【数学】2020届一轮复习北师大版二项式系数性质的应用课时作业 6页

知识点一 三项展开式问题 ‎1.(x2＋3x＋2)5展开式中x项的系数是________．‎ 答案　240‎ 解析　(x2＋3x＋2)5＝[(x2＋3x)＋2]5＝C(x2＋3x)5＋C(x2＋3x)4·2＋C(x2＋3x)3·22＋C(x2＋3x)2·23＋C(x2＋3x)·24＋C·25，‎ 显然在(x2＋3x)n中，n>1时展开式中不含x项．‎ ‎∴x的系数为C·3·24＝240.‎ 知识点二 多个二项式相乘问题 ‎2.(x2＋2)5的展开式的常数项是________．‎ 答案　3‎ 解析　(x2＋2)5‎ ‎＝x25＋25，‎ 对于x25的通项为 Tr＋1＝x2C5－r·(－1)r ‎＝(－1)rCx－8＋2r.‎ 令－8＋2r＝0，即r＝4，‎ 即T5＝(－1)4C＝5.‎ 对25的通项为 T′r＋1＝2C5－r·(－1)r.‎ 令5－r＝0，即r＝5，T6′＝－2.‎ ‎∴(x2＋2)5的展开式的常数项为5－2＝3.‎ ‎3．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.‎ 答案　120‎ 解析　f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.‎ 知识点三 近似计算与整除问题 ‎4.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是(　　)‎ A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34‎ 答案　D 解析　(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.‎ ‎5．233除以9的余数是________．‎ 答案　8‎ 解析　233＝(23)11＝811＝(9－1)11‎ ‎＝C911×(－1)0＋C910×(－1)1＋…＋C91×(－1)10＋C90×(－1)11.‎ 分析易得：其展开式中C911×(－1)0＋C910×(－1)1＋…＋C91×(－1)10能被9整除，而最后一项为－1，则233除以9的余数是8.‎ ‎6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512015＋a能被13整除，则a＝________.‎ 答案　1‎ 解析　∵512015＋a＝(52－1)2015＋a＝C522015－C522014＋C522013－…＋C521－1＋a，‎ 能被13整除，0≤a＜13.‎ 故－1＋a能被13整除，故a＝1.‎ ‎7．求证2n＋2·3n＋5n－4能被25整除(n∈N*)．‎ 证明　原式＝4(5＋1)n＋5n－4‎ ‎＝4(C·5n＋C·5n－1＋C·5n－2＋…＋C)＋5n－4＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋25n，以上各项均为25的整数倍，故得证.‎ 知识点四 二项式系数的应用 ‎8.已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，‎ ‎(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；‎ ‎(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)‎ ‎(3)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求.‎ 解　(1)根据题意得：C＋C＝7，‎ 即m＋n＝7，①‎ f(x)中的x2的系数为 C＋C＝＋＝.‎ 将①变形为n＝7－m代入上式得：x2的系数为m2－7m＋21＝2＋，‎ 故当m＝3，或m＝4时，x2的系数的最小值为9.‎ 当m＝3、n＝4时，x3的系数为C＋C＝5；‎ 当m＝4、n＝3时，x3的系数为C＋C＝5.‎ ‎(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3‎ ‎≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003＝2.02.‎ ‎(3)由题意可得a＝C＝70，再根据 即 求得r＝5或6，此时，b＝7×28，‎ ‎∴＝.‎ ‎9．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值．‎ ‎(1)求a0；‎ ‎(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；‎ ‎(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；‎ ‎(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；‎ ‎(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.‎ 解　(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.‎ ‎(2)令x＝1，‎ 可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，①‎ 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.‎ ‎(3)令x＝－1，‎ 可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.②‎ 与①式联立相减得 a1＋a3＋…＋a99＝.‎ ‎(4)由①②可得，‎ ‎(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－)100·(2＋)100＝1.‎ ‎(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，‎ 即(2＋x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋x)100的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋)100.‎ 一、选择题 ‎1.3的展开式中常数项为(　　)‎ A．－8 B．－12 C．－20 D．20‎ 答案　C 解析　3＝6的展开式的通项公式为C(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，则展开式中常数项为C(－1)3＝－20.