高考数学模拟试卷 2 (7) 13页

- 1 - 湖北省 2018 届高三 5 月冲刺试题 数学（理）(23) 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合  1 2A x x   ，   lg 3 , ,B x y x x y R     ，则 A B  （ ） A． 4,  B． 4,  C． , 3  D．   , 3 3,   2.某学校在校艺术节活动中，有 24 名学生参加了学校组织的唱歌比赛，他们比赛的成绩的茎 叶图如图所示，将他们的比赛成绩从低到高编号为 1-24 号，再用系统抽样方法抽出 6 名同学 周末到某音乐学院参观学习.则样本中比赛成绩不超过 85 分的学生人数为（ ） 6 9 7 0 1 2 2 5 8 1 3 6 6 7 8 8 9 9 9 9 0 0 1 2 2 3 4 7 A．1 B．2 C．3 D．不确定 3.二项式 63 2 x yx      展开式的常数项为（ ） A．135 2 B． 135 2  C．135 8 D． 135 8  4.执行如图所示的程序框图，若输入的 10n  ，则输出的T 为（ ） A．64 B．81 C. 100 D．121 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） - 2 - A． 816 3  B． 40 3 C. 416 3  D． 32 3 6.下列有关命题的说法中错误的是（ ） A．随机变量  ~ 3,4N ，则“ 3c  ”是“    2 2P c P c      ”的充要条件 B． ABC 中，“ A B ”的充要条件为“sin sinA B ” C. 若命题“ 0x R  ，使得 2 0 0 2 3 0x mx m    ”为假命题，则实数 m 的取值范围是    ,2 6,  D．命题“无理数的平方是有理数”的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数” 7.已知函数    sinf x A x   （ 0A  ，  ）的部分如图所示，将函数  y f x 的图像向右平移 4  个单位得到函数  y g x 的图像，则函数  y g x 的解析式为（ ） A． 2sin 2y x B． 2sin 2 8y x      C. 2sin 2 4y x      D． 2sin 2 4y x      8.已知实数 x 、 y 满足条件 2 0 4 0 2 5 0 x y x y x y            ，则 5 2 yz x   的最大值为（ ） - 3 - A． 4 5 B． 4 9 C. 2 3 D．1 9.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、 汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成 弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积= 1 2 （弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对 弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实 际面积之间存在误差.现有圆心角为 2 3  ，弦长为 40 3m 的弧田.其实际面积与按照上述经验 公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中 3  ， 3 1.73 ） A．15 B．16 C. 17 D．18 10.已知 为锐角，  为第二象限角，且   1cos 2    ，   1sin 2    ，则  sin 3   （ ） A． 1 2  B． 1 2 C. 3 2  D． 3 2 11.已知函数   5xf x e x   ，且函数      2 2 25g x m f x mf x m       有四个 不同的零点，则实数 m 的取值范围为（ ） A．1 25m  B． 25m  或 1m  C. 1 25m  D．0 4m  12.已知 1 23 2a e ， 2 34 3b e ， 13 83 8c e ，则（ ） A． a b c  B． c b a  C. b c a  D．b a c  第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知复数 2 1 ai i   （i 为虚数单位）在复平面上对应的点在虚轴上，则实数 a  ． 14.平面内，线段 AB 的长度为 10，动点 P 满足 6PA PB  ，则 PB 的最小值 为 ． - 4 - 15.已知  y f x 是奇函数，  y g x 是偶函数，它们的定义域均为 3,3 ，且它们在  0,3x 上的图象如图所示，则不等式     0f x g x  的解集是 ． 16.抛物线具有这样的光学性质：从抛物线的焦点出发的光线，经抛物线发射后，其发射光线 平行于抛物线的对称轴；反过来，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线发射后，其发射光 线经过抛物线的焦点.今有一个抛物镜面，其焦点到顶点 A的距离为 0.5 米，其抛物镜面的轴 截面图如图所示，在抛物镜面的对称轴上与抛物镜面的顶点 A距离为 4 米处有点 B ，过点 B 有 一个与抛物镜面对称轴垂直的平面 M ，在平面 M 上的某处（除点 B ）向抛物镜面发射了一 束与抛物镜面对称平行的光线，经抛物镜面两次发射后，返回到平面 M 上，则光线所经过的 路程有 米． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS 满足： 11 2n nS a  （ *n N ）. (1) 求 nS . (2)若  3 1log 1n nb S    （ *n N ）， 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 n n n T bb b b b b b b       ，则是否存在 正整数 m ，当 n m 时 n nS T 恒成立？若存在，求 m 的最大值；若不存在，请说明理由. 18.