高中数学第1章三角函数1_3_2三角函数的图象与性质优化训练苏教版必修4 7页

1.3.2 三角函数的图象与性质 5 分钟训练（预习类训练，可用于课前） 1.在［0，2π］上画出下列函数的简图： （1）y=sinx-1；（2）y=2cosx. 解：画函数的简图，可以采用“五点法”，关键是找出五个关键点，所以，最好利用列表整 理数据，使问题既清晰又准确. （1）第一步：按五个关键点列表； x 0 2  π 2 3 2π sinx 0 1 0 -1 0 sinx-1 -1 0 -1 -2 -1 第二步：描点； 第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来. （2）第一步：按五个关键点列表； x 0 2  π 2 3 2π cosx 1 0 -1 0 1 2cosx 2 0 -2 0 2 第二步：描点； 第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来. 2.利用五点法作出下列函数的简图： （1）画出 y=sinx 的图象；（2）画出 y=sinx，x∈［0，2π］的图象. 请比较（1）和（2）两个小题的图象有什么区别？ 解：这两个函数的定义域不同.第（1）题定义域为 R，第（2）题的定义域为［0，2π］.［0， 2π］是 R 的真子集，所以第（2）题当 x∈［0，2π］时的函数图象就是第（1）题图象的 一部分. 10 分钟训练（强化类训练，可用于课中） 1.(2000 上海)函数 y=sin(x+ 2  )(x∈［- 2  , 2  ］)是( ) A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇函数 思路解析：y=sin(x+ 2  )=cosx(x∈［- 2  , 2  ］)，由余弦函数的性质知，y=cosx 为偶函数. 答案：C 2.设 M 和 m 分别表示函数 y= 3 1 cosx-1 的最大值和最小值，则 M+m 等于( ) A. 3 2 B.- 3 2 C.- 3 4 D.-2 思路解析：因为函数 g(x)=cosx 的最大值、最小值分别为 1 和-1，所以 y= 3 1 cosx-1 的最大 值、最小值为- 3 2 和- 3 4 .因此 M+m=-2. 答案：D 3.下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是( ) A.y=tan|x| B.y=cos(-x) C.y=sin(x- 2  ) D.y=|cot 2 x | 思路解析：都为偶函数，但 y＝tan|x|，y＝cos（-x），y＝|cot 2 x |在（0，π）上不是增函 数，y＝sin（x- 2  ）＝-cosx 在（0，π）上是增函数． 答案：C 4.求函数 y= 2sin 1sin3   x x 的值域． 思路解析：此类题型可转化为分式函数的值域的求法，即分离常数法，或通过反解 sinx 法， 利用 sinx 的值域确定函数的值域． 解法一：由 y= 2sin 5)2(sin3   x x =3- 2sin 5 x ． 当 sinx=1 时，ymax= 3 4 ； 当 sinx=-1 时，ymin=-2． ∴函数的值域为［-2, 3 4 ］． 解法二：由 y= 2sin 1sin3   x x ,得 sinx= y y   3 12 ． ∵|sinx|≤1,∴| y y   3 12 |≤1. 解得-2≤y≤ 3 4 ． ∴ymax= 3 4 ，此时 sinx=1； ymin=-2，此时 sinx=-1． ∴函数的值域为［-2, 3 4 ］． 5.方程 sinx= 10 x 的根的个数为_______________． 思路解析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合思想，转化为函数 y= 10 x 的图 象与函数 y=sinx 的图象的交点个数，借助图形直观求解． 当 x≥4π时， 10 x ≥ 10 4 >1≥sinx；当 0 20 5 = 10 x .从而 x>0 时，有 3 个交点，由对称性 x<0 时，也有 3 个交点，加上原点，一共有 7 个交点． 答案：7 6.画出下列函数的简图： （1）y=3+sinx，x∈［0，2π］； （2）y=2-sinx，x∈［0，2π］； （3）y=-cosx+3，x∈［-π，π］. 思路解析：可以采用“五点法”，关键是找出五个关键点，整理数据，描点画图． 答案： 志鸿教育乐园 迟了 在地铁里，一位男子发现扒手正在掏他的钱包，便幽默地说： “老兄，你来晚了！我今天虽然领了薪水，但我太太下手比你快多了！” 30 分钟训练（巩固类训练，可用于课后） 1.(2005 全国卷Ⅱ)已知函数 y=tanωx 在(- 2  , 2  )内是减函数，则( ) A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1 思路解析：由 ||   ≥π，∴|ω|≤1.若ω>0,其图象与 y=tanx 在(- 2  , 2  )上有相同的增减 性，∴ω＜0.∴y=tanωx 是减函数. 答案：B 2.