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  • 2021-06-11 发布

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书:11

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www.ks5u.com 第十一章  立体几何初步 ‎11.1 空间几何体 ‎11.1.1 空间几何体与斜二测画法 ‎[课程目标] 1.了解空间几何体的表示形式,进一步提高对空间几何体结构特征的认识;2.理解并掌握用斜二测画法画直观图;3.掌握斜二测画法的规则.‎ 知识点一  空间几何体 ‎[填一填]‎ 如果我们只考虑一个物体占有的空间的形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.‎ ‎[答一答]‎ ‎1.空间几何体的本质是什么?‎ 提示:(1)几何体不仅包括它的外表面,还包括外表面围起的内部部分.‎ ‎(2)数学上的几何体是一个抽象的概念,研究它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等.‎ 知识点二   平面图形直观图的斜二测画法 ‎[填一填]‎ ‎(1)立体几何中,用来表示空间图形的平面图形,称为空间图形的直观图.‎ ‎(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤:‎ ‎①画轴:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.‎ ‎②画线:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.‎ ‎③取长度:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来长度的一半.‎ ‎④成图:连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.‎ ‎[答一答]‎ ‎2.斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么?‎ 提示:“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段,在直观图中均与x′轴成45°或135°;“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x′轴的线段长度不变;平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.‎ ‎3.相等的角或线段在直观图中仍然相等吗?‎ 提示:不一定相等,如正方形的边长和内角分别相等,但是它的直观图是平行四边形,相邻两边边长不相等,相邻两内角也不相等.‎ 知识点三  空间几何体直观图的画法 ‎[填一填]‎ ‎(1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴).‎ ‎(2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴,且z′轴垂直于x′轴.‎ 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合 ‎)的线段,且长度不变.‎ 连接有关线段.‎ ‎(3)擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).‎ ‎[答一答]‎ ‎4.画直观图时,如何区别实线和虚线?‎ 提示:直观图是一个平面图形,我们用它表示空间图形,为了增强空间感,画图要分实线和虚线,其中被面挡住的部分要画成虚线.看得见的部分要画成实线.‎ ‎5.空间几何体的直观图唯一吗?‎ 提示:不一定唯一.作直观图时,由于选轴不同,所画直观图就不一定相同.‎ ‎1.画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类:一类是在轴上或在与轴平行的线段上,这类顶点比较容易确定;另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上,确定这类顶点一般过此点作与轴平行的直线,将此点转到与轴平行的线段上来.‎ ‎2.要画好对应平面图形的直观图,首先应在原图形中建立平面直角坐标系,尽量利用原有线段或图形的对称轴画坐标轴,图形的对称中心作为坐标原点,让尽可能多的顶点在坐标轴上.‎ 类型一  水平放置的平面图形直观图的画法 ‎[例1] 画出水平放置的正五边形的直观图.‎ ‎[分析] ‎ 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,首先要在平面图形上建立平面直角坐标系,坐标系建立的是否恰当,会直接影响到图形的直观性.一般地,要充分利用图形的特征(如对称性)来建立坐标系.‎ ‎[解] 画法:(1)如图(a)所示,在已知正五边形ABCDE中,取中心O为原点,对称轴FA为y轴,过点O与y轴垂直的直线为x轴,分别过B、E作GB∥y轴,HE∥y轴,与x轴分别交于点G、H.‎ ‎(2)如图(b)所示,以点O′为中点,画对应的轴O′x′,O′y′,使∠x′O′y′=45°.在x′轴上取G′H′=GH,分别过点G′、H′在x′轴的上方作G′B′∥y′轴,使G′B′=GB;作H′E′∥y′轴,使H′E′=HE;在y′轴的点O′上方取O′A′=OA,在点O′下方取O′F′=OF,并且以点F′为中心,作C′D′∥x′轴,且使C′D′=CD.‎ ‎(3)连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′,并加以整理,所得五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图,如图(c)所示.‎ 用斜二测画法画直观图时,抓住“一斜二测”.一斜指轴成45°或135°,二测指已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,即横不变;已知图形中平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半,即纵减半,在作图时要注意在原图上建立恰当的直角坐标系,以使整个作图变得简便.‎ ‎[变式训练1] 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.‎ 解:(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图(1)(2)所示.‎ ‎(2)在x′轴上截取O′B′=OB,在y′轴上截取O′D′=OD,过点D′作x轴的平行线l,在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′=DC.连接B′C′.如图(2)所示.‎ ‎(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图,如图(3)所示.‎ 类型二  空间几何体直观图的画法 ‎[例2] 用斜二测画法画棱长为‎2 cm的正方体ABCDA′B′C′D′的直观图.‎ ‎[解] 画法:(1)画轴.如图(1),画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.‎ ‎(2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=‎2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=‎1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.‎ ‎(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z 轴的平行线,并在这些平行线上分别截取‎2 cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.‎ ‎(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图(2)).‎ 利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则:①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下,长度和角度可适当选取.为了增强立体感,被挡住的部分通常用虚线表示.②画法规则可简记为:两轴夹角为45°,竖轴垂直仍不变,平行不变,长度变,横竖不变,纵折半.③画空间几何体的直观图,要注意选取适当的原点,建系画轴.‎ ‎[变式训练2] 画水平放置的圆锥的直观图.‎ 解:画法:(1)画轴:如图,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;‎ ‎(2)画圆锥的底面:在x轴上以O为中点取直径AB,过AB画适当椭圆作底面;‎ ‎(3)画圆锥的顶点:在Oz上截取点P,使得PO等于圆锥的高;‎ ‎(4)成图:连接PA、PB,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.‎ 类型三  直观图的还原与计算 ‎[例3] 如图所示,梯形A1B‎1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O′D1=1.试画出原四边形的形状,并求出原图形的面积.‎ ‎[解] 如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.‎ 在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D‎1A1=2.‎ 在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.‎ 连接BC,即得到了原图形.‎ 由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰的长度AD=2,‎ 所以面积S=×2=5.‎ ‎1.由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴,y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.‎ ‎[变式训练3] (1)如图所示,一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′,若O′B′=1,那么原三角形ABO的面积是( C )‎ A. B. C. D.2 解析:因为题图中等腰直角三角形直角边长为1,因此面积为,又直观图与原平面图形面积比为4,所以原图形的面积为,故选C.‎ ‎(2)如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=‎6 cm,C′D′=‎2 cm,则原图形是菱形.(填四边形的形状).‎ 解析:如图所示,在原图形OABC中,应有OA=O′A′=‎6 cm,OD=2O′D′=2×2=‎4 cm,CD=C′D′=‎2 cm,∴OC= ‎==6(cm),∴OA=OC,又CB綉OA,故四边形OABC是菱形.‎ ‎1.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( D )‎ A.90°,90° B.45°,90°‎ C.135°,90° D.45°或135°,90°‎ 解析:根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.‎ ‎2.利用斜二测画法画出边长为‎3 cm的正方形的直观图,正确的是图中的( C )‎ 解析:正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为21.‎ ‎3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的( C )‎ 解析:在x轴上或与x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变,在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的,并注意到∠xOy=∠90°,∠x′O′y′=45°,因此由直观图还原成原图形为选项C.‎ ‎4.有一个长为‎5 cm,宽为‎4 cm的矩形,则其用斜二测画法得到的直观图的面积为‎5cm2.‎ 解析:该矩形直观图的面积为×5×4=5.‎