指数函数及其性质学案 11页

‎ ‎ ‎§2.1　指数函数 ‎2.1.2指数函数及其性质 ‎1．指数函数的定义 一般地，函数y＝ax (a>0，且a≠1)叫做指数函数．‎ 理解指数函数的定义，需注意的几个问题：‎ ‎(1)因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.‎ ‎(2)规定底数a大于零且不等于1的理由：‎ 如果a＝0， 如果a<0，比如y＝(－4)x，这时对于x＝，x＝，…，在实数范围内函数值不存在．‎ 如果a＝1，y＝1x＝1，是一个常量，对它就没有研究的必要．‎ 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.‎ ‎(3)指数函数解析式的特征：ax的系数是1，a为常量，x为自变量，有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y＝ax＋1 (a>0，a≠1)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如y＝a－x (a>0，a≠1)，因为这可等价化归为y＝x .‎ ‎2．y＝ax (a>0，a≠1)的图象 图象 ‎01‎ 性质 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 ‎(0，＋∞)‎ 过定点 a>0且a≠1，无论a取何值恒过点(0,1)‎ 各区间取值 当x>0时，01‎ 当x>0时，y>1‎ 当x<0时，0ag(x) (a>0，a≠1)不等式中变量x的取值范围(即比较指数大小)．其基本思路是由指数函数的单调性得出不等式f(x)>g(x)或f(x)0，‎ 故此函数的值域为(0,1]．‎ 点评　本题中的函数都不是指数函数，但都与指数函数有关．根据指数函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)，结合前一章求函数定义域和值域的方法，可以求解一些简单函数的定义域和值域．在求解中要注意正确运用指数函数的单调性．在求值域问题时，既要考虑指数函数的单调性，还应注意指数函数的值域为(0，＋∞)．‎ ‎　　　　 题型二　指数函数的图象 如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)‎ A．a0，且a≠1)．‎ 解　(1)y＝x在上是减函数，‎ 又－0.1>－0.2，故－0.1<－0.2.‎ ‎(2)＝－，由y＝x的单调性可得，‎ －>－，即>－.‎ ‎(3)由0.8－2>1而－<1，可知0.8－2>－.‎ ‎(4)当a>1时，aa.‎ 点评　当两个幂函数底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小．此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而第(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函数来比较大小．因此，在利用指数函数的性质比较大小时，要注意以下几点：‎ ‎(1)同底数幂比较大小，可直接根据指数函数的单调性比较；‎ ‎(2)同指数幂比较大小，可利用作商和指数函数的性质判定商大于1还是小于1，从而得出结论；‎ ‎(3)既不同底也不同指数幂比较大小，可找中间媒介(通常是1或0)，或用作差法，作商法来比较大小．‎ ‎　　　　　 题型四　综合应用 已知函数f(x)＝·x3.‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)讨论f(x)的奇偶性；‎ ‎(3)求证：f(x)>0.‎ ‎(1)解　由2x－1≠0，得x≠0，‎ 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．‎ ‎(2)解　f(－x)＝·(－x)3‎ ‎＝－·x3＝·x3＝f(x)，‎ 又因为函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，所以f(x)为偶函数．‎ ‎(3)证明　当x∈(0，＋∞)时，2x>1，‎ 即2x－1>0，又>0，x3>0，‎ 所以f(x)＝·x3>0，‎ 由于f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，‎ 知当x∈(－∞，0)时，f(x)>0也成立，‎ 故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(x)>0.‎ 点评　‎ 11‎ ‎ ‎ 指数函数是一种具体的初等函数，常与第一章学习的函数单调性、奇偶性等知识点融合在一起，此时按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可，本例在第(3)问中，巧妙地应用了偶函数的性质而使问题巧妙地求解．‎ 求函数y＝9x＋2·3x－2的值域．‎ 错解　设3x＝t，则9x＝t2，‎ ‎∴y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3，‎ ‎∴ymin＝－3，从而y＝9x＋2·3x－2的值域为[－3，＋∞)．‎ 错因分析　若y＝－3，则9x＋2·3x＝－1，显然不成立．