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- 2021-06-11 发布
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第2讲 空间图形的基本关系与公理
[基础题组练]
1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( )
A.与a,b都相交 B.只能与a,b中的一条相交
C.至少与a,b中的一条相交 D.与a,b都平行
解析:选C.若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据公理4,知a∥b,与a,b异面矛盾.
2.已知直线a和平面α,β,α∩β=l,aα,aβ,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( )
A.相交或平行 B.相交或异面
C.平行或异面 D.相交、平行或异面
解析:选D.依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.故选D.
3.已知空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A.空间四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
解析:选B.如图所示,易证四边形EFGH为平行四边形.
因为E,F分别为AB,BC的中点,
所以EF∥AC.
又FG∥BD,
所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.
而AC与BD所成的角为90°,
所以∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.
4.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选A.若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又aα,bβ,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行.故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
5.(2020·内蒙古集宁一中四模)如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD
的中点,若CD=2AB=4,EF⊥BA,则EF与CD所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:选A.取CB的中点G,连接EG,FG.则EG∥AB,FG∥CD.所以EF与CD所成的角为∠EFG(或其补角),因为EF⊥AB,所以EF⊥EG.
EG=AB=1,FG=CD=2,
所以在Rt△EFG中,sin∠EFG=,所以EF与CD所成的角为30°.故选A.
6.已知棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与A′C′的位置关系是 .
解析:如图,由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′,
所以MN∥A′C′.
答案:平行
7.给出下列四个命题:
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;
②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交;
③若一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面;
④若三条直线两两相交,则这三条直线共面.
其中真命题的序号是 .
解析:①正确,因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面,所以最多有一个公共点.②正确,a,b有交点,则两平面有公共点,则两平面相交.③正确,两平行直线可确定一个平面,又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上,
所以过这两交点的直线也在平面内,即三线共面.④错误,这三条直线可以交于同一点,但不在同一平面内.
答案:①②③
8.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为 .
解析:如图,将原图补成正方体ABCDQGHP,连接AG,GP,则GP∥BD,所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角,
在△AGP中,AG=GP=AP,
所以∠APG=.
答案:
9.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1,H,O三点共线.
证明:如图,连接BD,B1D1,
则BD∩AC=O,
因为BB1DD1,
所以四边形BB1D1D为平行四边形,
又H∈B1D,
B1D平面BB1D1D,
则H∈平面BB1D1D,
因为平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,
所以H∈OD1.即D1,H,O三点共线.
10.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:
(1)三棱锥PABC的体积;
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
解:(1)S△ABC=×2×2=2,
三棱锥PABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.
(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.
在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cos∠ADE==.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
[综合题组练]
1.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( )
A.直线AC B.直线AB
C.直线CD D.直线BC
解析:选C.由题意知,D∈l,lβ,所以D∈β,
又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,
所以点D在平面ABC与平面β的交线上.
又因为C∈平面ABC,C∈β,
所以点C在平面β与平面ABC的交线上,
所以平面ABC∩平面β=CD.
2.如图,已知线段AB垂直于定圆所在的平面,B,C是圆上的两点,H是点B在AC上的射影,当点C运动时,点H运动的轨迹( )
A.是圆 B.是椭圆
C.是抛物线 D.不是平面图形
解析:选A.如图,过点B作圆的直径BD,连接CD,AD,则BC⊥CD,再过点B作BE⊥AD于点E,连接HE,因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.又BC⊥CD,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC,所以CD⊥BH.
又BH⊥AC,且AC∩CD=C,所以BH⊥平面ACD,所以BH⊥AD,BH⊥HE.
又注意到过点B与直线AD垂直的直线都在同一个平面内,于是结合点B,E位置,可知,当点C运动时,点H运动的轨迹是以BE为直径的圆.故选A.
3.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
解:(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.
(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.
又因为AC⊥BD,则FG⊥EG.
在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,
求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.
4.(综合型)如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.
(1)证明:E,F,G,H四点共面;
(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?
(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明:EG=FH.
解:(1)证明:因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD.
又CF∶FB=CG∶GD,
所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E,F,G,H四点共面.
(2)当EH∥FG,且EH=FG时,四边形EFGH为平行四边形.
因为==,所以EH=BD.
同理可得FG=BD,由EH=FG,得m=n.
故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.
(3)证明:当m=n时,AE∶EB=CF∶FB,
所以EF∥AC,
又EH∥BD,
所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角),
因为AC⊥BD,所以∠FEH=90°,
从而平行四边形EFGH为矩形,所以EG=FH.
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