2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理（含解析） 人教新版 11页

‎2019学年高二数学上学期第一次月考试题 理（含解析）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1. 若直线l过点A，B，则l的斜率为（　　）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由斜率公式得 ‎ ‎ 故选B ‎2. 若直线l∥平面，直线，则l与a的位置关系是（ ）‎ A. l∥a B. l与a异面 C. l与a相交 D. l与a没有公共点 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为直线，所以直线与平面没有交点，因为直线，所以直线与直线也没有交点，故选择D 考点：线与线的位置关系 ‎3. 下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】B为三棱锥的平面展开图，C为四棱锥的平面展开图，D错误，所以选A.‎ ‎4. 梁才学校高中生共有2 400人，其中高一年级800人，高二年级900人，高三年级700人，现采用分层抽样抽取一个容量为48的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（　　）‎ A. 16，20，12 B. 15，21，12 C. 15，19，14 D. 16，18，14‎ ‎【答案】D ‎【解析】每个个体被抽到的概率等于 ，所以高一、高二、高三各年级抽取人数为 ‎ - 11 -‎ 故选D ‎5. 某篮球运动员在一个赛季的35场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则中位数与众数分别为（ ）‎ A. 23，21 B. 23，23‎ C. 24，23 D. 25，23‎ ‎【答案】D ‎【解析】23出现4次，所以众数为23，小于25有16个数，大于25有17个数，所以中位数为25‎ 选D.‎ ‎6. 已知圆C：，则其圆心坐标与半径分别为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以圆心坐标与半径分别为，，因此选C.‎ ‎7. 下表是梁才学校1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量y ‎6‎ ‎4‎ ‎3.3‎ ‎2.7‎ 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（ ）‎ A. 5.85 B. 5.75 C. 5.5 D. 5.25‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，选C.‎ ‎8. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为9，3，则输出的（ ）‎ - 11 -‎ A. 6 B. 3‎ C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】循环依次为，输出，选B.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎9. 设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若l∥，m⊥，则l⊥m B. 若l⊥m，m∥，则l⊥‎ C. 若l⊥m，m⊥，则l∥ D. 若l∥，m∥，则l∥m ‎【答案】A ‎【解析】对于A，若l∥，m⊥，则l⊥m，故A正确； 对于B，若l⊥m，m∥则l⊥或l∥或l⊂，故B错误； 对于C，若l⊥m，m⊥，则l∥或l⊂，故C错误； 对于D，若l∥，m∥则l∥m或重合或异面；故D错误； 故选A．‎ ‎10. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（ ）‎ - 11 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】几何体为一个圆台，一开始底面比较大，水面上升幅度比较慢，之后上升幅度越来越快，所以选A.‎ 点睛：‎ ‎1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．‎ ‎2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ ‎11. 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量与中位数分别为（　　）‎ A. 13，12 B. 12，12‎ C. 11，11 D. 12，11‎ ‎【答案】B ‎【解析】平均重量为 中位数为，选B.‎ 点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.平均数等于组中值与对应概率乘积的和 ‎12. 矩形ABCD中，，，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（ ）‎ - 11 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】初始状态直线与直线成的角为 ，翻折过程中当时, 直线与直线成的角为直角，因此直线与直线成的角范围为，选C.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13. 若直线与直线互相平行，那么a的值等于_____．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】由题意得，验证满足条件，所以 ‎14. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为_________． ‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】略 ‎15. 圆上的点到直线的距离最大值是________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】圆（x-1）2+（y-1）2=1的圆心为（1，1），圆心到直线x-y=2的距离为 ‎ 圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为 - 11 -‎ 故答案为 点睛：在圆上找到一点到直线的距离最大，可以先转化到圆心到直线的距离加上圆的半径即得解,若求最小值,只需圆心到直线的距离减半径即可.