错因在于没有注意t＝3x>0这一隐含条件，在利用换元法时，一定要注意换元后新变量的取值范围．‎ 正解　设3x＝t (t>0)，则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3，‎ ‎∵当t＝0时，y＝－2，‎ ‎∴y＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞)．‎ ‎1．指数函数的图象和性质是高考的重要考点之一，常在与其他知识的交汇处考查．‎ ‎2．本节内容在高考中几乎每年都涉及，多以选择题或填空题的形式出现．‎ ‎1．(山东高考)已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N等于(　　)‎ A．{－1,1} B．{－1} C．{0} D．{－1,0}‎ 解析　N＝＝{x|－12 B．a<2‎ C．0y1>y2 B．y2>y1>y3‎ C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2‎ 答案　D 解析　y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，‎ y3＝－1.5＝21.5.‎ 因为函数y＝2x在实数集上是增函数，‎ 且1.8>1.5>1.44，所以y1>y3>y2.‎ ‎6．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)‎ 答案　C 解析　由00，且a≠1)．‎ 解　当a>1时，原不等式可变为x＋5<4x－1.解得x>2；‎ 当04x－1.解得x<2.‎ 11‎ ‎ ‎ 故当a>1时，原不等式的解集为(2，＋∞)；‎ 当00，函数f(x)＝＋是定义域为实数集R的偶函数．‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎(1)解　∵f(x)是R上的偶函数，‎ ‎∴f(x)＝f(－x)，即＋＝＋，‎ 即3x＋＝0，‎ ＝0，又根据题意，‎ 可得－a＝0，又a>0，所以a＝1.‎ ‎(2)证明　由(1)知f(x)＝3x＋，‎ 设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，所以3x1＋x2>1，‎ 则1－＝>0，‎ 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.‎ ‎2．指数函数的图象和性质 a>1‎ ‎00时，y>1；‎ 当x>0时，01‎ 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 ‎　　　　 一、指数函数定义的应用 例1　函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．‎ 分析　由题目可获取以下主要信息：①函数解析式中ax的系数为a2－3a＋3；②此函数为指数函数．解答本题只需紧扣指数函数的定义．‎ 解　由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，‎ 可得，解得，‎ ‎∴a＝2.‎ 点评　判断一个函数是否为指数函数：‎ ‎(1)切入点：利用指数函数的定义来判断；‎ ‎(2)关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x.‎ 变式迁移1　指出下列函数哪些是指数函数？‎ ‎(1)y＝4x；　　　　　(2)y＝x4；‎ ‎(3)y＝－4x; (4)y＝(－4)x；‎ ‎(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；‎ ‎(8)y＝(2a－1)x (a>且a≠1)；(9)y＝4－x；(10)y＝42x.‎ 解　(1)、(5)、(8)、(9)、(10)为指数函数．其中(9)y＝4－x＝x，(10)y＝42x＝(42)x＝16x符合指数函数的定义．而(2)中底数x不是常数，而4不是变数；(3)是－1与指数函数4x的乘积；(4)中底数－4<0，所以不是指数函数；(6)中指数不是自变量x，而是x的函数；(7)中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的定义．‎ ‎　　　　 二、求定义域、值域(最值)‎ 例2　求下列函数的定义域与值域．‎ ‎(1)y＝2；　(2)y＝－|x|.‎ 解　(1)由x－4≠0，得x≠4.‎ ‎∴定义域为{x|x∈R且x≠4}．‎ ‎∵≠0，∴2≠1，‎ ‎∴y＝2的值域为{y|y>0且y≠1}．‎ ‎(2)定义域为R.‎ 11‎ ‎ ‎ ‎∵|x|≥0，∴y＝－|x|的值域为{y|y≥1}．‎ 点评　求定义域要根据函数自身的要求，找出关于x的不等式，解不等式或不等式组可得定义域．求值域要根据定义域，根据函数的单调性，解答本题可利用换元思想化成指数函数．‎ 变式迁移2　求下列函数的定义域和值域：‎ ‎(1)y＝3；‎ ‎(2)y＝ .‎ 解　(1)定义域为[2，＋∞)，‎ ‎∵≥0，∴y＝3≥1，∴值域为[1，＋∞)．‎ ‎(2)∵1－x≥0，∴x≤1，即x≥0，‎ ‎∴函数y＝ 的定义域为[0，＋∞)．