高二数学人教a版选修4-5学业分层测评9word版含答案 5页

学业分层测评（九） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．若 a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则 ax＋by 的最大值为( ) A．1 B．2 C. 2 D.4 【解析】 ∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2， ∴ax＋by≤ 2. 【答案】 C 2．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则( ) A．ab≤1 2 B．ab≥1 2 C．a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3 【解析】 ∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4， ∴a2＋b2≥2. 【答案】 C 3．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则 P＝(ax＋by)2 与 Q＝ax2＋by2 的关系是( ) 【导学号：32750050】 A．P≤Q B．PQ 【解析】 设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝  ax2＋ by2·  a2＋ b2 ＝ ax2＋by2· a＋b＝ ax2＋by2， ∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即 P≤Q. 【答案】 A 4．若 a，b∈R，且 a2＋b2＝10，则 a－b 的取值范围是( ) A．[－2 5，2 5] B．[－2 10，2 10] C．[－ 10， 10] D.(－ 5， 5) 【解析】 (a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2. ∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20. ∴－2 5≤a－b≤2 5. 【答案】 A 5．若 a＋b＝1 且 a，b 同号，则 a＋1 a 2＋ b＋1 b 2 的最小值为( ) A．1 B．2 C.25 2 D.7 2 【解析】 a＋1 a 2 ＋ b＋1 b 2 ＝a2＋2＋ 1 a2 ＋b2＋2＋ 1 b2 ＝(a2＋b2) 1＋ 1 a2b2 ＋4. ∵a＋b＝1，ab≤ a＋b 2 2 ＝1 4 ， ∴a2＋b2＝1 2(a2＋b2)·(1＋1) ≥1 2·(a＋b)2＝1 2 ，1＋ 1 a2b2 ≥1＋42＝17， ∴ a＋1 a 2 ＋ b＋1 b 2 ≥17 2 ＋4＝25 2 . 【答案】 C 二、填空题 6．设实数 x，y 满足 3x2＋2y2≤6，则 P＝2x＋y 的最大值为________． 【解析】 由柯西不等式得(2x＋y)2≤[( 3x)2＋( 2y)2]· 2 3 2 ＋ 1 2 2 )＝(3x2 ＋2y2)· 4 3 ＋1 2 ≤6×11 6 ＝11， 于是 2x＋y≤ 11. 【答案】 11 7．设 xy＞0，则 x2＋4 y2 · y2＋1 x2 的最小值为________． 【解析】 原式＝ x2＋ 2 y 2 1 x 2 ＋y2 ≥ x·1 x ＋2 y·y 2 ＝9(当且仅当 xy＝ 2时取 等号)． 【答案】 9 8．设 x，y∈R＋，且 x＋2y＝8，则9 x ＋2 y 的最小值为________． 【解析】 (x＋2y) 9 x ＋2 y ＝[( x)2＋( 2y)2][ 3 x 2 ＋ 2 y 2 ]≥ x· 3 x ＋ 2y· 2 y 2 ＝25，当且仅当 x· 2 y ＝ 2y· 3 x ，即 x＝24 5 ，y＝8 5 时，“＝”成立．又 x＋2y＝8， ∴9 x ＋2 y ≥25 8 . 【答案】 25 8 三、解答题 9．已知θ为锐角，a，b 均为正实数．求证：(a＋b)2≤ a2 cos 2θ ＋ b2 sin2θ. 【证明】 设 m＝ a cos θ ， b sin θ ，n＝(cos θ，sin θ)， 则|a＋b|＝| a cos θ·cos θ＋ b sin θ·sin θ| ＝|m·n|≤|m||n|＝ a cos θ 2 ＋ b sin θ 2 · 1 ＝ a2 cos2θ ＋ b2 sin2θ ， ∴(a＋b)2≤ a2 cos2θ ＋ b2 sin2θ. 10．已知实数 a，b，c 满足 a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－2 3 ≤c≤1. 【证明】 因为 a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1， 所以 a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. 由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2， 当且仅当 b＝2a 时，等号成立，即 5(1－c2)≥(1－c)2， 整理得 3c2－c－2≤0，解得－2 3 ≤c≤1. [能力提升] 1．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是( ) A. 3 B. 5 C．3 D．5 【 解 析 】 根 据 柯 西 不 等 式 ， 知 y ＝ 1× x－5 ＋ 2× 6－x≤ 12＋22×  x－52＋ 6－x2＝ 5 当且仅当 x＝26 5 时取等号 . 【答案】 B 2．已知 4x2＋5y2＝1，则 2x＋ 5y 的最大值是( ) A. 2 B．1 C．3 D．9 【解析】 ∵2x＋ 5y＝2x·1＋ 5y·1 ≤ 2x2＋ 5y2· 12＋12＝ 1· 2＝ 2. ∴2x＋ 5y 的最大值为 2. 【答案】 A 3．函数 f(x)＝ 2－x2＋ 2x2－1的最大值为______． 【导学号：32750051】 【解析】 设函数有意义时 x 满足1 2 ≤x2≤2，由柯西不等式得[f(x)]2＝ 2－x2＋ 2 x2－1 2 2 ≤(1＋2) 2－x2＋x2－1 2 ＝9 2 ， ∴f(x)≤3 2 2 ， 当且仅当 2－x2＝x2－1 2 2 ，即 x2＝3 2 时取等号． 【答案】 3 2 2 4．在半径为 R 的圆内，求内接长方形的最大周长． 【解】 如图所示，设内接长方形 ABCD 的长为 x，宽为 4R2－x2，于是 ABCD 的周长 l＝2(x＋ 4R2－x2)＝2(1·x＋1× 4R2－x2)． 由柯西不等式 l≤2[x2＋( 4R2－x2)2] 1 2(12＋12) 1 2＝2 2·2R ＝4 2R， 当且仅当x 1 ＝ 4R2－x2 1 ，即 x＝ 2R 时，等号成立． 此时，宽＝ 4R2－ 2R2＝ 2R，即 ABCD 为正方形， 故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为 4 2R.