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  • 2021-06-12 发布

高中数学(人教版必修5)配套练习:3-3二元一次不等式组与简单的线性规划问题第3课时

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第三章 3.3 第 3 课时 一、选择题 1.若变量 x、y 满足约束条件 y≤1 x+y≥0 x-y-2≤0 ,则 z=x-2y 的最大值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 [答案] B [解析] 先作出可行域如图. 作直线 x-2y=0 在可行域内平移,当 x-2y-z=0 在 y 轴上的截距最小时 z 值最大. 当移至 A(1,-1)时,zmax=1-2×(-1)=3,故选 B. 2.设变量 x、y 满足约束条件 2x+y≤4 4x-y≥-1 x+2y≥2 ,则目标函数 z=3x-y 的取值范围是( ) A.[-3 2 ,6] B.[-3 2 ,-1] C.[-1,6] D.[-6,3 2] [答案] A [解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想.根据约束条件,画出可行域 如图,作直线 l0:3x-y=0,将直线平移至经过点 A(2,0)处 z 有最大值,经过点 B(1 2 ,3)处 z 有最小值,即-3 2 ≤z≤6. 3.设 z=x-y,式中变量 x 和 y 满足条件 x+y-3≥0 x-2y≥0 ,则 z 的最小值为( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 [答案] A [解析] 作出可行域如图中阴影部分.直线 z=x-y 即 y=x-z.经过点 A(2,1)时,纵截距最 大,∴z 最小.zmin=1. 4.变量 x、y 满足下列条件 2x+y≥12 2x+9y≥36 2x+3y=24 x≥0 y≥0 ,则使 z=3x+2y 最小的(x,y)是( ) A.(4,5) B.(3,6) C.(9,2) D.(6,4) [答案] B [解析] 检验法:将 A、B、C、D 四选项中 x、y 代入 z=3x+2y 按从小到大依次为 A、B、 D、C.然后按 A→B→D→C 次序代入约束条件中,A 不满足 2x+3y=24,B 全部满足,故选 B. 5.已知 x、y 满足约束条件 2x+y≤4 x+2y≤4 x≥0,y≥0 ,则 z=x+y 的最大值是( ) A.4 3 B.8 3 C.2 D.4 [答案] B [解析] 画出可行域为如图阴影部分. 由 x+2y=4 2x+y=4 ,解得 A(4 3 ,4 3), ∴当直线 z=x+y 经过可行域内点 A 时,z 最大,且 zmax=8 3. 6.(2014·广东理,3)若变量 x,y 满足约束条件 y≤x x+y≤1 y≥-1 ,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m-n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 [答案] B [解析] 作出可行域如图, 由 y=x, y=-1, 得 x=-1, y=-1, ∴A(-1,-1); 由 x+y=1, y=-1. 得 x=2, y=-1, ∴B(2,-1); 由 y=x, x+y=1, 得 x=1 2 , y=1 2. ∴C(1 2 ,1 2). 作直线 l:y=-2x,平移 l 可知,当直线 y=-2x+z,经过点 A 时,z 取最小值,当 ymin =-3;当经过点 B 时,z 取最大值,zmax=3, ∴m=3,n=-3,∴m-n=6. 二、填空题 7.已知 x、y 满足约束条件 x≥0 x≥y 2x-y≤1 ,则 z=3x+2y 的最大值为________. [答案] 5 [解析] 作出可行域如图,当直线 z=3x+2y 平移到经过点(1,1)时,z 最大∴zmax=5. 8.已知 x、y 满足 y-2≤0 x+3≥0 x-y-1≤0 ,则 x2+y2 的最大值为________. [答案] 25 [解析] 画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示. 由图知,A(-3,-4),B(-3,2),C(3,2), 则|OA|= 9+16=5, |OB|= 9+4= 13, |OC|= 9+4= 13. 设 P(x,y)是不等式组表示的平面区域内任意一点, 则 x2+y2=( x2+y2)2=|OP|2, 由图知,|OP|的最大值是|OA|=5,则 x2+y2 最大值为|OA|2=25. 三、解答题 9.制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含 A 药品 3 g、B 药品 4 g、C 药品 4 g,乙种烟花 每枚含 A 药品 2 g、B 药品 11 g、C 药品 6 g.已知每天原料的使用限额为 A 药品 120 g、B 药 品 400 g、C 药品 240 g.甲种烟花每枚可获利 2 元,乙种烟花每枚可获利 1 元,问每天应生 产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大. [解析] 设每天生产甲种烟花 x 枚,乙种烟花 y 枚,获利为 z 元,则 3x+2y≤120 4x+11y≤400 4x+6y≤240 x≥0 y≥0 , 作出可行域如图所示. 目标函数为:z=2x+y. 作直线 l:2x+y=0,将直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 A(40,0) 且与原点的距离最大.此时 z=2x+y 取最大值. 故每天应只生产甲种烟花 40 枚可获最大利润. 10.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180t 支援物资的任务,该公司有 8 辆载重为 6t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天往返的 次数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次,每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元,B 型车为 504 元,请你给该公司调配车辆,使公司所花的成本费最低. [解析] 设每天调出 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,公司所花的成本为 z 元,则由题意知 x≤8, y≤4, x+y≤10, 4x×6+3y×10≥180, x≥0, y≥0, 目标函数为 z=320x+504y(其中 x,y∈N).