2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.5.1 直线与直线平行 11页

8.5 空间直线、平面的平行 8.5.1 直线与直线平行 学习目标 1.会判断空间两直线的位置关系.2.能用基本事实 4 和等角定理解决一些简单的 相关问题. 知识点一 基本事实 4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线 a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实 4 表述的性质通常叫做平行线的传递性 知识点二 空间等角定理 1.定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋ ∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答案 不一定，这两条直线可能相交、平行或异面. 1.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.( √ ) 2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.( × ) 3.如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直.( √ ) 4.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. ( √ ) 一、基本事实 4 的应用 例 1 (1)如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是 AB，BC，A′B′， B′C′的中点，求证：EE′∥FF′. 证明 ∵E，E′分别是 AB，A′B′的中点， ∴BE∥B′E′，且 BE＝B′E′. ∴四边形 EBB′E′是平行四边形， ∴EE′∥BB′，同理可证 FF′∥BB′. ∴EE′∥FF′. (2)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，E，F 分别为 AA1，CC1 的中点，求证：BFD1E 是平行四 边形. 证明 如图所示，取 BB1 的中点 G，连接 GC1，GE. 因为 F 为 CC1 的中点， 所以 BG∥FC1， 且 BG＝FC1. 所以四边形 BFC1G 是平行四边形. 所以 BF∥GC1，BF＝GC1， 又因为 EG∥A1B1，EG＝A1B1， A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1， 所以 EG∥C1D1，EG＝C1D1. 所以四边形 EGC1D1 是平行四边形. 所以 ED1∥GC1，ED1＝GC1， 所以 BF∥ED1，BF＝ED1， 所以四边形 BFD1E 是平行四边形. 反思感悟 基本事实 4 表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直 线，使所证的直线都与这条直线平行. 跟踪训练 1 如图，在三棱锥 P－ABC 中，G，H 分别为 PB，PC 的中点，M，N 分别为△PAB， △PAC 的重心，且△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求证：GH∥MN. 证明 如图，取 PA 的中点 Q，连接 BQ，CQ，则 M，N 分别在 BQ，CQ 上. ∵M，N 分别为△PAB，△PAC 的重心， ∴QM MB ＝QN CN ＝1 2 ，则 MN∥BC. 又 G，H 分别为 PB，PC 的中点， ∴GH∥BC，∴GH∥MN. 二、等角定理的应用 例 2 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是棱 CC1，BB1，DD1 的中点. 求证：∠BGC＝∠FD1E. 证明 因为 E，F，G 分别是正方体的棱 CC1，BB1，DD1 的中点， 所以 CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1， 所以四边形 CED1G 与四边形 BFD1G 均为平行四边形. 所以 GC∥D1E，GB∥D1F. 因为∠BGC 与∠FD1E 的两边方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E. 反思感悟 等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是 互补，还是两种情况都有可能. 跟踪训练 2 如图，已知在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 CD， AD 的中点.求证： (1)四边形 MNA1C1 是梯形； (2)∠DNM＝∠D1A1C1. 证明 (1)如图 ，连结 AC，在△ACD 中， ∵M，N 分别是 CD，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN∥AC，且 MN＝1 2AC. 由正方体的性质，得 AC∥A1C1，且 AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且 MN＝1 2A1C1， 即 MN≠A1C1， ∴四边形 MNA1C1 是梯形. (2)由(1)可知，MN∥A1C1. 又 ND∥A1D1，且∠DNM 与∠D1A1C1 的两边的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1. 1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 答案 D 解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾). 2.若 AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有( ) A.∠BAC＝∠B′A′C′ B.∠BAC＋∠B′A′C′＝180° C.∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180° D.∠BAC＋∠B′A′C′＝90° 答案 C 解 析 由 已 知 可 知 ∠BAC 和 ∠B′A′C′ 的 两 条 边 分 别 对 应 平 行 ， 所 以 ∠BAC 与 ∠B′A′C′相等或互补. 3.如图，空间四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相等，顺次连接各边中点 E，F，G，H，则四 边形 EFGH 一定是( ) A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.空间四边形 答案 C 解析 利用 E，F，G，H 分别为各边中点，可得这个四边形是平行四边形，再由对角线相 等可得四边形 EFGH 一定是菱形. 4.两等角的一组对应边平行，则( ) A.另一组对应边平行 B.另一组对应边不平行 C.另一组对应边不可能垂直 D.以上都不对 答案 D 解析 另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和空间等角定理(若两个角 的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别. 5.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( ) A.全等 B.不相似 C.仅有一个角相等 D.相似 答案 D 解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选 D. 1.知识清单： (1)基本事实 4 的应用. (2)等角定理的应用. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：用等角定理时，角度有可能相等或互补. 