高考文科数学复习备课课件：第六节　简单的三角恒等变换 27页

文数 课标 版 第六节　简单的三角恒等变换 1.公式的常见变形 (1)1+cos α =① 　2cos 2        ; 1-cos α =② 　2sin 2        . 教材研读 (2)1+sin α =   ; 1-sin α =   . (3)tan   =   =   . 2.辅助角公式 a sin x + b cos x =   sin( x + φ )( φ 为辅助角),其中sin φ =③             , cos φ =④             .   　　 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1) y =3sin x +4cos x 的最大值是7.   ( × ) (2)设 α ∈(π,2π),则   =sin   .   ( × ) (3)在非直角三角形中有:tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C .   ( × ) (4)设   < θ <3π,且|cos θ |=   ,那么sin   的值为   .   ( × ) (5)公式 a sin x + b cos x =   sin( x + φ )中 φ 的取值与 a , b 的值无关.   ( × ) 1.已知cos α =   , α ∈(π,2π),则cos   等于   (　　) A.   　    B.-   　    C.   　    D.-   答案     B　由cos α =   ,得2cos 2   -1=   , 即cos 2   =   .又∵ α ∈(π,2π),∴   ∈   , ∴cos   <0,故cos   =-   . 2.   的值为   (　　) A.1　    B.-1　    C.   　    D.-   答案     D　原式=   =   =-   . 3.   sin 15 ° +cos 15 ° = 　　　     . 答案        解析        sin 15 ° +cos 15 ° =2   =2(sin 15 ° cos 30 ° +cos 15 ° sin 30 ° ) =2sin(15 ° +30 ° )=   . 4.化简sin 2   +sin 2   -sin 2 α 的结果是 　　　     . 答案        解析　 解法一:原式=   +   -sin 2 α =1-     -sin 2 α =1-cos 2 α ·cos   -sin 2 α =1-   -   =   . 解法二:令 α =0,则原式=   +   =   . 5.已知2π< θ <4π,且sin θ =-   ,cos θ <0,则tan   的值等于 　　　     . 答案 　-3 解析 　∵2π< θ <4π,又sin θ =-   ,cos θ <0, ∴3π< θ <   π,∴cos θ =-   , ∴tan   =   =   =   =   =-3. 考点一　三角函数式的化简、求值 典例1 　(1)4cos 50 ° -tan 40 ° =   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.2   -1 (2)化简:   (0< θ <π)= 　　　     . 答案 　(1)C　(2)-cos θ 解析 　(1)4cos 50 ° -tan 40 ° =4sin 40 ° -   =   =   考点突破 =   =   =   =   ,故选C. (2)原式=   =   =   .因为0< θ <π, 所以0<   <   , 所以cos   >0, 所以原式=-cos θ . 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则   方法技巧 2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根 号中含有三角函数式时,一般需要升次. 1-1 　化简: (1)sin 50 ° (1+   tan 10 ° ); (2)   . 解析 　(1)sin 50 ° (1+   tan 10 ° ) =sin 50 ° (1+tan 60 ° tan 10 ° ) =sin 50 ° ·   =sin 50 ° ·   =   =   =   =1. (2)原式=   =   =   =   =   cos 2 x . 考点二　三角函数的给值求值(角)问题 命题角度一　给值求值 典例2 　(1)已知sin   +sin α =   ,则sin   的值是   (　　) A.-   　    B.   　    C.   　    D.-   (2)(2016课标全国Ⅰ,14,5分)已知 θ 是第四象限角,且sin   =   , 则tan = 　　　     . 答案 　(1)D　(2)-   解析 　(1)sin   +sin α =   ⇒ sin   cos α +cos   ·sin α +sin α =   ⇒   sin α +   cos α =   ⇒   sin α +   cos α =   ,故sin   =sin α cos   + cos α sin   =-   =-   . (2)解法一:∵sin   =   × (sin θ +cos θ )=   , ∴sin θ +cos θ =   ①, ∴2sin θ cos θ =-   . ∵ θ 是第四象限角,∴sin θ <0,cos θ >0, ∴sin θ -cos θ =-   =-   ②, 由①②得sin θ =-   ,cos θ =   ,∴tan θ =-   , ∴tan   =   =-   . 解法二:∵   +   =   , ∴sin   =cos   =   , 又2 k π-   < θ <2 k π, k ∈Z,∴2 k π-   < θ +   <2 k π+   , k ∈Z, ∴cos   =   ,∴sin   =   , ∴tan   =   =   ,∴tan   =-tan   =-   . 