作出可行域如图 所示. 由图易知,当直线 z=320x+504y 在可行域内经过的整数点中,点(8,0)使 z=320x+504y 取得最小值,zmin=320×8+504×0=2560,∴每天调出 A 型车 8 辆,B 型车 0 辆,公司所花 成本费最低. 一、选择题 1.已知 x、y 满足 x+2y-5≤0 x≥1 y≥0 x+2y-3≥0 ,则y x 的最值是( ) A.最大值是 2,最小值是 1 B.最大值是 1,最小值是 0 C.最大值是 2,最小值是 0 D.有最大值无最小值 [答案] C [解析] 作出不等式组 x+2y-5≤0 x≥1 y≥0 x+2y-3≥0 表示的平面区域如图. y x 表示可行域内点与原点连线的斜率.显然在 A(1,2)处取得最大值 2.在 x 轴上的线段 BC 上 时取得最小值 0,∴选 C. 2.若实数 x、y 满足不等式组 x+2y-5≥0 2x+y-7≥0 x≥0,y≥0 ,则 3x+4y 的最小值是( ) A.13 B.15 C.20 D.28 [答案] A [解析] 作出可行域如图所示, 令 z=3x+4y,∴y=-3 4x+z 4 求 z 的最小值,即求直线 y=-3 4x+z 4 截距的最小值. 经讨论知点 M 为最优解,即为直线 x+2y-5=0 与 2x+y-7=0 的交点,解之得 M(3,1). ∴zmin=9+4=13. 3.已知变量 x、y 满足约束条件 y+x-1≤0 y-3x-1≤0 y-x+1≥0 ,则 z=2x+y 的最大值为( ) A.4 B.2 C.1 D.-4 [答案] B [解析] 作出可行域如图, 作直线 l0:2x+y=0,平移直线 l0 可见,当 l0 经过可行域内的点 B(1,0)时,z 取得最大值, ∴zmax=2×1+0=2. 4.为支援灾区人民,某单位要将捐献的 100 台电视机运往灾区,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装电视机 20 台;每辆乙型货车运输 费用 300 元,可装电视机 10 台,若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( ) A.2 800 元 B.2 400 元 C.2 200 元 D.2 000 元 [答案] C [解析] 设调用甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,则 0≤x≤4,0≤y≤8,20x+10y≥100,即 2x +y≥10,设运输费用为 t,则 t=400x+300y. 线性约束条件为 0≤x≤4 0≤y≤8 2x+y≥10 , 作出可行域如图,则当直线 y=-4 3x+ t 300 经过可行域内点 A(4,2)时,t 取最小值 2 200,故 选 C. 二、填空题 5.已知实数 x、y 满足 x-y+2≥0 x+y≥0 x≤1 ,则 z=2x+y 的最小值是________. [答案] -1 [解析] 画出可行域如图中阴影部分所示. 由图知,z 是直线 y=-2x+z 在 y 轴上的截距,当直线 y=-2x+z 经过点 A(-1,1)时,z 取最小值,此时 x=-1,y=1,则 z 的最小值是 zmin=2x+y=-2+1=-1. 6.设 x、y 满足约束条件 x+y≤1 y≤x y≥0 ,则 z=2x+y 的最大值是________. [答案] 2 [解析] 可行域如图,当直线 z=2x+y 即 y=-2x+z 经过点 A(1,0)时,zmax=2. 三、解答题 7.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 260 万吨,需经过东车站和西车站两 个车站运往外地.东车站每年最多能运 280 万吨煤,西车站每年最多能运 360 万吨煤,甲煤 矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元/t 和 1.5 元/t,乙煤矿运往东车站和西车站的运 费价格分别为 0.8 元/t 和 1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少? [解析] 设甲煤矿向东车站运 x 万吨煤,乙煤矿向东车站运 y 万吨煤,那么总运费 z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(260-y)(万元)即 z=716-0.5x-0.8y. x、y 应满足 x≥0 y≥0 200-x≥0 260-y≥0 x+y≤280 200-x+260-y≤360 , 即 0≤x≤200 0≤y≤260 100≤x+y≤280 , 作出上面的不等式组所表示的平面区域,如图. 设直线 x+y=280 与 y=260 的交点为 M,则 M(20,260).把直线 l0:5x+8y=0 向上平移 至经过平面区域上的点 M 时,z 的值最小. ∵点 M 的坐标为(20,260), ∴甲煤矿生产的煤向东车站运 20 万吨,向西车站运 180 万吨,乙煤矿生产的煤全部运往 东车站时,总运费最少. 8.某厂有一批长为 18m 的条形钢板,可以割成 1.8m 和 1.5m 长的零件.它们的加工费分 别为每个 1 元和 0.6 元.售价分别为 20 元和 15 元,总加工费要求不超过 8 元.问如何下料能 获得最大利润. [解析] 设割成的 1.8m 和 1.5m 长的零件分别为 x 个、y 个,利润为 z 元, 则 z=20x+15y-(x+0.6y)即 z=19x+14.4y 且 1.8x+1.5y≤18 x+0.6y≤8 x、y∈N , 作出不等式组表示的平面区域如图, 又由 1.8x+1.5y=18 x+0.6y=8 , 解出 x=20 7 ,y=60 7 , ∴M(20 7 ,60 7 ), ∵x、y 为自然数,在可行区域内找出与 M 最近的点为(3,8),此时 z=19×3+14.4×8= 172.2(元). 又可行域的另一顶点是(0,12),过(0,12)的直线使 z=19×0+14.4×12=172.8(元); 过顶点(8,0)的直线使 z=19×8+14.4×0=152(元). M(20 7 ,60 7 )附近的点(1,10)、(2,9),直线 z=19x+14.4y 过点(1,10)时,z=163;过点(2,9)时 z=167.6. ∴当 x=0,y=12 时,z=172.8 元为最大值. 答:只要截 1.5m 长的零件 12 个,就能获得最大利润.