有 120 粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将 120 粒种子分种在 40 个坑内， 每坑 3 粒；方案二：120 粒种子分种在 60 个坑内，每坑 2 粒 如果每粒种子发芽的概率为 0.5， - 5 - 并且，若一个坑内至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽， 则这个坑需要补种（每个坑至多补种一次，且第二次补种的种子颗粒同第一次）.假定每个坑 第一次播种需要 2 元，补种 1 个坑需 1 元；每个成活的坑可收货 100 粒试验种子，每粒试验 种子收益 1 元. (1)用 表示播种费用，分别求出两种方案的 的数学期望； (2)用 表示收益，分别求出两种方案的收益 的数学期望； (3)如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？ 19. 已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的底面是边长为6 的等边三角形，D 是 BC 边上的中点，E 点满足 1 2B E EB  ，平面 ACE  平面 1AC D ，求： (1)侧棱长； (2)直线 1 1A B 与平面 ACE 所成的角的正弦值. 20. 已知  1,0M  ，  1,0N ， 2 2MR  ，  1 2OQ ON OR    ， MP MR  ， 0QP NR    ，记动点 P 的轨迹为C . (1)求曲线C 的轨迹方程. (2)若斜率为 2 2 的直线l 与曲线C 交于不同的两点 A、 B ，l 与 x 轴相交于 D 点，则 2 2DA DB 是否为定值？若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明理由. 21. 已知      22 2xf x x e m x x    . (1)讨论函数  f x 的单调性； (2)若函数  f x 有且仅有一个极值点，求函数     lng x f x x x x   的最小值； (3)证明：     1 1 1 1 2 ln 1 kn k k e k k e n nk k              （ *n N ）. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线l 经过点  3,0P ，倾斜角为 3  ，以坐标原点O 为极点， x 轴的 - 6 - 非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2sin  . (1)求直线l 的参数方程； (2)若 A点在直线 l 上， B 点在曲线C 上，求 AB 的最小值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知 0a  ， 0b  ， 0c  .若函数  f x x a x b c     的最小值为 2. (1)求 a b c  的值； (2)证明： 1 1 1 9 4a b b c c a      . - 7 - 湖北省 2018 届高三 5 月冲刺试题 数学（理）试卷答案(23) 一、选择题 1-5: CBBCC 6-10: CDABB 11、12：AD 二、填空题 13. 2 14. 2 15.  2 1 0 1 2 3x x x x       或 或 16. 9 三、解答题 17.解：（1）当 1n  时， 1 1a S ，由 1 1 11 2S a  ，得 1 2 3a  . 当 2n  时， 11 2n nS a  ， 1 1 11 2n nS a   ， 所以 1 1 1 1 1 1 11 12 2 2 2n n n n n n na S S a a a a                    ，即 1 1 3n na a  ， 所以 na 是以 2 3 为首项， 1 3 为公比的等比数列， 所以 2 113 3 111 31 3 n n nS                . （2）由（1）可知，   1 3 1 3 3 1 1log 1 log 1 1 log 13 3 n n n nb S n                               ， 所以   1 1 1 1 1 1 2 1 2n nb b n n n n       ， 所以 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 1 2n n n T bb b b b b b b n n                                      1 1 1 2 2 2n    . - 8 - 又 11 3 n nS       ，所以 nS 为递增数列， 1 2 3nS S  . 而 2 1 3 2  ，所以 *n N  恒有 n nS T ，故存在正整数，当 n m 时 n nS T 恒成立，其 m 的 最大值为 1. 18.解：（1）方案一：用 1X 表示一个坑播种的费用，则 1X 可取 2，3. 1X 2 3 P 7 8 31 2      ∴ 1 7 1 172 38 8 8EX      . ∴ 1 140 85E EX    元. 方案二：用 2X 表示一个坑播种的费用，则 2X 可取 2，3. 2X 2 3 P 3 4 21 2      ∴ 2 3 1 92 34 4 4EX      . ∴ 2 260 135E EX    元. （2）方案一：用 1Y 表示一个坑的收益，则 1Y 可取 0，100. 1Y 0 100 P 21 8      63 64 ∴ 1 63 1575100 64 16EY    . ∴ 1 140 3937.5E EY    元. - 9 - 方案二：用 2Y 表示一个坑的收益，则 2Y 可取 0，100. 2Y 0 100 P 21 4      15 16 ∴ 2 15 375100 16 4EY    . ∴ 2 260 5625E EY    元. （3）方案二所需的播种费用比方案一多 50 元，但是收益比方案一多 1687.5 元，故应选择方 案二. 19.解：（1）如图所示，以 A点为原点， AD 所在的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，则  3 3,0,0D ，  3 3,3,0C .