(2005 北京春季)如果函数 f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是 T，且当 x=2 时取得最大值，那么( ) A．T=2,θ= 2  B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ= 2  思路解析：本题考查正弦函数的周期和最值问题.Y=sin(ωx+θ),其周期 T= || 2   ,当ωx+θ ＝2kπ+ 2  时取得最大值. 由题知 T=  2 =2,又当 x=2 时，有 2π+θ＝2kπ+ 2  .所以θ＝2(k-1)π+ 2  .又 0＜θ＜2π, 则 k=1,θ= 2  .A 正确. 答案：A 3.若 f(x)=tan(x+ 4  )，则( ) A.f(0)>f(-1)>f(1) B.f(0)>f(1)>f(-1) C.f(1)>f(0)>f(-1) D.f(-1)>f(0)>f(1) 思路解析：在(- 2  , 2  )上，y=tanx 为增函数.根据诱导公式把 x+ 4  转化到(- 2  , 2  )上再 比较大小. f(1)=tan(1+ 4  )=tan(1- 4 3 ).又- 2  ＜1- 4 3 < 4  -1< 4  ,所以 f(0)>f(-1)>f(1).A 正确. 答案：A 4.函数 y=2sinx 的单调增区间是( ) A.［2kπ- 2  ,2kπ+ 2  ］(k∈Z) B.［2kπ+ 2  ,2kπ+ 2 3 ］(k∈Z) C.［2kπ-π,2kπ］(k∈Z) D.［2kπ,2kπ+π］(k∈Z) 思路解析：函数 y=2x 为增函数，因此求函数 y=2sinx 的单调增区间即求函数 y=sinx 的单调增 区间. 答案：A 5.函数 y=x+sin|x|,x∈［-π,π］的大致图象是( ) 图 1-3-2 思路解析：由奇偶性定义，可知函数 y=x+sin|x|,x∈［-π,π］为非奇非偶函数，选项 A、 D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇偶函数. 答案：C 6.函数 y=tan( 2 1 x- 3  )在一个周期内的图象是( ) 图 1-3-3 思路解析：本题主要考查正切函数的性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键. y=tan( 2 1 x- 3  )=tan 2 1 (x- 3 2 ),显然函数周期为 T=2π,且 x= 3 2 时，y=0. 答案：A 7.在下列各区间中，函数 y＝sin(x+ 4  )的单调递增区间是( ) A.[ 2  ，π] B.[0， 4  ] C.[-π，0] D.[ 4  , 2  ] 思路解析：y=sin(x+ 4  )的递增区间是 2kπ- 2  ≤x+ 4  ≤2kπ+ 2  ,k∈Z,即- 4 3 +2kπ≤x ≤ 4  +2kπ,k∈Z. 当 k=0 时，区间是[- 4 3 ， 4  ]，已知区间[0， 4  ]是它的子区间，故应选 B. 注意这里给出的区间不是某整个递增区间，而是它的一个子区间，要善于鉴别. 答案：B 8.求函数 y=3tan（ 6  - 4 x ）的周期和单调区间. 思路解析：把原函数用诱导公式化为 y=-3tan（ 4 x - 6  ）的形式，使 x 的系数ω>0，有利于 利用复合函数判断单调性. 解：y=3tan（ 6  - 4 x ）=-3tan（ 4 x - 6  ）， ∴T=   = 4 1  =4π. 由 kπ- 2  < 4 x - 6  0）.已知它们的 周期之和为 2 3 ，且 f（ 2  ）=g（ 2  ），f（ 4  ）=- 3 g（ 4  ）+1，你能确定 a、b、ω的值 吗？ 思路解析：y=Asin（ωx+φ）的周期是  2 ,y=Atan(ωx+φ)的周期是   .另外，待定系数 法、方程的思想是解决本题的关键. 解：∵f（x）的周期为  2 ，g（x）的周期为   ，由已知  2 +   = 2 3 ,得ω=2， ∴函数式为 f（x）=asin（2x+ 3  ），g（x）=btan（2x- 3  ）. 由已知，得方程组        ,1)342tan(3)342sin( ),3tan()3sin(   ba ba 即         .12 ,32 3 ba ba 解得      .2 1 ,1 b a ∴a=1，b= 2 1 ，ω=2. 10.求函数 y=-2tan（3x+ 3  ）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性. 解：由 3x+ 3  ≠kπ+ 2  ，得 x≠ 3 k + 18  （k∈Z）， ∴所求的函数定义域为{x|x≠ 3 k + 18  ，k∈Z，x∈R}；值域为 R；周期为 3  ；它既不是奇 函数，也不是偶函数；在区间（ 3 k - 18 5 ， 3 k + 18  ）（k∈Z）上是单调减函数. 11.求函数 y=lg（tanx-1）+ x2sin 的定义域. 解：所求自变量 x 必须满足              )(2 24 02sin 01tan Zkkxk kxk x x    kπ+ 4 