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- 2021-06-11 发布
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第三章 不等式
单元精选检测(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；
④若a>b>0，c>d，则ac>bd.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】 若a>b，c<0时，acd>0时，ac>bd，④错，故选A.
【答案】 A
2.直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域.下列各点与原点位于同一区域的是( )
A.(－3,4) B.(－3，－4)
C.(0，－3) D.(－3,2)
【解析】 当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.
【答案】 A
3.设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A.A≥B B.A>B
C.A2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
8
即B≤2，∴A>B.
【答案】 B
4.已知0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是( )
A.a3＞b3 B.＜
C.ab＞1 D.lg(b－a)＜0
【解析】 由0＜a＜b＜1，可得a3＜b3，A错误；＞，B错误；ab＜1，C错误；0＜b－a＜1，lg(b－a)＜0，D正确.
【答案】 D
5.在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A.(0,2)
B.(－2,1)
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－1,2)
【解析】 根据定义得，x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－20时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
【答案】 D
9.已知正实数a，b满足4a＋b＝30，当＋取最小值时，实数对(a，b)是( )
【导学号：18082138】
A.(5,10) B.(6,6)
C.(10,5) D.(7,2)
【解析】 ＋＝··30
＝(4a＋b)
＝
≥＝.
当且仅当
即时取等号.
【答案】 A
10.已知目标函数z＝2x＋y，且变量x，y满足下列条件：则
( )
A.zmax＝12，zmin＝3
B.zmax＝12，无最小值
C.zmin＝3，无最大值
D.z无最大值，也无最小值
8
【解析】 作如图可行域，作直线2x＋y＝0，将直线向右上方平移过程中，过点A时，z最小，过点B时，z最大，又由得A(1,1)，B点不存在，∴zmin＝2×1＋1＝3，z无最大值.
【答案】 C
11.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A.13
C.12
【解析】 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]⇔
⇔⇔x<1或x>3.
【答案】 B
12.设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是( )
A. B.2 C.3 D.4
【解析】 画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.已知0＜x＜6，则y＝(6－x)·x的最大值是________.
【解析】 法一：∵0＜x＜6，∴6－x＞0，∴(6－x)·x≤2＝9，当且仅当6－x＝x，即x＝3时取等号.
法二：y＝(6－x)x＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.∵0＜x＜6，∴ymax＝f(3)＝9.
【答案】 9
14.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k<3，则k的取值范围为________.
【导学号：18082139】
【解析】 由题意得＋1＋k<3，即(＋2)·(－1)<0，且k>0，因此k
8
的取值范围是(0,1).
【答案】 (0,1)
15.已知实数x，y满足不等式组目标函数z＝y－ax(a∈R).若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是________.
【解析】 不等式组的可行域如图阴影部分所示.
由z＝y－ax得y＝ax＋z，当直线y＝ax＋z的斜率大于1时，目标函数在点(1,3)处取得最大值.
【答案】 (1，＋∞)
16.实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________.
【解析】 法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.z＝|x＋2y－4|＝·，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍.由得点B的坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4＞0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题.显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.
【答案】 21
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2＋，解不等式f(x)－f(x－1)>2x－1.
【解】 由题意可得
x2＋－(x－1)2－>2x－1，
化简得<0，
即x(x－1)<0，
8
解得00且x≠0，即－10时，
∵>0，∴>1－x.
19.(本小题满分12分)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，求＋的最小值.
【解】 不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示.
由z＝ax＋by得y＝－x＋，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝·＝≥4，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，
所以＋的最小值为4.
20.(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
【解】 设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
8
即
画出可行域如图阴影部分所示
而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y
＝960x＋420y(目标函数)，
可联立得交点B(1.5,0.5).
故当x＝1.5，y＝0.5时，
P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大.
21.(本小题满分12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}.
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
【解】 (1)由题意知，1－a＜0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根.
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a＞0即为
2x2－x－3＞0，解得x＜－1或x＞，
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围.
【解】 (1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，
∴－22时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1).
8
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立.
而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
∴实数m的取值范围是(－∞，2].
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