【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷05 等差数列（解析版） 12页

2021 年高考数学一轮复习等差数列创优测评卷(新高考专用) 一、单选题(共 60 分,每题 5 分) 1．等差数列{ }na 与{ }nb 的前 n 项和分别为 nS 与 nT ，若 3 2 2 1 n n S n T n   ，则 7 7a b  （ ） A． 37 27 B． 38 28 C． 39 29 D． 40 30 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等差数列的前 n 项和公式以及等差数列的性质，可得结果. 【详解】 由     1 13 7 7 7 7 13 1 13 13 13 + 2 2 13 +2 2 a a a a S b bb b T    所以 13 13 3 13 2 37 2 13 1 27 S T     故 7 7 37 27 a b  故选：A 2．已知公差不为零的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 8 4S  ，函数    cos 2sin 1f x x x  ，则      1 2 8f a f a f a   的值为（ ） A． 0 B． 4 C．8 D．与 1a 有关 【答案】A 【解析】 分析：由题意结合等差数列的性质和函数的解析式整理计算即可求得题中算式的值. 详解：题意可知，对任意的 x ：          cos 2sin 1 cos 2sin 1 0f x f x x x x x             ， 由等差数列前 n 项和公式可得： 1 8 8 8 42 a aS    ，则 1 8a a   ， 结合等差数列的性质可得： 1 8 2 7 3 6 4 5a a a a a a a a         ， 则        1 8 1 1 0f a f a f a f a     ，        2 7 2 2 0f a f a f a f a     ，        3 6 3 3 0f a f a f a f a     ，        4 5 4 4 0f a f a f a f a     ， 据此可知：      1 2 8f a f a f a   的值为 0. 本题选择 A 选项. 3．等差数列 na 中, 1a 与 4037a 是   4ln mf x x x x    的两个极值点,则 20192log a ( ) A．1 B．2 C．0 D． 1 2 【答案】B 【解析】 【分析】 先求导   2 2 2 4 41 m x x mf x x x x       ，再令 2( ) 4g x x x m   ，所以 1a 与 4037a 是方程 2 4 0x x m   的两个根，可得 2019 1 40372 4a a a   ，再代入式子进行计算即可. 【详解】   2 2 2 4 41 m x x mf x x x x       ， 因为 1a 与 4037a 是   4ln mf x x x x    的两个极值点, 令 2( ) 4g x x x m   ，所以 1a 与 4037a 是方程 2 4 0x x m   的两个根， 即 1 4037 4a a  ，也即 20192 4a  ，所以 2019 2a  ，则 2019 22log 2log 2 2a   . 故选：B. 4．若数列 1 2, , ,a x x b 与 1 2 3, , , ,a y y y b均为等差数列（其中 a b¹ ），则 2 1 2 1 x x y y   ( ) A． 2 3 B． 4 3 C． 3 2 D． 3 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列通项可知 1 3 b ad  ， 2 4 b ad  ；将所求式子变为 1 2 d d ，代入求得结果. 【详解】 设数列 1 2, , ,a x x b 的公差为 1d ，数列 1 2 3, , , ,a y y y b的公差为 2d 则 13d b a  ，即 1 3 b ad  ； 24d b a  ，即 2 4 b ad  2 1 1 2 1 2 43 3 4 b a x x d b ay y d      本题正确选项： B 5．设函数    sin 0, 0, 6f x A x A            与直线 3y  的交点的横坐标构成以 为公差的等 差数列，且 6x  是  f x 图象的一条对称轴，则下列区间中是函数  f x 的单调递减区间的是（ ） A． 2 7,3 6       B． ,03     C． 4 5,3 6      D． 5 ,6 3       【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，由周期求得 的值，根据图像的对称性求出 的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单 调性求出函数 ( )f x 的单调递减区间，从而得出结论。 