2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系1 平面的基本性质及推论学案 苏教版必修2 6页

平面的基本性质及推论 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 平面的基本 性质及推论 ‎1. 借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面；‎ ‎2. 会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系；‎ ‎3. 能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用 填空 平面的基本性质及推论是立体几何的基础，确定平面，判定共线、共点的依据，尤其是注意三种语言的相互转化需认真练习 二、重难点提示 重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质——三大公理及其推论，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、文字语言的相互转化。‎ 难点：平面的基本性质——三大公理及其推论，图形、符号、文字语言的相互转化。‎ 考点一：平面的概念及表示 ‎1. 平面的概念 平面是从现实世界中抽象出来的几何概念，它没有厚薄，是无限延展的。‎ ‎2. 平面的表示 ‎（1）图形表示 平面通常用平行四边形来表示。当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。‎ ‎【要点诠释】‎ 也可以根据需要用其他平面图形表示平面，例如三角形、圆、矩形等。‎ ‎（2）字母表示 平面通常用希腊字母α、β、γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等。‎ ‎3. 平面的画法 一般用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，一边画成水平线，另一边与此边成，且横边画成邻边的两倍；当平面竖直放置时，一边画成竖直，另一边与此边成。‎ 如图 6‎ 画相交平面时的画法是先定位，后交线，邻边对边依次添，挡住部分成虚线。如下图 考点二：点、线、面的位置关系 位置关系（读法）‎ 符号表示 点在直线上 点不在直线上 点在平面内 平面 点不在平面内 平面 直线与直线交于点 直线在平面内 平面 直线不在平面内 平面 平面与平面相交于 考点三：点、线、面的位置关系 性质 三种语言表述 文字语言 图形语言 符号语言 公理1‎ 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 A∈α，B∈α⇒AB⊂α 公理2‎ 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 公理3‎ 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 推论1‎ A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α 6‎ 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 推论2‎ 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3‎ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α ‎【随堂练习】不共面的四点可以确定________个平面。‎ 思路分析：四点不共面―→任意三点不共线―→不共线三点确定一平面 答案：设四点构成的集合为{A，B，C，D}，当A、B、C、D四点不共面时，经过该四点的平面是不存在的，但（A，B，C），（B，C，D），（C，D，A），（A，B，D）各可以确定一个平面，所以空间不共面的四点可以确定四个平面。‎ 技巧点拨：‎ 公理2是判断或确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件，立足不共线的三点可以确定一个平面。‎ 例题1 （三种语言的转换）‎ 用符号语言表示下列语句，并画出图形。‎ ‎（1）三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；‎ ‎（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC。‎ 思路分析：解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，实现三种语言的互译。‎ 答案：（1）符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC；用图形表示：‎ ‎（2）符号语言表示 平面ABD∩平面BDC＝BD，‎ 平面ABC∩平面ADC＝AC，‎ 图形表示：‎ 6‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示。‎ ‎2. 要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”。‎ ‎3. 由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别。‎ 例题2 （点线共面问题）‎ 已知直线a∥b∥c，直线d与a，b，c分别相交于A，B，C三点，求证a，b，c，d四线共面。‎ 思路分析：方法一：先证直线a与d确定一个平面，再证其他直线也在这个平面内；方法二：先证直线a，b，d在一个平面内，再证直线a，c，d在另一个平面内，然后证明这两个平面重合。‎ 答案：方法一　设a与d确定一平面α，则d⊂α，‎ ‎∵B∈d，∴B∈α，‎ 在α内过B点作直线b′∥a，而b∥a，∴b∥b′，‎ 又b与b′有一个公共点B，故b与b′重合，∴b⊂α，同理c⊂α，‎ ‎∴a，b，c，d四线共面；‎ 方法二　∵a∥b，∴直线a，b确定一平面α，则a⊂α，b⊂α，‎ ‎∵a∩d＝A，b∩d＝B，且A∈α，B∈α，‎ ‎∴d⊂α，∴平面α是经过a与d的一个平面，‎ 又∵a∥c，∴a，c可确定一平面β，‎ 同理可证d⊂β，∴β也是过a与d的一个平面，‎ ‎∵a∩d＝A，∴过a与d只有一个平面，即α与β重合，‎ ‎∴a，b，c，d四线共面。‎ 技巧点拨：证明点线共面的常用方法：‎ ‎（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；‎ ‎（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；‎ ‎（3）反证法。‎ 例题3 （点共线、线共点问题）‎ 如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线。‎ 6‎ 思路分析：欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可。‎ 答案：∵MN∩EF＝Q，‎ ‎∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，‎ 又∵M∈直线CD，N∈直线AB，‎ CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴M、N∈平面ABCD，‎ ‎∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD，‎ 同理，可得EF⊂平面ADD‎1A1，‎ ‎∴Q∈平面ADD‎1A1‎ 又∵平面ABCD∩平面ADD‎1A1＝AD，‎ ‎∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线。‎ 技巧点拨：点共线与线共点的证明方法：‎ ‎（1）点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上。‎ ‎（2）三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点。‎ 因混淆“平面”与“平面图形”两个概念致误 ‎【例析】下列说法正确的有________。‎ ‎（1）平面就是平行四边形；‎ ‎（2）任何一个平面图形都是一个平面；‎ ‎（3）平静的太平洋面就是一个平面；‎ ‎（4）圆和平面多边形都可以表示平面 6‎ ‎【错解】（1）（2）（3）（4）‎ ‎【错因分析】上述求解错误的原因有以下两处：‎ ‎（1）对“平面”的概念不理解；‎ ‎（2）混淆“平面”与“平面图形”两个概念。‎ ‎【防范措施】对“平面”这个概念要从以下三个方面理解：‎ ‎（1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；‎ ‎（2）“平面”无厚薄大小之分；‎ ‎（3）“平面”无边界，可向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据。‎ ‎【正解】（1）错误，平行四边形可表示平面，反之不成立；（2）（3）错误，这与平面具有无限延展性相矛盾；（4）正确。‎ ‎【答案】（4）‎ 6‎