人教版高中数学选修2-3练习：第二章2-2-2-2-2事件的相互独立性word版含解析 6页

第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.2 事件的相互独立性 A 级 基础巩固 一、选择题 1．有以下 3 个问题： (1)掷一枚骰子一次，事件 M：“出现的点数为奇数”，事件 N： “出现的点数为偶数”； (2)袋中有 5 红、5 黄 10 个大小相同的小球，依次不放回地摸两球， 事件 M：“第 1 次摸到红球”，事件 N：“第 2 次摸到红球”； (3)分别抛掷 2 枚相同的硬币，事件 M：“第 1 枚为正面”，事件 N：“两枚结果相同”． 这 3 个问题中，M，N 是相互独立事件的有( ) A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 解析：只有(1)中的事件 M，N 是相互独立事件． 答案：C 2．打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次， 若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( ) A.14 25 B.12 25 C.3 4 D.3 5 解析：P 甲＝ 8 10 ＝4 5 ，P 乙＝ 7 10 ，所以 P＝P 甲·P 乙＝14 25. 答案：A 3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的 机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( ) A.4 9 B.2 9 C.2 3 D.1 3 解析：设 A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”， 则 P(A)＝2 3 ，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”， 则 P(B)＝2 3.故 P(AB)＝P(A)·P(B)＝2 3 ×2 3 ＝4 9. 答案：A 4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为2 3 和 3 4 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一 等品的概率为( ) A.1 2 B. 5 12 C.1 4 D.1 6 解析：所求概率为2 3 ×1 4 ＋1 3 ×3 4 ＝ 5 12 或 P＝1－2 3 ×3 4 －1 3 ×1 4 ＝ 5 12. 答案：B 5．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品 率分别为 1 70 ，1 69 ，1 68 ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品 率为( ) A. 1 35 B. 3 68 C. 3 70 D. 5 69 解析：设加工出来的零件为次品为事件- A ， 则 A 为加工出来的零件为正品．所以 P(A)＝1－P( - A )＝1－ 1－ 1 70 1－ 1 69 1－ 1 68 ＝ 3 70. 答案：C 二、填空题 6．在甲盒内的 200 个螺杆中有 160 个是 A 型，在乙盒内的 240 个螺母中有 180 个是 A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成 A 型螺栓的概率为________． 解析：从甲盒内取一个 A 型螺杆记为事件 M，从乙盒内取一个 A 型螺母记为事件 N，因事件 M，N 相互独立，则能配成 A 型螺栓(即一 个 A 型螺杆与一个 A 型螺母)的概率为 P(MN)＝P(M)P(N)＝160 200 ×180 240 ＝3 5. 答案：3 5 7．已知 P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件 A、B 相互独立时，P(A∪B) ＝________，P(A|B)＝________． 解析：因为 A，B 相互独立，所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B) ＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P(A|B)＝P(A)＝0.3. 答案：0.65 0.3 8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是1 2 ，乙能解 决的概率是1 3 ，2 人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的 概率为________，问题得到解决的概率为________． 解析：都未解决的概率为 1－1 2 1－1 3 ＝1 2 ×2 3 ＝1 3 ，问题得到解决 就是至少有 1 人能解决问题，所以 P＝1－1 3 ＝2 3. 答案：1 3 2 3 三、解答题 9．已知电路中有 4 个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为 1 2 ，求灯亮的概率． 解：因为 A，B 断开且 C，D 至少有一个断开时，线路才断开，导 致 灯 不 亮 ， P ＝ P(AB)1 － P(CD)] ＝ P(A)P(B)1 － P(CD)] ＝ 1 2 × 1 2 × 1－1 2 ×1 2 ＝ 3 16. 所以灯亮的概率为 1－ 3 16 ＝13 16. 10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为4 5 ，乙当 选的概率为3 5 ，丙当选的概率为 7 10. (1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率． 解：设甲、乙、丙当选的事件分别为 A，B，C， 则有 P(A)＝4 5 ，P(B)＝3 5 ，P(C)＝ 7 10. (1)因为 A，B，C 相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为 P(A — B — C )＋P( — A B — C )＋P( — A — B C)＝P(A)P( — B )P( — C )＋ P( — A )P(B)P( — C )＋P( — A )P( — B )P(C)＝4 5 ×2 5 × 3 10 ＋1 5 ×3 5 × 3 10 ＋1 5 ×2 5 × 7 10 ＝ 47 250. (2)至多有两人当选的概率为 1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－ 4 5 ×3 5 × 7 10 ＝ 83 125. B 级 能力提升 1．从甲袋中摸出一个红球的概率是1 3 ，从乙袋中摸出一个红球的 概率是1 2 ，从两袋各摸出一个球，则2 3 等于( ) A．2 个球不都是红球的概率 B．2 个球都是红球的概率 C．至少有 1 个红球的概率 D．2 个球中恰有 1 个红球的概率 解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件 A、B，则 P(A) ＝1 3 ，P(B)＝1 2 ，由于 A、B 相互独立，所以 1－P( — A )P( — B )＝1－2 3 ×1 2 ＝2 3.根据互斥事件可知 C 正确． 答案：C 2．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9，则服用这种新 药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为________(用数字作答)． 解析：分情况讨论：若共有 3 人被治愈，则 P1＝C340.93×(1－0.9) ＝0.291 6；若共有 4 人被治愈，则 P2＝0.94＝0.656 1.故至少有 3 人被 治愈的概率为 P＝P1＋P2＝0.947 7. 答案：0.947 7 3．已知 A，B，C 为三个独立事件，若事件 A 发生的概率是1 2 ，事 件 B 发生的概率是2 3 ，事件 C 发生的概率是3 4 ，求下列事件的概率： (1)事件 A、B、C 只发生两个； (2)事件 A、B、C 至多发生两个． 解：(1)记“事件 A，B，C 只发生两个”为 A1，则事件 A1 包括三 种彼此互斥的情况，AB — C ；A — B C； — A BC，由互斥事件概率的加法 公式和相互独立事件的概率乘法公式， 所以概率为 P(A1)＝P(AB — C )＋P(A — B C)＋P( — A BC)＝ 2 24 ＋ 3 24 ＋ 6 24 ＝11 24 ， 所以事件 A，B，C 只发生两个的概率为11 24. (2)记“事件 A，B，C 至多发生两个”为 A2，则包括彼此互斥的 三种情况：事件 A，B，C 一个也不发生，记为 A3，事件 A，B，C 只 发生一个，记为 A4，事件 A，B，C 只发生两个，记为 A5，故 P(A2) ＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝ 1 24 ＋ 6 24 ＋11 24 ＝3 4. 所以事件 A、B、C 至多发生两个的概率为3 4.