【详解】 根据题意可得 3A  ，函数 ( )f x 的周期为 2T    ，求得 2  ，再由 2 ,6 2k k Z       解得 6k    ，由题意 6   ，可得： 6 π ； 所以 ( ) 3sin(2 )6f x x   ，令 32 + 2 22 6 2k x k       ， 解得： 2 6 3k x k      ， 故函数的单调递减区间为 6 3 2+ , ,k k k Z       ， 故区间 5 ,6 3       是函数的单调递减区间， 故选：D. 6．直线 1 2:l y x 与直线 2 : 0l ax by c   （ 0abc  ）相互垂直，当 , ,a b c 成等差数列时，直线 1 2,l l 与 y 轴围成的三角形的面积 S （ ） A． 9 20 B． 9 10 C． 9 5 D． 2 3 【答案】A 【解析】 直线 l1：y=2x 与直线 l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，∴2×（- )a b =-1，化为 b=2a． 当 a，b，c 成等差数列时，2b=a+c．∴b=2a，c=3a． 由 ax+by+c=0（abc≠0），令 x=0，解得 y=- c b 联立 2 0 y x ax by c      解得 x= 2 c a b   直线 l1，l2 与 y 轴围成 的三角形的面积 S= 21 1 9 9 2 2 2 5 2 20 c c a a b b a a        故选 A 7．若 na 是等差数列，则 1 2 3a a a  ， 4 5 6a a a  ， 7 8 9a a a  ，， 3 2 3 1 3n n na a a   ，是 （ ） A．一定不是等差数列 B．一定是递增数列 C．一定是等差数列 D．一定是递减数列 【答案】C 【解析】设 na = 1a +（n－1）d，则 3 2 3 1 3n n na a a   = 1a +（3n－3）d+ 1a +(3n－2) d+ 1a +(3n－1)d=3 1a +(9n－6)d=3 1a +3d+ (n－1)(9d)，所以 3 2 3 1 3n n na a a   是 等差数列中的第 n 项，选 C． 8．等差数列 na 中， 1 0a  ，若存在正整数 m n p q、 、 、 满足 m n p q ＞ 时有 m n p qa a a a   成立， 则 4 1 a a  （ ） A．4 B．1 C．由等差数列的公差决定 D．由等差数列的首项 1a 的值决定 【答案】B 【解析】解：等差数列 na 中， 1 0a  ， m n p qa a a a   ，        1 1 1 11 1 1 1a m d a n d a p d a q d               2 2m n d p q d      因为存在正整数 m n p q、 、 、 满足 m n p q ＞ 0d  4 3 1a a a   4 1 1a a   故选： B 9．下列命题中，与命题“ na 为等差数列”不等价的是（ ） A． 1n na a d   （d 为常数） B．数列 na 是等差数列 C．数列 1 na       是等差数列 D． 1na  是 na 与 2na  的等差中项 【答案】C 【解析】对 A， 1n na a d   即 1n na a d   ，故 na 为等差数列.故 A 正确 对 B，数列 na 是等差数列则 1n na a d    ，d 为常数.故 1n na a d    ， d 为常数.故 B 正确. 对 C，数列 1 na       是等差数列则 1 1 1 n n da a   ，d 为常数.不能推导出 na 为等差数列.故 C 错误. 对 D， 1na  是 na 与 2na  的等差中项则 2 1 1n n n na a a a     ，满足等差数列的定义.故 D 正确. 故选：C 10．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是( ) A．bn＝－an B． 2 n nb a C． n nb a D． 1 n n b a  【答案】A 【解析】∵数列{an}是等差数列， ∴an＋1－an＝d(常数)． 对于 A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于 B 不一定正确，如数列{an}＝{n}，则 bn＝a ＝n2，显然不是 等差数列；对于 C、D： 及 不一定有意义，故选 A. 11．若等差数列 na 的公差为 d，前 n 项和为 nS ，记 n n Sb n  则( ) A．数列 nb 是等差数列， nb 的公差也为 d B．数列 nb 是等差数列， nb 的公差为 2d C．数列 n na b 是等差数列， n na b 的公差为 d D．数列 n na b 是等差数列， n na b 的公差为 2 d 【答案】D 【解析】由题可得  1 1na a n d  ，   1 1 2n n nS na d   ，则 1 1 1 1 1 2 2 2 n n S nb a d a d dnn       是 关于 n 的一次函数，则数列 nb 是公差为 1 2 d 的等差数列，故 A，B 错误；由 1 3 32 2 2n na b a d dn    是 关于 n 的一次函数，得数列 n na b 是公差为 3 2 d 的等差数列，故 C 错误；又 1 1 2 2n na b d dn    是关 于 n 的一次函数，则数列 n na b 是公差为 1 2 d 的等差数列，故 D 正确. 