2021届高考数学一轮复习第七章解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系课件 52页

第 9 讲 直线与圆锥曲线的位置关系 课标要求 考情风向标 1. 了解圆锥曲线的实际背景， 感受圆锥曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用 . 2. 能用坐标法解决一些与圆 锥曲线有关的简单几何问题 ( 直线与圆锥曲线的位置关系 ) 和实际问题 . 3. 通过圆锥曲线的学习，进一 步 体会数形结合的思想 1. 本节复习时，应从“数”与 “ 形”两个方面把握直线与圆锥 曲线的位置关系 . 本节内容的特 点是运算量比较大，应通过示例 的剖析，掌握常规解题规律与 方 法，优化解题过程 . 2. 重点掌握直线与曲线的位置关 系 ( 弦长、中点或交点个数 ) 及有 关最值、定值、定点、轨迹问题 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的 方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A ， B 不同时为 0) 代入圆锥曲线 C 的方程 F ( x ， y ) ＝ 0 ，消去 y ( 也可以消去 x ) ，得到一个关于变量 x ( 或变 量 y ) 的一元方程 . (1) 当 a ≠0 时，设一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的判别式为 Δ ，则 Δ ＞ 0⇔ 直线 l 与圆锥曲线 C 相交； 相切 Δ ＝ 0⇔ 直线 l 与圆锥曲线 C __________ ； Δ ＜ 0⇔ 直线 l 与圆锥曲线 C 无公共点 . (2) 当 a ＝ 0 ， b ≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆 锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直 线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则 直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行 . 2. 圆锥曲线的弦长 (1) 圆锥曲线的弦长： 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个 交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦 ( 就是连接圆锥曲线上任 意两点所得的线段 ) ，线段的长就是弦长 . 3. 直线与圆锥曲线的位置关系口诀 “ 联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找 范围，曲线定义不能忘” . 1. 平面上一机器人在行进中始终保持与点 F (1,0) 的距离和 到直线 x ＝－ 1 的距离相等 . 若机器人接触不到过点 P ( － 1,0) 且斜 率为 k 的直线，则实数 k 的取值范围是 _ ___ _________________. ( － ∞ ，－ 1)∪(1 ，＋ ∞ ) 图 D66 答案： D 3.(2016 年河北唐山模拟 ) 过抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 的焦点 F 作直 线 l 交抛物线 C 于 A ， B 两点，若 A 到抛物线的准线的距离为 4 ， 则 | AB | ＝ _________. 考点 1 弦长公式的应用 图 7-9-1 思维点拨： 利用点到直线的距离求解 | CD | 后；再将直线方 程与圆锥曲线方程联 立，消元后得到一元二次方程，利用根与 系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后利用弦长 公式进行整体代入求出 | AB |. (2) 椭圆 x 2 ＋ 4 y 2 ＝ 4 的长轴上一个顶点为 A ，以 A 为直角顶 点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角 形的面积是 ________. 考点 2 点差法的应用 思维点拨： 用点差法求出割线的斜率，再结合已知条件求 解 . 答案： C 【 规律方法 】 (1) 例 (1) 中的三个小题都设了端 点的坐标，但 最终没有求点的坐标，这种 “ 设而不求 ”的思想方法是解析几 何的一种非常重要的思想方法 . (2) 本例这种方法叫 “点差法”，“点差法” 主要解决四类 题型： ① 求平行弦的中点的轨迹方程； ② 求过定点的割线的弦 的中点的轨迹方程； ③ 求过定点且被该点平分的弦所在的直线 的方程； ④ 有关对称的问题 . (3) 本例中 “设而不求”的 思想方法和 “ 点差法 ”还适用 于双曲线和抛物线 . 考点 3 直线与圆锥曲线的位置关系 【 跟踪训练 】 思想与方法 ⊙ 圆锥曲线中的函数与方程思想和数形结合思想 (1) 求椭圆 C 及圆 O 的方程； (2) 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P . ① 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 求直线 l 的方程 . 图 7-9-2 图 7-9-3 【 规律方法 】 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其 常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后 应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题 . 直线与圆锥曲线 位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函 数、方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点， 特 别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关 系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想 方法的热点题型 . 【 跟踪训练 】 1. 直线与圆锥曲线的综合，是高考最常见的一种题型，涉 及求弦长、中点弦方程、轨迹问题、切线问题、最值问题、参 数的取值范围问题等 . 分析问题时需借助于数形结合、设而不 求、弦长公式及韦达定理等来综合考虑 . 2. 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题 时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标 与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法” . 3. 研究直线与圆锥曲线的位置关系，经常用到一元二次方 程根的判别式、根与系数的关系、弦长公式等，要重视设而不 求及数形结合思想的运用，切忌一味呆板地去求方程的根；在 解题时应注意讨论二次项系数为 0 的情况，否则会漏解 . 要强调 根的判别式，这是直线与圆锥曲线有没有交点的前提，也是求 参数范围的基本方法 .