高考文科数学复习备课课件：第一节　数列的概念及简单表示法 30页

文数 课标版 第一节　数列的概念及简单表示法 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数③ 　有限     无穷数列 项数④ 　无限     按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 a n +1 ⑤ 　>     a n 其中 n ∈N * 递减数列 a n +1 ⑥ 　<     a n 常数列 a n +1 = a n 按其他 标准分类 有界数列 存在正数 M ,使对于任意的 n ∈N * ,都有| a n | ≤ M 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项 1.数列的定义 按照① 　一定顺序     排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这 个数列的② 　项     . 教材研读 2.数列的分类 4.数列的通项公式 如果数列{ a n }的第 n 项与⑩ 　序号 n      之间的关系可以用一个式子来表 示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.已知数列{ a n }的前 n 项和 S n , 则 a n =   3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是⑦ 　列表法     、⑧ 　图象法     和 ⑨ 　通项公式法     . 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)所有的数列都有通项公式,且通项公式在形式上一定是唯一的.   ( × ) (2)数列是一种特殊的函数.   (√) (3)根据数列的前几项归纳出来的数列的通项公式可能不止一个.   (√) (4)如果数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,则 ∀ n ∈N * ,都有 a n +1 = S n +1 - S n .   (√) (5)若已知数列{ a n }的递推公式为 a n +1 =   ,且 a 2 =1,则可以写出数列{ a n } 的任何一项.   ( × ) 1.已知 n ∈N * ,给出4个表达式:① a n =   ② a n =   ,③ a n =   ,④ a n =   .其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1, … 的通项公式的 是   (　　) A.①②③　    B.①②④ C.②③④　    D.①③④ 答案     A　检验知①②③都可以是所给数列的通项公式. 2.已知数列{ a n }的通项公式为 a n = n 2 -8 n +15,则3   (　　) A.不是数列{ a n }中的项 B.只是数列{ a n }中的第2项 C.只是数列{ a n }中的第6项 D.是数列{ a n }中的第2项或第6项 答案     D　令 a n =3,即 n 2 -8 n +15=3, 解得 n =2或6, 故3是数列{ a n }中的第2项或第6项. 3.数列{ a n }中,若 a n +1 =   , a 1 =1,则 a 6 等于   (　　) A.13　    B.   　    C.11　    D.   答案     D　∵ a n +1 =   , a 1 =1, ∴ a 2 =   , a 3 =   , a 4 =   , a 5 =   , a 6 =   ,故选D. 4.已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n = n 2 -2 n +2,则数列{ a n }的通项公式为   (    ) A. a n =2 n -3　    B. a n =2 n +3 C. a n =   　    D. a n =   答案     C　当 n =1时, a 1 = S 1 =1, 当 n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =2 n -3, 由于 n =1时, a 1 =1不适合上式, 故 a n =   选C. 5.数列{ a n }满足: a 1 =2, a n =1-   ( n =2,3,4, … ),则 a 12 = 　　　     . 答案 　-1 解析 　 由 a 1 =2, a 2 =1-   =   , a 3 =1-   =-1, a 4 =1-   =2, 可知{ a n }是周期为3的周期数列, 则 a 12 = a 3 × 4 = a 3 =-1. 考点一　由数列的前几项归纳数列的通项公式 典例1     根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19, … ; (2)0.8,0.88,0.888, … ; (3)   ,   ,-   ,   ,-   ,   , … ; (4)   ,1,   ,   , … . 解析　 (1)符号问题可通过(-1) n 或(-1) n +1 来调整,原数列各项的绝对值的 排列规律为:后面的数的绝对值总比前面一个数的绝对值大6,故原数列 的一个通项公式为 a n =(-1) n ·(6 n -5). 