【数学】2020届一轮复习北师大版基本不等式课时作业 7页

‎　基本不等式 ‎ (25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 (　　)‎ A.a+b≥2　 B.+>‎ C.+≥2　 D.a2+b2>2ab ‎【解析】选C.因为ab>0,所以>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时取等号.‎ ‎2.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是 (　　)‎ A.[0,2]　 B.[-2,0]‎ C.[-2,+∞)　 D.(-∞,-2]‎ ‎【解析】选D.因为1=2x+2y≥2=2,‎ 所以≤,所以2x+y≤,得x+y≤-2.‎ ‎3.(2019·深圳模拟)已知f(x)=(x∈N*),则f(x)在定义域上的最小值为 ‎(　　)‎ A.　 B. 　 C.　 D.2‎ ‎【解析】选B.f(x)==x+,‎ 因为x∈N*,所以x+≥2 =2,‎ 当且仅当x=,即x=时取等号.‎ 但x∈N*,故x=5或x=6时,f(x)取最小值,‎ 当x=5时,f(x)=,当x=6时,f(x)=,‎ 故f(x)在定义域上的最小值为.‎ ‎4.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有 (　　)‎ A.最大值为0　　　 B.最小值为0‎ C.最大值为-4　 D.最小值为-4‎ ‎【解析】选C.因为x<0,所以f(x)=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时,取等号.‎ ‎5.若a≥0,b≥0,且a(a+2b)=4,则a+b的最小值为 (　　)‎ A.　 B‎.4　‎ C.2　 D.2‎ ‎【解析】选C.因为a≥0,b≥0,所以a+2b≥0,又因为a(a+2b)=4,所以4=a(a+2b)≤,当且仅当a=a+2b=2时等号成立.所以(a+b)2≥4,所以a+b≥2.‎ ‎6.已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为 (　　)‎ A. B‎.2‎ C. D.2‎ ‎【解析】选D.因为x>0,y>0,x+2y≥2,‎ 所以4xy-(x+2y)≤4xy-2,‎ 所以4≤4xy-2,‎ 即(-2)(+1)≥0,‎ 所以≥2,所以xy≥2.‎ ‎7.(2018·衡水模拟)若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),则a+b的最小值为 ‎(　　)‎ A.8　 B‎.6　‎ C.4　 D.2‎ ‎【解析】选C.由a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),得lg(ab)=lg(a+b),即ab=a+b,则有+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a+b的最小值为4.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.设P(x,y)是函数y=(x>0)图象上的点,则x+y的最小值为________. 导学号 ‎ ‎【解析】因为x>0,所以y>0,且xy=2.由基本不等式得x+y≥2=2,当且仅当x=y时等号成立.‎ 答案:2‎ ‎9.已知x,y为正实数,则+的最小值为________. 导学号 ‎ ‎【解析】因为x,y为正实数,则+=++1=++1,‎ 令t=,则t>0,所以+=+t+1=+t++≥2+=,当且仅当t=时取等号.‎ 所以+的最小值为.‎ 答案:‎ ‎10.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素,要求设计其横断面的面积为9平方米,且高度不低于米,记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y米,若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x=________. 导学号 ‎ ‎【解析】设横断面的高为h,‎ 由题意得AD=BC+2·=BC+x,h=x,‎ 所以9=(AD+BC)h=(2BC+x)·x,故BC=-,由得2≤x<6,‎ 所以y=BC+2x=+(2≤x<6),‎ 从而y=+≥2 =6,‎ 当且仅当=(2≤x<6),即x=2时等号成立.‎ 答案:2‎ ‎ (20分钟　40分)‎ ‎1.(5分)当00,y>0,且=,则当x+取最小值时,x2+=________. ‎ ‎【解析】因为x>0,y>0,所以当x+取最小值时,取得最小值,因为=x2++,又=,所以x2+=+,‎ 所以=+≥2 =16,‎ 所以x+≥4,当且仅当=,‎ 即x=2y时取等号,‎ 所以当x+取最小值时,x=2y,x2++=16,‎ 所以x2++=16,‎ 所以x2+=16-4=12.‎ 答案:12‎ ‎4.(12分)已知x,y∈(0,+∞),x2+y2=x+y. 导学号 ‎(1)求+的最小值.‎ ‎(2)是否存在x,y满足(x+1)(y+1)=5?并说明理由.‎ ‎【解析】(1)因为+==≥=2,当且仅当x=y=1时,等号成立,‎ 所以+的最小值为2.‎ ‎(2)不存在.理由如下:‎ 因为x2+y2≥2xy,‎ 所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y).‎ 又x,y∈(0,+∞),所以x+y≤2.‎ 从而有(x+1)(y+1)≤≤4,‎ 因此不存在x,y满足(x+1)(y+1)=5.‎ ‎5.(13分)某厂家拟在2018年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). 导学号 ‎(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数.‎ ‎(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?‎ ‎【解析】(1)由题意知,当m=0时,x=1(万件),所以1=3-k⇒k=2,所以x=3-,每件产品的销售价格为1.5×(元),‎ 所以2018年的利润y=1.5x×-8-16x-m=-+29(m≥0).‎ ‎(2)因为m≥0时,+(m+1)≥‎ ‎2=8,‎ 所以y≤-8+29=21,‎ 当且仅当=m+1,即m=3(万元)时,ymax=21(万元).故该厂家2018年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.‎