1.空间两条互相平行的直线指的是( ) A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 答案 D 2.不平行的两条直线的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面 答案 D 3.如图所示，在长方体木块 AC1 中，E，F 分别是 B1O 和 C1O 的中点，则长方体的各棱中与 EF 平行的有( ) A.3 条 B.4 条 C.5 条 D.6 条 答案 B 解析 EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1. 4.若空间三条直线 a，b，c 满足 a⊥b，b∥c，则直线 a 与 c( ) A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交 答案 B 解析 ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c. 5.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 答案 B 解析 假设 a 与 b 是异面直线，而 c∥a，则 c 显然与 b 不平行(否则 c∥b，则有 a∥b，矛盾)， c 与 b 可能相交或异面. 6.过直线 l 外两点可以作 l 的平行线的条数为________. 答案 0 条或 1 条 解析 以如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1 为例.令 A1B1 所在直线为直线 l，过 l 外的两点 A，B 可以作一条直线与 l 平行，过 l 外的两点 B，C 不能作直线与 l 平行. 7.对角线互相垂直的空间四边形 ABCD 各边的中点分别为 M，N，P，Q，则四边形 MNPQ 是________. 答案 矩形 解析 如图所示. ∵点 M，N，P，Q 分别是四条边的中点， ∴MN∥AC，且 MN＝1 2AC， PQ∥AC，且 PQ＝1 2AC， ∴MN∥PQ，且 MN＝PQ， ∴四边形 MNPQ 是平行四边形， 又∵AC⊥BD，NP∥BD， ∴PQ⊥NP， ∴四边形 MNPQ 是矩形. 8.如图所示，两个三角形△ABC 和△A′B′C′的对应顶点的连线 AA′，BB′，CC′交于 同一点 O，且 AO A′O ＝ BO B′O ＝ CO C′O ＝2 3 ，则 S△ABC S△A′B′C′ ＝________. 答案 4 9 解析 如图， AO A′O ＝ BO B′O ＝ CO C′O ＝2 3 ， 可证 AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′. 由等角定理∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴ S△ABC S△A′B′C′ ＝4 9. 9.如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中的面 A1C1 内有一点 P，经过点 P 作棱 BC 的平行 线，应该怎样画？并说明理由. 解 如图所示，在面 A1C1 内过点 P 作直线 EF∥B1C1，交 A1B1 于点 E，交 C1D1 于点 F，则 直线 EF 即为所求. 理由：因为 EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以 EF∥BC. 10.在梯形 ABCD 中，AB∥CD，E，F 分别为 BC 和 AD 的中点，将平面 DCEF 沿 EF 翻折起 来，使 CD 到 C′D′的位置，G，H 分别为 AD′和 BC′的中点，求证：四边形 EFGH 为 平行四边形. 证明 ∵在梯形 ABCD 中，AB∥CD，E，F 分别为 BC，AD 的中点， ∴EF∥AB 且 EF＝1 2(AB＋CD)， 又 C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB. ∵G，H 分别为 AD′，BC′的中点， ∴GH∥AB 且 GH＝1 2(AB＋C′D′)＝1 2(AB＋CD)， ∴GH∥EF 且 GH＝EF， ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 11.若直线 a，b 与直线 l 所成的角相等，则 a，b 的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.相交、平行、异面均可能 答案 D 12.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是侧面 AA1D1D，侧面 CC1D1D 的中心，G，H 分别是线段 AB，BC 的中点，则直线 EF 与直线 GH 的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 答案 C 解析 如图，连接 AD1，CD1，AC， 则 E，F 分别为 AD1，CD1 的中点.由三角形的中位线定理，知 EF∥AC，GH∥AC，所以 EF∥GH. 13.(多选)如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，以 下结论正确的是( ) A.直线 AM 与 CC1 是相交直线 B.直线 AM 与 BN 是平行直线 C.直线 BN 与 MB1 是异面直线 D.直线 AM 与 DD1 是异面直线 答案 CD 解析 直线 AM 与 CC1 是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故 AB 错误；CD 正确. 14.已知 E，F，G，H 为空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，若AE AB ＝AH AD ＝1 2 ， CF CB ＝CG CD ＝1 3 ，则四边形 EFGH 的形状为________. 答案 梯形 解析 如图， 在△ABD 中，∵AE AB ＝AH AD ＝1 2 ， ∴EH∥BD 且 EH＝1 2BD. 在△BCD 中，∵CF CB ＝CG CD ＝1 3 ， ∴FG∥BD 且 FG＝1 3BD，∴EH∥FG 且 EH>FG， ∴四边形 EFGH 为梯形. 15.如图所示，已知三棱锥 A－BCD 中，M，N 分别为 AB，CD 的中点，则下列结论正确的 是( ) A.MN≥1 2(AC＋BD) B.MN≤1 2(AC＋BD) C.MN＝1 2(AC＋BD) D.MN<1 2(AC＋BD) 答案 D 解析 如图所示，取 BC 的中点 E，连接 ME，NE，则 ME＝1 2AC，NE＝1 2BD， 所以 ME＋NE＝1 2(AC＋BD). 在△MNE 中，有 ME＋NE>MN， 所以 MN<1 2(AC＋BD). 16.如图，E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 各边上的点，且有 AE∶EB＝AH∶HD＝m， CF∶FB＝CG∶GD＝n. (1)证明：E，F，G，H 四点共面； (2)m，n 满足什么条件时，四边形 EFGH 是平行四边形？ (3)在(2)的条件下，若 AC⊥BD，试证明：EG＝FH. (1)证明 ∵AE∶EB＝AH∶HD，∴EH∥BD. 又∵CF∶FB＝CG∶GD，∴FG∥DB. ∴EH∥FG.∴E，F，G，H 四点共面. (2)解 当且仅当 EH∥FG 且 EH＝FG 时，四边形 EFGH 为平行四边形. ∵EH BD ＝ AE AE＋EB ＝ m m＋1 ，∴EH＝ m m＋1 BD. 同理 FG＝ n n＋1 BD，由 EH＝FG，得 m＝n. 故当 m＝n 时，四边形 EFGH 为平行四边形. (3)证明 当 m＝n 时，AE∶EB＝CF∶FB，∴EF∥AC. 又∵AC⊥BD，EH∥BD， ∴∠FEH＝90°，从而平行四边形 EFGH 为矩形， ∴EG＝FH.