高考数学专题复习课件：2-9 函数模型及其应用 49页

§2.9 　函数模型及其应用 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 .2. 了解函数模型 ( 如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 ) 的广泛应用． 1 ． 几类常见函数模型及其增长差异 (1) 几类函数模型 (2) 三种基本初等函数模型的性质 2. 解函数应用问题的步骤 ( 四步八字 ) (1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3) 解模：求解数学模型，得出数学结论； (4) 还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： (4) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上，随着 x 的增大， y ＝ a x ( a ＞ 1) 的增长速度会超过并远远大于 y ＝ x a ( a ＞ 0) 的增长速度． ( 　　 ) (5) “ 指数爆炸 ” 是指数型函数 y ＝ a · b x ＋ c ( a ≠ 0 ， b ＞ 0 ， b ≠ 1) 增长速度越来越快的形象比喻． ( 　　 ) (6) 指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) × 　 (6) √ 1 ． (2017· 广州模拟 ) 在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y － 0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x ， y 最适合的拟合函数是 ( 　　 ) A ． y ＝ 2 x 　　　　　　　　　　 B ． y ＝ x 2 － 1 C ． y ＝ 2 x － 2 D ． y ＝ log 2 x 【 解析 】 根据 x ＝ 0.50 ， y ＝－ 0.99 ，代入计算，可以排除 A ；根据 x ＝ 2.01 ， y ＝ 0.98 ，代入计算，可以排除 B ， C ；将各数据代入函数 y ＝ log 2 x ，可知满足题意．故选 D. 【 答案 】 D 2 ． (2017· 福建八县 ( 市 ) 一中上学期半期联考 ) 如图是张大爷晨练时所走的离家距离 ( y ) 与行走时间 ( x ) 之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是 ( 　　 ) 【 解析 】 由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家．故选 D. 【 答案 】 D 【 答案 】 D 4 ．用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 ( 　　 ) A ． 3 B ． 4 C ． 6 D ． 12 【 答案 】 A 5 ． (2015· 四川 ) 某食品的保鲜时间 y ( 单位：小时 ) 与储藏温度 x ( 单位： ℃ ) 满足函数关系 y ＝ e kx ＋ b (e ＝ 2.718 … 为自然对数的底数， k ， b 为常数 ) ．若该食品在 0 ℃ 的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是 ________ 小时． 【 答案 】 24 题型一　用函数图象刻画变化过程 【 例 1 】 (1) (2017· 九江模拟 ) 设甲、乙两地的距离为 a ( a ＞ 0) ，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为 ( 　　 ) (2) (2017· 日照模拟 ) 物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q 0 ，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率 ( 单位时间的运输量 ) 逐步提高的是 ( 　　 ) 【 解析 】 (1) y 为 “ 小王从出发到返回原地所经过的路程 ” 而不是位移，故排除 A ， C ；又因为小王在乙地休息 10 分钟，故排除 B ，故选 D. (2) 由运输效率 ( 单位时间的运输量 ) 逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选 B. 【 答案 】 (1)D 　 (2)B 【 方法规律 】 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1) 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2) 验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 跟踪训练 1 已知正方形 ABCD 的边长为 4 ，动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动．设点 P 运动的路程为 x ， △ ABP 的面积为 S ，则函数 S ＝ f ( x ) 的图象是 ( 　　 ) 【 解析 】 依题意知当 0 ≤ x ≤ 4 时， f ( x ) ＝ 2 x ；当 4 ＜ x ≤ 8 时， f ( x ) ＝ 8 ；当 8 ＜ x ≤ 12 时， f ( x ) ＝ 24 － 2 x ，观察四个选项知，选 D. 【 答案 】 D 【 方法规律 】 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2) 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3) 利用该模型求解实际问题． 【 答案 】 D 命题点 2 　构建指数函数、对数函数模型 【 例 4 】 (1) 世界人口在过去 40 年翻了一番，则每年人口平均增长率约是 ( 参考数据 lg 2 ≈ 0.301 0 ， 10 0.007 5 ≈ 1.017)( 　　 ) A ． 1.5% 　　　　　　　　　　 B ． 1.6% C ． 1.7% D ． 1.8% (2) 某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停 ( 每次上涨 10%) ，又经历了 n 次跌停 ( 每次下跌 10%) ，则该股民这支股票的盈亏情况 ( 不考虑其他费用 ) 为 ( 　　 ) A ．略有盈利 B ．略有亏损 C ．没有盈利也没有亏损 D ．无法判断盈亏情况 【 答案 】 (1)C 　 (2)B 命题点 3 　构建分段函数模型 【 例 5 】 某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km( 不超过 3 km 按起步价付费 ) ；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元．现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了 ________km. 【 答案 】 9 【 方法规律 】 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制． 跟踪训练 3 (1) 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时 25% 的速度减少，为了保障交通安全，某地根据 《 道路交通安全法 》 规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过 ________ 小时才能开车． ( 精确到 1 小时 ) (2) 某企业投入 100 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 ( 　　 ) A ． 10 B ． 11 C ． 13 D ． 21 【 解析 】 (1) 设经过 x 小时才能开车． 由题意得 0.3(1 － 25%) x ≤ 0.09 ， ∴ 0.75 x ≤ 0.3 ， x ≥ log 0.75 0.3 ≈ 4.19. ∴ x 最小为 5. (2) 设该企业需要更新设备的年数为 x ， 设备年平均费用为 y ， 【 答案 】 (1)5 　 (2)A 【 思维点拨 】 根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和 “ 对勾 ” 函数的最值的结论． 【 规范解答 】 (1) 当 0 ＜ x ≤ 40 时， W ＝ xR ( x ) － (16 x ＋ 40) ＝－ 6 x 2 ＋ 384 x － 40 ， (2 分 ) 当 x ＞ 40 时， W ＝ xR ( x ) － (16 x ＋ 40) 即 x ＝ 50 ∈ (40 ，＋ ∞ ) 时，取等号， 所以 W 取最大值为 5 760.(10 分 ) 综合 ①② 知， 当 x ＝ 32 时， W 取得最大值 6 104 万元． (12 分 ) 【 答题模板 】 解函数应用题的一般程序 第一步：审题 —— 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模 —— 将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：解模 —— 求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原 —— 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思 —— 对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 【 温馨提醒 】 (1) 此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型． (2) 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值 . ► 方法与技巧 1 ．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础． 2 ．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值． 3 ．解函数应用题的五个步骤： ① 审题； ② 建模； ③ 解模； ④ 还原； ⑤ 反思． ► 失误与防范 1 ．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型． 2 ．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 3 ．注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性 .