‎ ‎2．在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3项的系数为(　　)‎ A．210 B．120 C．80 D．60‎ 答案　B 解析　在展开式中，含x4y3的项为Cx4·C·2·y3＝120x4y3，故系数为120.‎ ‎3．11100－1末尾连续零的个数为(　　)‎ A．7 B．5 C．4 D．3‎ 答案　D 解析　11100－1＝(10＋1)100－1＝C10100＋C1099＋…＋C10＋C－1＝10100＋C1099＋…＋C103＋C102＋1000，则末尾连续零的个数为3.故选D.‎ ‎4．设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2015等于(　　)‎ A．i B．－i－1 C．－1＋i D．1＋i 答案　B 解析　x＝＝－1＋i，Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2015＝(1＋x)2015－1＝i2015－1＝i3－1＝－i－1.故选B.‎ ‎5．(1－2x)2014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2014x2014(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)‎ A．2 B．0 C．－1 D．－2‎ 答案　C 解析　令x＝0，得a0＝1，‎ 令x＝得a0＋＋＋…＋＝0，‎ 所以＋＋…＋＝－1.‎ 二、填空题 ‎6．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于________．‎ 答案　63‎ 解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.‎ ‎7．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝________.‎ 答案　1‎ 解析　令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，‎ 令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10，‎ 故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2‎ ‎＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(－1)10(＋1)10＝1.‎ ‎8. 设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.‎ 答案　9‎ 解析　由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4.由n的展开式的通项公式知Tr＋1＝Cr(r＝0,1,2，…，n)．‎ ‎∴故可得 三、解答题 ‎9．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋5x)n(m，n∈N*)‎ ‎(1)若m＝4，n＝5时，求f(x)·g(x)的展开式中含x2的项；‎ ‎(2)若h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)的展开式中含x的项的系数为24，那么当m，n为何值时，h(x)的展开式中含x2的项的系数取得最小值？‎ ‎(3)若(1＋5x)n(n≤10，n∈N*)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数成等差数列，求(1＋5x)n的展开式中系数最大的项．‎ 解　(1)当m＝4，n＝5时，f(x)＝(1＋x)4＝Cx0＋Cx1＋Cx2＋Cx3＋Cx4，‎ g(x)＝(1＋5x)5＝C(5x)0＋C(5x)1＋…＋C(5x)5，‎ 则f(x)·g(x)的展开式中含x2的项为(C·50C＋C·5C＋C·52C)x2，‎ 即f(x)·g(x)的展开式中含x2的项为356x2.‎ ‎(2)因为h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)的展开式中含x的项的系数为24，则C＋5C＝24，‎ 即m＝24－5n(其中1≤n≤4，n∈N*)，‎ 又h(x)的展开式中含x2的项的系数为C＋52C＝＋＝＋＝25n2－130n＋276＝252＋107(其中1≤n≤4，n∈N*)，‎ 又因为＞，‎ 所以当n＝3时(此时m＝9)，h(x)的展开式中含x2的项的系数取得最小值为111.‎ ‎(3)在(1＋5x)n(n≤10，n∈N*)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数分别为C·5n－1，C·5n－2，C·5n－3，又因为倒数第2、3、4项的系数成等差数列，所以 ‎2C·5n－2＝C·5n－1＋C·5n－3，‎ 整理得：n2－33n＋182＝0，‎ 解之得：n＝7或n＝26，‎ 又因为n≤10，n∈N*，‎ 所以n＝7或n＝26(不合题意舍去)‎ 设二项式(1＋5x)7的展开式中系数最大的项为第r＋1项(即Tr＋1＝C(5x)r)，‎ 则 整理并解之得：≤r≤，‎ 又因为n≤10，n∈N*，所以r＝6.‎ ‎10．已知fn(x)＝(1＋x)n.‎ ‎(1)若f2011(x)＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011，求a1＋a3＋…＋a2009＋a2011的值；‎ ‎(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数．‎ 解　(1)因为fn(x)＝(1＋x)n，‎ 所以f2011(x)＝(1＋x)2011，‎ 又f2011(x)＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011，‎ 所以f2011(1)＝a0＋a1＋…＋a2011＝22011，①‎ f2011(－1)＝a0－a1＋…＋a2010－a2011＝0，②‎ ‎①－②得2(a1＋a3＋…＋a2009＋a2011)＝22011，‎ 所以a1＋a3＋…＋a2009＋a2011＝22010.‎ ‎(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8.g(x)中含x6项的系数为C＋2C＋3C＝99.‎