a>1，b>0 B.00 C.a>1，b<0 D.0K，取函数f(x)=2-x-e-x．若对任意的x∈(+∞, -∞)，恒有fk(x)=f(x)，则（ ）
A.K的最大值为2 B.K的最小值为2 C.K的最大值为1 D.K的最小值为1
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
9. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
10. 在(1+x)3+(1+x)3+(1+3x)3的展开式中，x的系数为________（用数字作答）．
11. 若x∈(0, π2)则2tanx+tan(π2-x)的最小值为________．
12. 已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60∘，则双曲线C的离心率为________．
13. 一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数是________．
14. 在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC的距离为________；
（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为________．
15. 将正△ABC分割成n2(n≥2, n∈N)个全等的小正三 角形（图1，图2分别给出了n＝2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，f(3)＝________103 …，f(n)＝________16(n+1)(n+2) ．
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三、解答题（共6小题，满分75分）
16. 在△ABC，已知2AB→⋅AC→=3|AB→|⋅|AC→|=3BC2，求角A，B，C的大小．
17. 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的．
（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望．
18. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；
（2）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
19. 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
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20. 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(3, 0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和
（I）求点P的轨迹C；
（II）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值．
21. 对于数列{un}若存在常数M>0，对任意的n∈N'，恒有|un+1-un|+|un-un-1|+...+|u2-u1|≤M
则称数列{un}为B-数列
（1）首项为1，公比为q(|q|<1)的等比数列是否为B-数列？请说明理由；
（2）设Sn是数列{xn}的前n项和，给出下列两组论断；
A组：①数列{xn}是B-数列 ②数列{xn}不是B-数列
B组：③数列{Sn}是B-数列 ④数列{Sn}不是B-数列
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3）若数列{an}，{bn}都是B-数列，证明：数列{anbn}也是B-数列．
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参考答案与试题解析
2009年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1.D
【解释】
解：依题意，根据指数函数与对数函数的图象和单调性知0=0，可解得λ>0，
∴ λ1，λ2均大于0
根据图象有x1+λ1x>x1+λ2x
∴ 1+λ1x<1+λ2x
∴ λ1x<λ2x
∵ x≥0
∴ 0<λ1<λ2
故选A．
5.C
【解释】
解：∵ 丙没有入选，
∴ 只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，
∵ 甲、乙至少有1人入选，
∴ 由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法有：C21⋅C72=42，
另一类是甲乙都选的选法有C22⋅C71=7，
根据分类计数原理知共有42+7=49，
故选C．
6.B
【解释】
解：如图阴影部分表示x-2y≥0，x+3y≥0，确定的平面区域，所以劣弧AB的弧长即为所求．
∵ kOB=-13，kOA=12，
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∴ tan∠BOA=|12+131-12×13|=1，
∴ ∠BOA=π4．
∴ 劣弧AB的长度为2×π4=π2．
故选B．
7.C
【解释】
解：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF和FC1，
根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，
同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，
又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，
F为A1D1的中点，易计算FA=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点．
故选C．
8.D
【解释】
解：由题意可得出k≥f(x)最大值，
由于f'(x)=-1+e-x，令f'(x)=0，e-x=1=e0解出-x=0，即x=0，
当x>0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x<0时，f'(x)>0，f(x)单调递增．
故当x=0时，f(x)取到最大值f(0)=2-1=1．
故当k≥1时，恒有fk(x)=f(x)．
因此K的最小值是1．
故选D．
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
9.12
【解释】
解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15-x)人，只喜爱乒乓球的有(10-x)人，
由此可得(15-x)+(10-x)+x+8=30，解得x=3，
所以15-x=12，
即所求人数为12人，
故答案为：12．
10.7
【解释】
解：C31+C32+C33=23-1=7．
故答案为7
11.22
【解释】
解：2tanx+tan(π2-x)=2tanx+1tanx
∵ x∈(0, π2)，∴ tanx>0，
∴ 2tanx+1tanx≥22tanx⋅1tanx=22（当且仅当tanx=22时，等号成立）
故答案为：22．
12.62
【解释】
解：设双曲线C的焦点坐标是F1和F2，虚轴两个端点是B1和B2，则四边形F1B1F2B2为菱形．
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若∠B2F1B1=60∘，则∠B2F1F2=30∘．由勾股定理可知c=3b．∴ a=3b2-b2=2b，
故双曲线C的离心率为e=3b2b=62．
若∠F1B2F2=60∘，则∠F1B2B1=30∘，由勾股定理可知b=3c，不满足c>b，所以不成立．
综上所述，双曲线C的离心率为62．
答案：62．
13.40
【解释】
解：设B层中有n个个体，
∵ B层中甲、乙都被抽到的概率为128，
∴ 1Cn2=128，
∴ n2-n-56=0，
∴ n=-7（舍去），n=8.
∵ 总体分为A，B两层，其个体数之比为4:1，
∴ 共有个体(4+1)×8=40.
故答案为：40.
