高中数学必修2教案：第三章 3_2_2直线的两点式方程 9页

‎3．2.2　直线的两点式方程 ‎[学习目标]　1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围.2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．‎ ‎2．直线的斜截式方程为y＝kx＋b.‎ ‎3．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k＝(x1≠x2)．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．两点确定一条直线．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1≠x2，y1≠y2的直线方程＝，叫做直线的两点式方程．‎ ‎2．直线l与x轴交点A(a,0)；与y轴交点B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则得直线方程＋＝1，叫做直线的截距式方程．‎ ‎3．若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则.‎ 要点一　直线的两点式方程 例1　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，‎ ‎(1)求BC边的方程；‎ ‎(2)求BC边上的中线所在直线的方程．‎ 解　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，‎ ‎∴由两点式得＝，‎ 即2x＋5y＋10＝0.‎ 故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．‎ ‎(2)设BC的中点为M(x0，y0)，‎ 则x0＝＝，y0＝＝－3.‎ ‎∴M，‎ 又BC边上的中线经过点A(－3,2)．‎ ‎∴由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0.‎ 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.‎ 规律方法　(1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，例1中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线．‎ 跟踪演练1　已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．‎ 解　∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，‎ ‎∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.‎ ‎∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，‎ 即x－y－3＝0.‎ 同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.‎ 要点二　直线的截距式方程 例2　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．‎ 解　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.‎ ‎①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.‎ ‎∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，‎ 若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.‎ 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.‎ ‎②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，‎ ‎∴直线的方程为3x＋4y＝0.‎ 综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.‎ 规律方法　(1)当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数法求解．‎ ‎(2)选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点．‎ 跟踪演练2　求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．‎ 解　设直线的两截距都是a，则有 ‎①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝，‎ ‎∴l：3x－2y＝0；‎ ‎②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，‎ 把P(2,3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.‎ ‎∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为(　　)‎ A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1‎ C．y＝x＋2 D．y＝－x－2‎ 答案　A 解析　代入两点式得直线方程＝，‎ 整理得y＝x＋3.‎ ‎2．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　C 解析　因为由点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝1.‎ ‎3．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为(　　)‎ A．x＝2 B．y＝2‎ C．x＝3 D．x＝6‎ 答案　B 解析　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.‎ ‎4．求过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的条数．‎ 解　设过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M(0，2k＋3)、N.‎ 再由12＝|OM|·|ON|＝|2k＋3|×|－2－|，可得|4k＋＋12|＝24，即4k＋＋12＝24，或4k＋＋12＝－24.解得k＝或k＝或k＝，‎ 故满足条件的直线有3条．‎ ‎5．求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．‎ 解　①若直线过原点，则k＝－，‎ ‎∴y＝－x，即4x＋3y＝0.‎ ‎②若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a.‎ ‎ ∴a＝3＋(－4)＝－1，‎ ‎∴x＋y＋1＝0.‎ 故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.‎ ‎1.求直线的两点式方程的策略以及注意点 ‎(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．‎ ‎(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．‎ ‎2．截距式方程应用的注意事项 ‎(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．‎ ‎(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．‎ ‎(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．‎ ‎3．对称问题的解决 ‎(1)点关于点对称，可用线段的中点坐标公式．‎ ‎(2)线关于点对称，可设线上任一点及其对称点化为点关于点对称，结合代入法解决．‎ ‎(3)点关于线对称，运用对称点的中点在对称轴直线上、对称点连线与对称轴垂直这两个条件，通过解方程组求解．‎ ‎(4)线关于线对称，转化为点关于线对称，结合代入法解决.‎ 一、基础达标 ‎1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(　　)‎ A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 答案　B 解析　由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B.‎ ‎2．直线＋＝1过第一、二、三象限，则(　　)‎ A．a>0，b>0 B．a>0，b<0‎ C．a<0，b>0 D．a<0，b<0‎ 答案　C 解析　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0.‎ ‎3．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(　　)‎ A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0‎ C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0‎ 答案　B 解析　kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2,2)，‎ 所以所求方程为：y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.‎ ‎4．已知△ABC三顶点坐标A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　)‎ A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0‎ C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0‎ 答案　A 解析　由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.‎ ‎5．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)‎ 答案　A 解析　化为截距式＋＝1，＋＝1.‎ 假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．‎ ‎6．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于________．‎ 答案　12‎ 解析　AB所在直线方程为＋＝1，则＋＝1，即4x0＋3y0＝12.‎ ‎7．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是____________________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，‎ 即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6)．‎ 则l的方程为＋＝1.‎ 二、能力提升 ‎8．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为(　　)‎ A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0‎ C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0‎ 答案　B ‎9．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．‎ 答案　3或－3‎ 解析　设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－，－，∴6＝×|－|×|－|＝，∴d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.‎ ‎10．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．‎ 答案　3‎ 解析　直线AB的方程为＋＝1，‎ 设P(x，y)，则x＝3－y，‎ ‎∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)‎ ‎＝[－(y－2)2＋4]≤3.‎ 即当P点坐标为时，xy取得最大值3.‎ ‎11．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：‎ ‎(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；‎ ‎(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．‎ 解　(1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB、AC中点坐标为，，‎ 所以这条直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为－＝1.‎ ‎(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，‎ 即7x－y－11＝0，化为截距式方程为－＝1.‎ 三、探究与创新 ‎12．某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发(如图所示)．问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？(已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m)‎ 解　以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，由已知可知A(0,60)，‎ B(90,0)，‎ ‎∴AB所在直线的方程为 ＋＝1，‎ 即y＝60(1－)．‎ ‎∴y＝60－x.‎ 从而可设P(x,60－x)，其中0