‎ 令t＝x，∴01，‎ 所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数，‎ ‎∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.‎ ‎(2)1.250.2＝0.8－0.2，‎ ‎∵0<0.8<1，‎ ‎∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数，‎ ‎∴0.8－0.1<1.250.2.‎ ‎(3)由指数函数的性质得 ‎1．70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1.‎ ‎∴1.70.3>0.93.1.‎ ‎(4)利用指数函数的单调性知4.54.1>4.53.6，‎ 又∵4.53.6>0,3.73.6>0，∴＝3.6，‎ ‎∵>1,3.6>1，∴3.6>1，‎ 从而4.53.6>3.73.6，∴4.54.1>3.73.6.‎ 点评　两数比较大小问题，一般方法是将其转化为同一函数的两个函数值的大小比较问题．对于1.70.3与0.93.1，不能直接看成某一个指数函数的两个值，所以(3)题无法用(1)、(2)两题的方法来进行比较．可在这两个数值之间找到中间量1，使这两个数值分别与数值1进行比较，进而比较出1.70.3与0.93.1的大小．(4)题直接比较有困难，可找中间变量4.53.6.‎ 11‎ ‎ ‎ 变式迁移3　比较，2，3，的大小．‎ 解　将，2，3，分成如下三类：‎ ‎(1)负数3；‎ ‎(2)大于0小于1的数；‎ ‎(3)大于1的数，2.‎ ‎∵<4，而4＝2，‎ ‎∴3<<<2.‎ 例4　函数f(x)＝ax (a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．‎ 分析　解答本题可结合函数单调性，对a进行分类讨论求值．‎ 解　(1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，‎ 最大值为a2，最小值为a.‎ ‎∴a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去). ‎ ‎(2)若00，a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a的值．‎ 解　∵f(x)＝ax在[1,2]上是单调函数，‎ ‎∴f(x)在1或2时取得最值．‎ ‎∴a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3，∵a>0，∴a＝2.‎ ‎1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．‎ ‎2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小 ‎(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．‎ ‎(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．‎ ‎(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．‎ ‎3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用．‎ 一、选择题 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为(　　)‎ 11‎ ‎ ‎ A．a<2 B．a>2‎ C．－10且a≠1)‎ C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)ax 答案　C 解析　∵y＝(|a|＋2)－x＝x，|a|＋2≥2，‎ ‎∴0<≤，符合指数函数定义．‎ ‎3．值域为(0，＋∞)的函数是(　　)‎ A．y＝5 B．y＝1－x C．y＝ D．y＝ 答案　B 解析　∵B中定义域为R,1－x∈R，∴y＝1－x>0.‎ ‎4．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案　B 解析　c<0，b＝53>3,1a>c.‎ ‎5．函数y＝2－x的图象为(　　)‎ 答案　A 二、填空题 ‎6．指数函数y＝f(x)的图象经过(π，e)，则f(－π)＝____.‎ 答案　 解析　设f(x)＝ax，则aπ＝e，‎ ‎∴f(－π)＝a－π＝(aπ)－1＝e－1＝.‎ ‎7．函数y＝的定义域是____________．‎ 答案　(－∞，2]‎ 解析　由4－2x≥0，得2x≤4，x≤2.‎ ‎8．若a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是______________．‎ 答案　c>a>b 解析　∵y＝0.8x单调递减，∴1>a>b，‎ 又∵c>1，∴c>a>b.‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝ax2＋3x－4，g(x)＝ax2＋2x－2 (a>0，a≠1)，若f(x)>g(x)，试确定x 11‎ ‎ ‎ 的范围．‎ 解　由f(x)>g(x)得ax2＋3x－4>ax2＋2x－2.‎ 当a>1时，x2＋3x－4>x2＋2x－2，∴x>2；‎ 当01时，x的范围是(2，＋∞)；‎ 当0