【数学】2020届一轮复习北师大版事件的相互独立性课时作业 7页

知识点一 事件独立性的判定 1.袋内有 3 个白球和 2 个黑球，从中不放回地摸球，用 A 表示“第一次摸得白球”，用 B 表示“第二次摸得白球”，则 A 与 B 是( ) A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 答案 D 解析 根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A 与 B 不是相互独立事件． 2．下列事件 A，B 是相互独立事件的是( ) A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B．袋中有 2 个白球，2 个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白 球”，B＝“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” D．A＝“一个灯泡能用 1000 小时”，B＝“一个灯泡能用 2000 小时” 答案 A 解析 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故 A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然 A 事件与 B 事件不相互独立；对于 C，其结果 具有唯一性，A，B 应为互斥事件；D 中事件 B 受事件 A 的影响．故选 A. 知识点二 相互独立事件同时发生的概率 3.甲、乙两人各射击一次，他们各自击中目标的概率都是 0.6，他们都击中目标的概率 是( ) A．0.6 B．0.36 C．0.16 D．0.84 答案 B 解析 甲、乙两人分别击中目标是相互独立的，故他们都击中目标的概率为 0.6×0.6 ＝0.36.故选 B. 4．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个 指针同时落在奇数所在区域的概率是( ) A.4 9 B.2 9 C.2 3 D.1 3 答案 A 解析 “左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件 A，则 P(A)＝4 6 ＝2 3 ，“右边圆盘指针落 在奇数区域”记为事件 B，则 P(B)＝4 6 ＝2 3 ，事件 A、B 相互独立，所以两个指针同时落在奇 数区域的概率为2 3 ×2 3 ＝4 9 .故选 A. 知识点三 相互独立事件概率的应用 5.甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的 概率分别为 0.8 和 0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( ) A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 答案 A 解析 解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不 准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥， 故事件的概率为 0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95. 解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两 颗卫星预报都不准确”，故事件的概率为 1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.故选 A. 6．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为1 2 和1 3 ，两人同时参加测试，其中有 且只有一人能通过的概率是( ) A.1 3 B.2 3 C.1 2 D．1 答案 C 解析 设事件 A 表示“甲通过听力测试”，事件 B 表示“乙通过听力测试”．依题意知， 事件 A 和 B 相互独立，且 P(A)＝1 2 ，P(B)＝1 3 .记“有且只有一人通过听力测试”为事件 C， 则 C＝A B ∪ A B，且 A B 和 A B 互斥． 故 P(C)＝P(A B ∪ A B)＝P(A B )＋P( A B)＝P(A)·P( B )＋P( A )P(B)＝1 2 × 1－1 3 ＋ 1－1 2 ×1 3 ＝1 2 . 一、选择题 1．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是 0.80，做对两道题的概率是 0.60，则预估计做对第二道题的概率是( ) A．0.80 B．0.75 C．0.60 D．0.48 答案 B 解析 设事件 Ai(i＝1,2)表示“做对第 i 道题”，A1，A2 相互独立， 由已知得：P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6， 由 P(A1A2)＝P(A1)·P(A2) ＝0.8P(A2)＝0.6， 解得：P(A2)＝0.6 0.8 ＝0.75. 2．如图所示，用 K，A1，A2 三类不同的元件连接成一个系统．当 K 正常工作且 A1，A2 至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知 K，A1，A2 正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8， 则系统正常工作的概率为( ) A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 答案 B 解析 解法一：由题意知，K，A1，A2 正常工作的概率分别为 P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8， P(A2)＝0.8. 因为 K，A1，A2 相互独立， 所以 A1，A2 至少有一个正常工作的概率为 P( A 1A2)＋P(A1 A 2)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96， 所以系统正常工作的概率为 P(K)[P( A 1A2)＋P(A1 A 2)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选 B. 解法二：A1，A2 至少有一个正常工作的概率为 1－P( A 1 A 2)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96. 所以系统正常工作的概率为 P(K)[1－P( A 1 A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选 B. 3．甲射手击中靶心的概率为1 3 ，乙射手击中靶心的概率为1 2 ，甲、乙两人各射一次，那 么5 6 等于( ) A．甲、乙都击中靶心的概率 B．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率 C．甲、乙至少有一人击中靶心的概率 D．甲、乙不全击中靶心的概率 答案 D 解析 设“甲、乙两人都击中靶心”为事件 A， 则 P(A)＝1 3 ×1 2 ＝1 6 ， 甲、乙不全击中靶心的概率为 P( A )＝1－P(A)＝5 6 . 4．