故选:D. 12．在 ABC 中，若 1 1 1, ,tan tan tanA B C 依次成等差数列，则（ ） A． , ,a b c 依次成等差数列 B． , ,a b c 依次成等比数列 C． 2 2 2, ,a b c 依次成等差数列 D． 2 2 2, ,a b c 依次成等比数列 【答案】C 【解析】由题意 2 1 1 tan tan tanB A C   ，则 2cos cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin sin B A C C A C A B A C A C    sin( ) sin sin A C A C  sin sin sin B A C  ， 2sin2cos sin sin BB A C  ，由正弦定理和余弦定理得 2 2 2 22( ) 2 a c b b ac ac    ，整 理得 2 2 22a c b  ．故选 C． 二、填空题(共 20 分,每题 5 分) 13．等差数列 na 中 2 4 6 8 20a a a a    ，则 3 7a a  ________. 【答案】10 【解析】  3 7 3 72 4 6 8 2 20 1, 0a a a aa a a a        . 故答案为：10. 14．已知等差数列 na 的公差为 d ，且 0d  ，前 n 面和为 nS ，若 2 3 44 ,3 ,2S S S 也成等差数列，则 1a d  _____． 【答案】-1 【解析】由 2 3 44 ,3 ,2S S S 成等差数列知 2 4 34 2 6S S S  ，即 2 4 32 3S S S  ， 故    1 1 12 2 4 6 3 3 3a d a d a d     ， 整理得 1 0a d  ， 又 0d  ，故 1 1a d   . 故答案为：-1 15．已知等差数列{ }na 中， 1 20a  ，公差 2d   ，则当 n ________时，等差数列{ }na 的前 n 项和 nS 取 得最大值. 【答案】10 或 11 【解析】因为 1 20a  ， 2d   所以     2 *120 2 21 ,2n n nn n n n NS         其对称轴为： 21 2n  所以当 n 10 或 11 时 nS 取得最大值. 故答案为：10 或 11 16．对于数列{ }na ，定义数列 1{ }n na a  为数列{ }na 的“等差数列”，若 1 2a  ，{ }na 的“等差数列”的通项 为 2n ，则数列{ }na 的前 n 项和 nS  __________． 【答案】 12 2n  【解析】由“差数列”定义知： 1 2n n na a   ， 所以 1 1 2 2 3 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n na a a a a a a a a a              1 1 2 3 1 2(1 2 )2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n              因此 nS  12(1 2 ) 2 21 2 n n   . 三、解答题 17．(10 分)已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 3 7a  ， 5 7 26a a  . （Ⅰ）求 na 及 nS ； （Ⅱ）令 ( )n n Sb n Nn   ，求证：数列 nb 为等差数列 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】（Ⅰ）设等差数列的首项为 1a ，公差为 d ， 由题意有 1 1 2 7. 2 10 26, a d a d      解得 1 3a  ， 2d  ， 则    1 1 3 2 1 2 1na a n d n n        ，      1 3 2 1 22 2 n n n nn a aS n n         （Ⅱ）因为  2 2n n n nSb nn n     ， 又  1 3 2 1n nb b n n       ， 所以，数列 nb 为等差数列. 18．(10 分)已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 15 3 6125, 16S a a   ． （1）证明： nS 是等差数列； （2）设 2n n nb a  ，求数列 na 的前 n 项和 nT ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 1(2 3) 2 6n nT n     【解析】（1）设数列 na 的公差为 d ，则  1 15 8 15 8 15 15 2 15 2252 2 a a aS a     ，解得 8 15a  ． 