‎ ‎16. 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为_____． ‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】三棱柱的高为1，底边边长为2，所以，所以球的内接正方体的边长为正方体的表面积为 三、解答题（共6个大题，总分70分，要求写出完整的解答过程，否则不给分．）‎ ‎17. 分别求过点P且满足下列条件的直线l方程：‎ ‎（1）倾斜角为的直线方程； ‎ ‎（2）与直线垂直的直线方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由倾斜角得斜率，再根据点斜式写直线方程（2）与直线垂直的直线可设为，再将点坐标代人即得参数c 试题解析：（1）∵直线的倾斜角为，∴所求直线的斜率，‎ 所以，直线l的方程为，即．‎ ‎（2）∵与直线垂直，∴可设所求直线方程为，将点（2,3）代入方程得，，∴所求直线方程为．‎ ‎18. 已知以点为圆心的圆与直线相切．‎ ‎（1）求圆A的方程；‎ ‎（2）过点的动直线l与圆A相交于M、N两点，当时，求直线l方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎ - 11 -‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知到直线的距离为圆半径，且 ‎,‎ 所以圆的方程为 . ‎ ‎（2）记MN中点为Q，则由垂径定理可知且，‎ 在中由勾股定理易知，，设动直线方程为：或，显然合题意.由到距离为1知，解得,‎ ‎ ∴或 为所求方程.‎ ‎19. 在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，SD⊥平面ABCD，点E为SD的中点．‎ ‎（1）求证：直线SB∥平面ACE ‎（2）求证：直线AC⊥平面SBD．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）设，根据三角形中位线性质得OE∥SB，再根据线面平行判定定理得结论（2）由SD⊥平面ABCD得AC⊥SD，由菱形性质得AC⊥BD，再由线面垂直判定定理得结论 试题解析：证明：（1）设，连接OE，由题，O为BD的中点，E为SD的中点，∴OE∥SB 又∵，，∴．‎ - 11 -‎ ‎（2）∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵SD⊥面ABCD，，∴AC⊥SD，‎ 而，∴AC⊥面SBD．‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎20. 为了让学生更多的了解“数学史”知识，梁才学校高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，统计结果见下表．请你根据频率分布表解答下列问题：‎ 序号 分组 组中值 频数 频率 ‎（i）‎ ‎（分数）‎ ‎（Gi）‎ ‎（人数）‎ ‎（Fi）‎ ‎1‎ ‎65‎ ‎①‎ ‎0.12‎ ‎2‎ ‎75‎ ‎20‎ ‎②‎ ‎3‎ ‎85‎ ‎③‎ ‎0.24‎ ‎4‎ ‎95‎ ‎④‎ ‎⑤‎ 合计 ‎50‎ ‎1‎ ‎（1）填充频率分布表中的空格；‎ ‎（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在 参加的800名学生中大概有多少名学生获奖？‎ ‎（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的值．‎ - 11 -‎ ‎【答案】（1）见解析（2）288（3）81‎ ‎【解析】略 ‎21. 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，，．‎ ‎（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；‎ ‎（2）当三棱锥C－ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ - 11 -‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据平几知识得BC⊥AC，CD⊥BC，再利用线面垂直判定定理得BC⊥平面ACD，即有DE⊥平面ACD，最后根据面面垂直判定定理得平面⊥平面；（2）先根据DE⊥平面ACD，表示三棱锥的体积，再根据基本不等式得体积最大时满足的条件： ，最后利用等体积求高，即可得点到平面的距离．‎ 试题解析：（1）∵AB是直径，∴BC⊥AC 又四边形DCBE为矩形，CD⊥DE，BC∥DE，‎ ‎∴CD⊥BC．‎ ‎∵CD∩AC=C，‎ ‎∴BC⊥平面ACD，‎ ‎∴DE⊥平面ACD                      ‎ 又DE⊂平面ADE，‎ ‎∴平面ADE⊥平面ACD            ‎ ‎（2）由（1）知VC﹣ADE=VE﹣ACD==‎ ‎==，‎ 当且仅当AC=BC=2时等号成立                   ‎ ‎∴当AC=BC=2三棱锥C﹣ADE体积最大为：     ‎ 此时，AD==3，=3，‎ 设点C到平面ADE的距离为h，则 ‎∴h= ‎ ‎22. 设直线与圆交于M、N两点，且M、N关于直线对称．‎ ‎（1）求m，k的值； ‎ ‎（2）若直线与圆C交P，Q两点，是否存在实数a使得OP⊥OQ，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．‎ - 11 -‎ ‎【答案】（1）（2）不存在．‎ ‎..................‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为圆上的两点关于直线对称，所以，直线过圆心，圆心，即有，同时，对称点的连线被对称轴垂直平分，所以又有 ，从而 ‎ ‎（2）由（1)知：圆C（x-1）2+（y+1）2=9，把代入 ‎ 得 ，设， 则， ‎ ‎ 若，则有x1x2+y1y2=0, ‎ ‎ 即， 方程无实数根，所以满足条件的实数不存在．‎ 点睛：本题主要考查了直线与圆的方程的性质的应用，解（1）的关键是根据圆的性质可得直线x+y=0过圆心的条件，而（2）是直线与圆的一般类型的试题，体现了方程的思想的应用．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 11 -‎