2020版高中数学 第二章 数列 同步精选测 5页

同步精选测试　数　列 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.下面有四个结论，其中叙述正确的有(　　)‎ ‎①数列的通项公式是唯一的；‎ ‎②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；‎ ‎③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；‎ ‎④每个数列都有通项公式.‎ A.①② B.②③ C.③④ D.①④‎ ‎【解析】　数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.‎ ‎【答案】　B ‎2.数列的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　)‎ A.70 B.28‎ C.20 D.8‎ ‎【解析】　由an＝ 得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.‎ ‎【答案】　C ‎3.若数列{an}的前4项依次是2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是(　　)‎ A.an＝1＋(－1)n＋1‎ B.an＝1－cos nπ C.an＝2sin2 D.an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)‎ ‎【解析】　根据各选项中的通项公式写出前4项，看是否为题干中的数列即可.当n＝3和4时，D选项不满足，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎4.已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) ‎ ‎【导学号：18082074】‎ A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 ‎【解析】　an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列.‎ 5‎ ‎【答案】　A ‎5.在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的(　　)‎ A.第100项 B.第12项 C.第10项 D.第8项 ‎【解析】　∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去).‎ ‎【答案】　C 二、填空题 ‎6.已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________.‎ ‎【解析】　由an＝19－2n>0，得n<.‎ ‎∵n∈N＋，‎ ‎∴n≤9.‎ ‎【答案】　9‎ ‎7.已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________. ‎ ‎【导学号：18082075】‎ ‎【解析】　∴a2－a＝2，‎ ‎∴a＝2或－1，‎ 又a<0，∴a＝－1.‎ 又a＋m＝2，‎ ‎∴m＝3，‎ ‎∴an＝(－1)n＋3，‎ ‎∴a3＝(－1)3＋3＝2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎8.如图211是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图中共有化学键________个.‎ 图211‎ ‎【解析】　各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键(5n＋1)个.‎ ‎【答案】　(5n＋1)‎ 5‎ 三、解答题 ‎9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：‎ ‎(1)，，，，…；‎ ‎(2)，2，，8，，…；‎ ‎(3)1,3,6,10,15，…；‎ ‎(4)7,77,777，…. ‎ ‎【导学号：18082076】‎ ‎【解】　(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝.‎ ‎(2)把分母统一为2，则有，，，，，…，因而有an＝.‎ ‎(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝.‎ ‎(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有an＝(10n－1).‎ ‎10.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a2 016；‎ ‎(3)2 016是否为数列{an}中的项？‎ ‎【解】　(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有 解得k＝4，b＝－2.‎ ‎∴an＝4n－2.‎ ‎(2)a2 016＝4×2 016－2＝8 062.‎ ‎(3)由4n－2＝2 016得n＝504.5∉N＋，‎ 故2 016不是数列{an}中的项.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　)‎ A. B.5‎ C.6 D. 5‎ ‎【解析】　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.‎ ‎【答案】　B ‎2.已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，2] B.(－∞，3)‎ C.(－∞，2) D.(－∞，3]‎ ‎【解析】　an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可.‎ ‎【答案】　B ‎3.根据图212中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点.‎ 图212‎ ‎【解析】　观察图形可知，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点.‎ ‎【答案】　n2－n＋1‎ ‎4.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋).‎ ‎(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ ‎ ‎【导学号：18082077】‎ ‎(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项.‎ ‎【解】　(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项.‎ 令an＝1，得＝1，‎ 而该方程无正整数解，‎ ‎∴1不是数列{an}中的项.‎ 5‎ ‎(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，‎ 则有an＝an＋1，‎ 即＝.‎ 解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.‎ 5‎