典例3 　(1)设 α , β 为钝角,且sin α =   ,cos β =-   ,则 α + β 的值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   或   (2)已知 α , β ∈(0,π),且tan( α - β )=   ,tan β =-   ,则2 α - β 的值为 　　　     . 答案 　(1)C　(2)-   π 解析 　(1)∵ α , β 为钝角,sin α =   ,cos β =-   , ∴cos α =   ,sin β =   , ∴cos( α + β )=cos α cos β -sin α sin β =   >0. 又 α , β ∈   ,∴ α + β ∈(π,2π),∴ α + β =   . 命题角度二　给值求角 (2)∵tan α =tan[( α - β )+ β ]=   =   =   >0, 且 α ∈(0,π),∴0<2 α <π. ∴0< α <   . 又∵tan 2 α =   =   =   >0, ∴0<2 α <   , ∴tan(2 α - β )=   =   =1. ∵tan β =-   <0, β ∈(0,π), ∴   < β <π,∴-π<2 α - β <0, ∴2 α - β =-   . 1.“给值求值”即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数 值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系. 方法技巧 2.“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角 函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数. (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是   ,选 正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数;若角的范围为   ,选正弦函数. 3.解决上述两类问题时,常会用到角的变形,如: α =2·   , α = β -( β - α ), α =( α + β ) - β , α =   [( α + β )+( α - β )],   + α =   -   等. 2-1 　若sin 2 α =   ,sin( β - α )=   ,且 α ∈   , β ∈   ,则 α + β 的值是 　　　     . 答案        解析 　∵ α ∈   ,∴2 α ∈   , 又sin 2 α =   ,∴2 α ∈   , ∴cos 2 α =-   且 α ∈   , 又∵sin( β - α )=   , β ∈   , ∴ β - α ∈   ,∴cos( β - α )=-   , ∴cos( α + β )=cos[( β - α )+2 α ] =cos( β - α )cos 2 α -sin( β - α )sin 2 α =   ×   -   ×   =   , 又 α + β ∈   ,所以 α + β =   . 考点三　三角恒等变换的综合应用 典例4     (2016辽宁沈阳质检)已知函数 f ( x )=2sin x sin   . (1)求函数 f ( x )的最小正周期和单调递增区间; (2)当 x ∈   时,求函数 f ( x )的值域. 解析 　(1) f ( x )=2sin x   =   sin 2 x +sin x cos x =   ×   +   sin 2 x =   sin 2 x -   cos 2 x +   =sin   +   . 所以函数 f ( x )的最小正周期为 T =π. 由-   +2 k π ≤ 2 x -   ≤   +2 k π, k ∈Z, 解得-   + k π ≤ x ≤   + k π, k ∈Z, 所以函数 f ( x )的单调递增区间是   , k ∈Z. (2)当 x ∈   时,2 x -   ∈   ,则sin   ∈   ,所以 f ( x )∈   . 故当 x ∈   时, f ( x )的值域为   . 方法指导 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合, 通过变换把函数化为 y = A sin( ωx + φ )的形式再研究其性质,解题时注意观 察函数的角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题. 3-1 　已知函数 f ( x )=sin   +cos   , g ( x )=2sin 2   . (1)若 α 是第一象限角,且 f ( α )=   ,求 g ( α )的值; (2)求使 f ( x ) ≥ g ( x )成立的 x 的取值集合. 解析      f ( x )=sin   +cos   =   sin x -   cos x +   cos x +   sin x =   sin x , g ( x )=2sin 2   =1-cos x . (1)由 f ( α )=   得sin α =   . 又 α 是第一象限角,所以cos α >0. 从而 g ( α )=1-cos α =1-   =1-   =   . (2) f ( x ) ≥ g ( x ) ⇒   sin x ≥ 1-cos x , 即   sin x +cos x ≥ 1. 于是sin   ≥   . 从而2 k π+   ≤ x +   ≤ 2 k π+   , k ∈Z, 即2 k π ≤ x ≤ 2 k π+   , k ∈Z. 故使 f ( x ) ≥ g ( x )成立的 x 的取值集合为   x   2 k π ≤ x ≤ 2 k π+   , k ∈Z   .