设侧棱长为3a ，则  1 3 3,3,3C a ，  3 3, 3,E a . ∵ AD  平面 1 1BCC B ， ∴ AD CE . 故要使平面 ACE  平面 1AC D ，只需 1CE C D 即可，就是当 1CE C D 时， 则CE  平面 1AC D ， ∴平面 ACE  平面 1AC D . ∴     2 1 0, 6, 0, 3, 3 18 3 0CE C D a a a          ，即 6a  . - 10 - 故侧棱长为3 6 时，平面 ACE  平面 1AC D . （2）设平面 ACE 法向量为  , ,n x y z ， 则    , , 0, 6, 6 6 6 0n CE x y z y z         ，∴ 6z y .    , , 3 3,3,0 3 3 3 0n AC x y z x y       ，∴ 3y x  . 取  1, 3, 3 2n    . 又  1 1 3 3, 3,0A B   ， ∴     1 1 1, 3, 3 2 3 3, 3,0 66cos , 2222 6 n A B         . 故直线 1 1A B 与平面 ACE 所成的角的正弦值为 66 22 . 20.解：（1）由  1 2OQ ON OR    可知，Q 为线段 NR 的中点.由 MP MR  可知，P 点 在直线 MR 上. 由 0QP NR    可知，QP NR .所以 P 点为线段 NR 的垂直平分线与直线 MR 的交点，所以 PN PR ，所以 2 2PM PN MR   ，所以动点 P 的轨迹为 以 M 、 N 为焦点，长轴长为 2 2 的椭圆，即 2a  ， 1c  ，所以 1b  .所以曲线C 的 轨迹方程为 2 2 12 x y  . （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  ,0D m ，则直线l 的方程为  2 2y x m  ，将  2 2y x m  代入 2 2 12 x y  得 2 22 2 2 0x mx m    . ∴  2 2 24 8 2 16 4 0m m m       ，所以 2 2m   . 则 1 2x x m  ， 2 1 2 2 2 mx x  . 所以    2 2 2 22 2 1 1 2 2DA DB x m y x m y       - 11 -        2 2 2 2 1 2 1 2 3 3 3 2 2 2x m x m x m x m           2 2 2 1 2 1 2 3 2 22 x x m x x m        2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 22 x x x x m m        2 23 2 32 m m      故 2 2DA DB 是定值 3. 21. 解：（1）因为         ' 1 2 1 1 2x xf x x e m x x e m       ， 所以：①当 0m  时，  f x 在 ,1 上单调递减，在 1, 上单调递增； ②当 0 2 em  时，  f x 在   ,ln 2m 上单调递增，在   ln 2 ,1m 上单调递减，在  1, 上单调递增； ③当 2 em  时，  f x 在 R 上单调递增； ④当 2 em  时，  f x 在 ,1 上单调递增，在   1,ln 2m 上单调递减，在   ln 2 ,m  上单调递增. （2）由（1）可知，要使函数  f x 有且仅有一个极值点，则 0m  . 又      22 2 lnxg x x e m x x x x x      ， 所以     ' 1 2 lnxg x x e m x    ， 所以函数  g x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增. 所以    min 1 1g x g e m     . （3）取 0m  ，则由（2）可知，  g x 在 0,1 上单调递减，所以    1g x g ， 即 2 ln 1xx e x x x e      ，即 2 1 lnxx e e x x x     . 令  * 1 kx k Nk   ，则  0,11 kx k   ， - 12 - 所以 121 ln1 1 1 1 k kk k k ke ek k k k        ， 即    11 1 2 11 ln k ke k k kek k k       . 所以    1 1 1 1 1 2 11 ln kn n k k k e k k kek k k                    2 3 4 1ln ln ln ln ln 11 2 3 nn n nn          . 22.解：（1）l 的参数方程为 3 cos 3 sin 3 x t y t        （t 为参数）， 即 13 2 3 2 x t y t      （t 为参数）. （2）由 13 2 3 2 x t y t      得 3 3 0x y   由 2sin  得 2 2 sin   ，即 2 2 2 0x y y   ，即  22 1 1x y   . 所以曲线C 是以点  0,1Q 为圆心，1 为半径的圆. 又点Q 到直线l ： 3 3 0x y   的距离为 3 0 1 3 22d      . 故 AB 的最小值为 2 1 1  . 23.解：（1）∵      f x x a x b c x a x b c a b c a b c                ， 当且仅当 a x b   时，等号成立， ∴  f x 的最小值为 a b c  ，∴ 2a b c   . （2）由（1）可知， 2a b c   ，且 a ，b ，c 都是正数， - 13 - 所以      1 1 1 1 1 1 1 4 a b b c c aa b b c c a a b b c c a                      ， 1 34 b c a b b c c a a b a c a b b c c a b c c a a b                                     1 93 2 2 24 4      当且仅当 1a b c   时，取等号， 所以 1 1 1 9 4a b b c c a      得证.