14.（1）12；（2）3．
【解释】
解：（1）AB=6，BC=8，CA=10，△ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点D，
AO=13，AD=5，球心到圆心的距离就是球心到平面ABC的距离，
即：OD=12
（2）过D作DE垂直AB于E，连接OE则∠OED就是过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角．
易得DE=4
所以tan∠OED=ODED=3
15.,
【解释】
由题意可得，
当n＝2时，根据等差数列的性质可得，A+B＝2D，A+C＝2E，B+C＝2F，且A+B+C＝1
2(D+E+F)＝2(A+B+C)＝2，D+E+F＝1
∴ f(2)＝2=3×46
当n＝3时，根据等差数列的性质可得，A+B＝D+E，A+C＝I+H，B+C＝F+G，且A+B+C＝1
从而可得D+E+H+I+F+F＝2(A+B+C)＝2
同样根据等差中项可得，M的数为13
∴ f(3)＝3+13=103=4×56
同理可得，f(4)＝5=5×66
f(n)=(n+1)(n+2)6
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三、解答题（共6小题，满分75分）
16.解：设BC=a，AC=b，AB=c
由2AB→⋅AC→=3|AB→||AC→|得2abcocA=3bc所以cosA=32
又A∈(0, π)因此A=π6由3|AB→||AC→|=3BC2得bc=3a2；
于是sinCsinB=3sin2A=34
所以sinCsin(5π6-C)=34，
∴ 2sinCcosC+23sin2C=3
即sin(2C-π3)=0
∵ A=π6∴ 0=|n→|⋅|AD→|˙=2310×3=105
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由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为105．
【解释】
解：（1）证明：如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1．
又DE⊂平面A1B1C1，
所以DE⊥AA1．
而DE⊥AE．AA1∩AE=A，
所以DE⊥平面ACC1A1．
又DE⊂平面ADE，
故平面ADE⊥平面ACC1A1．
（2）如图所求，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，
不妨设AA1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是
A(0, -1, 0)，B(3, 0, 0)，C1(0, 1, 2)，D(32, -12, 2)．
易知AB→=(3, 1, 0)，
AC1→=(0, 2, 2)，
AD→=(32, 12, 2)．
设n→=(x, y, z)是平面ABC1的一个法向量，
则有n→⋅AC1→=2y+2z=0˙
解得x=-33y，z=-2y．
故可取n→=(1, -3, 6)．
于是cos=|n→|⋅|AD→|˙=2310×3=105
由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为105．
19.解：（1）相邻桥墩间距x米，需建桥墩(mx-1)个
则y=256(mx-1)+(2+x)x⋅mx=256⋅mx+mx+2m-256，(026时，
f'(x)>0，f(x)单调递增，
026时，
f'(x)>0，f(x)单调递增，
02时，由①得(x-3)2+y2=6-12x，
化简得x236+y227=1．
当x≤2时由①得(3-x)2+y2=3+x
化简得y2=12x
故点P的轨迹C是椭圆C1：x236+y227=1在直线x=2的右侧
部分与抛物线C2:y2=12x在直线
x=2的左侧部分（包括它与直线x=2
的交点）所组成的曲线，参见图1
（II）如图2所示，
易知直线x=2与C1，C2的交点都是A(2, 26)，
B(2, -26)，直线AF，BF的斜
率分别为kAF=-26，kBF=26． 图2
当点P在C1上时，由②知|PF|=6-12x．④
当点P在C2上时，由③知|PF|=3+x⑤
若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k(x-3)
（1）当k≤kAF，或k≥kBF，即k≤-26时，直线I与轨迹C的两个交点M(x1, y1)，N(x_, y_)都在C1上，此时由④知
|MF|=6-12x1|NF|=6-12x_
从而|MN|=|MF|+|NF|=(6-12x1)+(6-12x_)=12-12(x1+x_)
由y=k(x-3)x236+y227=1得(3+4k2)x2-24k2x+36k2-108=0则x1，x是这个方程的两根，
所以x1+x_=24k23+4k2*|MN|=12-12(x1+x_)=12-12k23+4k2
因为当k≤26，或k≥26时，k2≥24，|MN|=12-12k23+4k2=12-121k2+4=10011．
当且仅当k=±26时，等号成立．
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（2）当kAE2时，由①得(x-3)2+y2=6-12x，
化简得x236+y227=1．
当x≤2时由①得(3-x)2+y2=3+x
化简得y2=12x
故点P的轨迹C是椭圆C1：x236+y227=1在直线x=2的右侧
部分与抛物线C2:y2=12x在直线
x=2的左侧部分（包括它与直线x=2
的交点）所组成的曲线，参见图1
（II）如图2所示，
易知直线x=2与C1，C2的交点都是A(2, 26)，
B(2, -26)，直线AF，BF的斜
率分别为kAF=-26，kBF=26． 图2
当点P在C1上时，由②知|PF|=6-12x．④
当点P在C2上时，由③知|PF|=3+x⑤
若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k(x-3)
（1）当k≤kAF，或k≥kBF，即k≤-26时，直线I与轨迹C的两个交点M(x1, y1)，N(x_, y_)都在C1上，此时由④知
|MF|=6-12x1|NF|=6-12x_
从而|MN|=|MF|+|NF|=(6-12x1)+(6-12x_)=12-12(x1+x_)
由y=k(x-3)x236+y227=1得(3+4k2)x2-24k2x+36k2-108=0则x1，x是这个方程的两根，
所以x1+x_=24k23+4k2*|MN|=12-12(x1+x_)=12-12k23+4k2
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因为当k≤26，或k≥26时，k2≥24，|MN|=12-12k23+4k2=12-121k2+4=10011．
当且仅当k=±26时，等号成立．
（2）当kAE
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