所以 3 6 82 7 30 7 16a a a d d      ，解得 2d  ，所以 1 8 7 1a a d   ． 所以   21 22n n nS n n     ． 所以 nS n ． 因为当 1n  时， 1 1S  ，当 2n  时，  1 1 1n nS S n n     ， 故 nS 是首项为 1，公差为 1 的等差数列． （2）由（1）可知 2 1na n  ，故  2 2 1 2n n n nb a n     ． 故  1 2 31 2 3 2 5 2 2 1 2n nT n          ，  2 3 4 12 1 2 3 2 5 2 2 1 2n nT n           ， 两式相减可得           1 1 2 3 1 1 14 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 3 2 2 61 2 n n n n n nT n n n                         ， 故   12 3 2 6n nT n     ． 19．(12 分)已知数列 1 2 30, , ,a a a ，其中 1 2 10, , ,a a a 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； 10 11 20, , ,a a a 是 公差为 d 的等差数列； 20 21 30, , ,a a a 是公差为 2d 的等差数列（ 0d  ）． （1）若 20 30a  ，求公差 d ； （2）试写出 30a 关于 d 的关系式，并求 30a 的取值范围． 【答案】（1）2；（2） 15[ , )2  ． 【解析】（1）由题意可得 10 10a  ， 20 10 10 30a d   ，所以 2d  ． （2）由题可得   2 2 30 20 10 10 1 0a a d d d d      ， 即 2 30 1 310 2 4a d           ， 当    ,0 0,d     时， 30 15 ,2a     ． 20．(12 分) ABC 内角 、 、A B C 的对边分别是 a b c、 、 . （1）若 a b c、 、 的成等差数列，求证： 1 3 2 2 a b   ； （Ⅱ）若 a b c、 、 的倒数成等差数列，求证： 2 πB  . 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】（Ⅰ）设公差为 d ，则 ,a b d c b d    依题意 0 0 ( ) ( ) b d b d b d b b d b d b b d               , 解得 1 1 2 2b d b   ， 1 3 2 2b a b d b    所以 1 3 2 2 a b   . （Ⅱ）依题意 2 1 1 b a c   由余弦定理 2 2 2 cos 2 a c bB ac   其中， 2 2 2 2 2 2 2aca c b a c a c         由基本不等式， 2 2 2 222 , 2 ( ) 0aca c ac a c ac ac aca c            cos 0B  ，且 0 B   ，所以 2 πB  . 21．(12 分)在 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ，且 A ， B ，C 成等差数列. （1）若 1a  ， 3b  ，求sinC ； （2）若 a ，b ， c 成等差数列，试判断 ABC 的形状. 【答案】（1）sin 1C  （2）等边三角形 【解析】（1）由 A B C    ， 2B A C  ，得 3B  . 由 sin sin a b A B  ，得 1 3 sin 3 2 A  ，得 1sin 2A  . 又 0 A B  ，∴ 6A  ，∴ 3 6 2C       ，∴sin 1C  . （2）由 2b a c  ，得 2 2 24 2b a ac c   ，又 2 2 2b a c ac   . 得 2 2 2 24 4 4 2a c ac a ac c     ，得  23 0a c  ，∴ a c . ∴ A C ，又 2 3A C   ，∴ 3A C B    . 所以 ABC 是等边三角形. 22．(14 分)设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， （1）求等差数列 的通项公式 ． （2）令 ，数列 的前 项和为 ．证明：对任意 ，都有 ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1）用首项 ，公差 表示出已知条件，并解出 ，由等差数列通项公式可得；（2）由（1） 得 ，由此可求得 ，利用函数的单调性可证明结论． 试题解析：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则由 ， 得 ，解得 ，所以 ， （2）因为 ， ，所以 ，则 . 因为 ， ，所以 .