考点突破 (2)将数列变形为   × (1-0.1),   × (1-0.01),   × (1-0.001), …… ,故原数列的一 个通项公式为 a n =     . (3)各项的分母分别为2 1 ,2 2 ,2 3 ,2 4 , … ,易看出第2,3,4, … 项的分子分别比分 母少3,因此把第1项变为-   ,则原数列可化为-   ,   ,-   ,   , …… ,∴原数列的一个通项公式为 a n =(-1) n ·   . (4)将数列变为   ,   ,   ,   , … ,对于分子3,5,7,9, … ,是相应项数的2倍加1, 可得分子的一个通项公式为 b n =2 n +1,对于分母2,5,10,17, … ,联想到数列 1,4,9,16, … ,即数列{ n 2 },可得分母的一个通项公式为 c n = n 2 +1,∴原数列的 一个通项公式为 a n =   . 方法指导 (1)根据所给数列的前几项求其一个通项公式时,需仔细观察分析,抓住 以下几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法, 它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠 的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1) n 或(-1) n +1 来调整. 1-1 　根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)1,3,5,7, … ; (2)2,5,10,17, … ; (3)   ,   ,   ,   ,   , … ; (4)1,3,3,5,5,7,7,9,9, … ; (5)1,2,2,4,3,8,4,16,5, … . 解析 　(1)数列的前4项1,3,5,7都是项数的2倍减1,所以原数列的一个通 项公式为 a n =2 n -1. (2)如果数列的前4项分别减去1,则变为1,4,9,16,所以原数列的一个通项 公式为 a n = n 2 +1. (3)分子为1 × 2,2 × 2,3 × 2, …… ,分母为1 × 3,3 × 5,5 × 7, …… ,故原数列的一个 通项公式为 a n =   . (4)该数列可变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0, …… ,则原数列的一个通项公 式为 a n = n +   . (5)奇数项为1,2,3,4,5, … ,偶数项为2,4,8,16, … ,从而原数列的一个通项公 式为 a n =   考点二　由 a n 与 S n 的关系求通项公式 a n 典例2 　已知下面数列{ a n }的前 n 项和 S n ,求{ a n }的通项公式. (1) S n =2 n 2 -3 n ;(2) S n =3 n + b . 解析 　(1)当 n =1时, a 1 = S 1 =-1,当 n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =(2 n 2 -3 n )-[2( n -1) 2 -3( n -1)] =4 n -5, 又 a 1 =-1也适合上式,因此 a n =4 n -5( n ∈N * ). (2)当 n =1时, a 1 = S 1 =3+ b , 当 n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =(3 n + b )-(3 n -1 + b )=2·3 n -1 . 当 b =-1时, a 1 适合上式;当 b ≠ -1时, a 1 不适合上式. ∴当 b =-1时, a n =2·3 n -1 ( n ∈N * ); 当 b ≠ -1时, a n =   方法指导 已知 S n 求 a n 的三个步骤: (1)先利用 a 1 = S 1 求出 a 1 ; (2)用 n -1替换 S n 中的 n 得出 S n -1 ,利用 a n = S n - S n -1 ( n ≥ 2)便可求出当 n ≥ 2时 a n 的 表达式; (3)看 a 1 是否符合 n ≥ 2时 a n 的表达式,若符合,则可以把数列的通项公式合 写;若不符合,则应该分 n =1与 n ≥ 2两段来写. 2-1 　已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a 1 =1, S n =2 a n +1 ,则 a n = 　　　     . 答案        解析 　∵ S n =2 a n +1 , ∴当 n ≥ 2时, S n -1 =2 a n , ∴ a n = S n - S n -1 =2 a n +1 -2 a n ( n ≥ 2), ∴3 a n =2 a n +1 ( n ≥ 2), 又易知 a 2 =   , ∴ a n ≠ 0( n ≥ 2),∴   =   ( n ≥ 2). ∴ a n =   ×   ( n ≥ 2). 当 n =1时, a 1 =1 ≠   ×   =   , ∴ a n =   考点三　由递推关系求数列的通项公式 典例3 　在数列{ a n }中, a 1 =2, a n +1 = a n + n +1,则 a n = 　　　     . 答案        解析 　由条件知 a n +1 - a n = n +1, 则 a n =( a 2 - a 1 )+( a 3 - a 2 )+( a 4 - a 3 )+ … +( a n - a n -1 )+ a 1 =(2+3+4+ … + n )+2=   . 方法指导 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 已知数列的递推关系,求数列的通项公式时,通常用累加、累乘、构造 法求解. 