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为2 3 和3 4 ，两个零件 是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.1 2 B. 5 12 C.1 4 D.1 6 答案 B 解析 设事件 A：甲实习生加工的零件为一等品，事件 B：乙实习生加工的零件为一等 品，则 P(A)＝2 3 ，P(B)＝3 4 ， 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(A B )＋P( A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝2 3 × 1－3 4 ＋ 1－2 3 ×3 4 ＝ 5 12 . 5．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成 6 道自我检测题， 甲及格的概率为4 5 ，乙及格的概率为3 5 ，丙及格的概率为 7 10 ，三人各答一次．则三人中只有 1 人及格的概率为( ) A. 3 20 B. 42 135 C. 47 250 D．以上都不对 答案 C 解析 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为： 4 5 × 1－3 5 × 1－ 7 10 ＋ 1－4 5 ×3 5 × 1－ 7 10 ＋ 1－4 5 × 1－3 5 × 7 10 ＝ 47 250 . 二、填空题 6．某条道路的 A，B，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分 别为 25 秒、35 秒、45 秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是__________． 答案 35 192 解析 P＝25 60 ×35 60 ×45 60 ＝ 35 192 . 7．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为 0.4，乙胜丙的概率为 0.5，丙胜甲的概 率为 0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜 者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________． 答案 0.09 解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率 P＝(1 －0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09. 8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三 个问题分别得 100 分、100 分、200 分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、 三个问题的概率分别为 0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不 低于 300 分的概率是________． 答案 0.46 解析 设“同学甲答对第 i 个题”为事件 Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6， P(A3)＝0.5，且 A1，A2，A3 相互独立，同学甲得分不低于 300 分对应于事件 A1A2A3∪A1 A 2A3 ∪ A 1A2A3 发生，故所求概率为 P＝P(A1A2A3∪A1 A 2A3∪ A 1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1 A 2A3)＋P( A 1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3) ＋P(A1)P( A 2)·P(A3)＋P( A 1)P(A2)P(A3) ＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46. 三、解答题 9．甲、乙、丙三位大学毕业生，同时到一个用人单位应聘，其中被选中的概率分别为 甲：P(A)＝2 5 ；乙：P(B)＝3 4 ；丙：P(C)＝1 3 .且各自能否被选中是无关的．求： (1)三人都被选中的概率； (2)只有两人被选中的概率； (3)三人中有几人被选中的事件最易发生？ 解 (1)∵三个事件 A、B、C 相互独立， ∴三人都被选中的概率 P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝2 5 ×3 4 ×1 3 ＝ 1 10 . (2)只有两人被选中的事件为 A BC＋A B C＋AB C ∵事件 A BC、A B C、AB C 彼此互斥， 且 A、B、C 相互独立， ∴P( A BC∪A B C∪AB C ) ＝P( A BC)＋P(A B C)＋P(AB C ) ＝P( A )P(B)P(C)＋P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C ) ＝3 5 ×3 4 ×1 3 ＋2 5 ×1 4 ×1 3 ＋2 5 ×3 4 ×2 3 ＝23 60 . 故只有两人被选中的概率为23 60 . (3)∵三人都不被选中的概率 P( A B C )＝P( A )·P( B )·P( C )＝3 5 ×1 4 ×2 3 ＝ 1 10 ， ∴三人中有且仅有 1 人被选中的概率为 1－P(ABC)－P( A BC∪A B C∪AB C )－ P( A B C )＝ 5 12 . ∵ 5 12 >23 60 > 1 10 ，∴三人中只有一人被选中的概率最大，此事件最容易发生． 10．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回 答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率 分别为5 6 、4 5 、3 4 、1 3 ，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率； (3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X，求随机变量 X 的分布列． 解 记事件 Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”， 由已知 P(A1)＝5 6 ，P(A2)＝4 5 ， P(A3)＝3 4 ，P(A4)＝1 3 . (1)记事件 B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则 P(B)＝P(A1A2 A 3) ＝P(A1)P(A2)P( A 3) ＝5 6 ×4 5 × 1－3 4 ＝1 6 . (2)记事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则 P(C)＝P( A 1∪A1 A 2∪A1A2 A 3) ＝P( A 1)＋P(A1 A 2)＋P(A1A2 A 3) ＝1 6 ＋5 6 ×1 5 ＋5 6 ×4 5 × 1－3 4 ＝1 2 . (3)X 的可能取值为 1,2,3,4. P(X＝1)＝P( A 1)＝1 6 ， P(X＝2)＝P(A1 A 2) ＝5 6 × 1－4 5 ＝1 6 ， P(X＝3)＝P(A1A2 A 3) ＝5 6 ×4 5 × 1－3 4 ＝1 6 ， P(X＝4)＝P(A1A2A3) ＝5 6 ×4 5 ×3 4 ＝1 2 ， 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 6 1 6 1 6 1 2