当出现 a n = a n -1 + m ( n ≥ 2)时,构造等差数列;当出现 a n = xa n -1 + y ( n ≥ 2)时,构造 等比数列;当出现 a n = a n -1 + f ( n )( n ≥ 2)时,用累加法求解;当出现   = f ( n )( n ≥ 2)时,用累乘法求解. 变式3-1 　若将本例中的条件“ a n +1 = a n + n +1”改为“ a n +1 =   a n ”,如何 求解? 解析 　∵ a n +1 =   a n , ∴   =   , ∴ a n =   ·   ·   · … ·   ·   · a 1 =   ·   ·   · … ·   ·2=   . 变式3-2 　若将本例中的条件“ a n +1 = a n + n +1”改为“ a n +1 =2 a n +3”,如何 求解? 解析 　设递推公式 a n +1 =2 a n +3可以转化为 a n +1 - t =2( a n - t ),即 a n +1 =2 a n - t ,解得 t = -3. 故 a n +1 +3=2( a n +3). 令 b n = a n +3,则 b 1 = a 1 +3=5,且   =   =2. 所以{ b n }是以5为首项,2为公比的等比数列. 所以 b n =5 × 2 n -1 ,故 a n =5 × 2 n -1 -3. 变式3-3　 若将本例中的条件“ a n +1 = a n + n +1”改为“ a n +1 =   ”,如何 求解? 解析 　∵ a n +1 =   , a 1 =2,∴ a n ≠ 0, ∴   =   +   ,即   -   =   , 又 a 1 =2,则   =   , ∴   是以   为首项,   为公差的等差数列. ∴   =   +( n -1) ×   =   , ∴ a n =   . 变式3-4 　若将本例中的条件换为“ a 1 =1, a n +1 + a n =2 n ”,如何求解? 解析　 ∵ a n +1 + a n =2 n ,∴ a n +2 + a n +1 =2 n +2. 故 a n +2 - a n =2, 即数列{ a n }的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列. 当 n 为偶数时,易求得 a 2 =1,故 a n = a 2 +2   = n -1. 当 n 为奇数时,∵ a n +1 + a n =2 n , a n +1 = n ( n +1为偶数),故 a n = n . 综上所述, a n =   n ∈N * . 考点四　数列的性质 典例4 　已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,常数 λ >0,且 λa 1 a n = S 1 + S n 对一切正整 数 n 都成立. (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)设 a 1 >0, λ =100.当 n 为何值时,数列   的前 n 项和最大? 解析 　(1)当 n =1时, λ   =2 S 1 =2 a 1 , a 1 ( λa 1 -2)=0. 若 a 1 =0,则 S n =0,当 n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =0-0=0,所以 a n =0. 若 a 1 ≠ 0,则 a 1 =   .当 n ≥ 2时,2 a n =   + S n ,2 a n -1 =   + S n -1 , 两式相减得2 a n -2 a n -1 = a n , 所以 a n =2 a n -1 ( n ≥ 2), 从而数列{ a n }是等比数列, 所以 a n = a 1 ·2 n -1 =   ·2 n -1 =   . 综上,当 a 1 =0时, a n =0;当 a 1 ≠ 0时, a n =   . (2)当 a 1 >0且 λ =100时,令 b n =lg   ,由(1)有, b n =lg   =2- n lg 2. 所以数列{ b n }是单调递减的等差数列(公差为-lg 2). b 1 > b 2 > … > b 6 =lg   =lg   >lg 1=0, 当 n ≥ 7时, b n ≤ b 7 =lg   =lg   0 ⇔ 数列{ a n }是单调递增数列; a n +1 - a n <0 ⇔ 数列{ a n } 是单调递减数列; a n +1 - a n =0 ⇔ 数列{ a n }是常数列. (2)作商比较法: ①当 a n >0时,   >1 ⇔ 数列{ a n }是单调递增数列;   <1 ⇔ 数列{ a n }是单调 递减数列;   =1 ⇔ 数列{ a n }是常数列. ②当 a n <0时,   >1 ⇔ 数列{ a n }是单调递减数列;   <1 ⇔ 数列{ a n }是单调 递增数列;   =1 ⇔ 数列{ a n }是常数列. 求数列最大项或最小项的方法 (1)利用不等式组   ( n ≥ 2)找到数列的最大项; (2)利用不等式组   ( n ≥ 2)找到数列的最小项. 4-1 　若数列{ a n }满足: a 1 =19, a n +1 = a n -3( n ∈N * ),则数列{ a n }的前 n 项和最大 时, n 的值为   (　　) A.6　    B.7　    C.8　    D.9 答案     B　∵ a 1 =19, a n +1 - a n =-3, ∴数列{ a n }是以19为首项,-3为公差的等差数列, ∴ a n =19+( n -1) × (-3)=22-3 n . 令   则   解得   ≤ n ≤   , ∵ n ∈N * ,∴ n =7,故当数列{ a n }的前 n 项和最大时, n 的值为7.