高中数学（人教版必修5）配套练习：3-3二元一次不等式组与简单的线性规划问题第3课时 11页

第三章 3.3 第 3 课时 一、选择题 1．若变量 x、y 满足约束条件 y≤1 x＋y≥0 x－y－2≤0 ，则 z＝x－2y 的最大值为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 [答案] B [解析] 先作出可行域如图． 作直线 x－2y＝0 在可行域内平移，当 x－2y－z＝0 在 y 轴上的截距最小时 z 值最大． 当移至 A(1，－1)时，zmax＝1－2×(－1)＝3，故选 B． 2．设变量 x、y 满足约束条件 2x＋y≤4 4x－y≥－1 x＋2y≥2 ，则目标函数 z＝3x－y 的取值范围是( ) A．[－3 2 ，6] B．[－3 2 ，－1] C．[－1,6] D．[－6，3 2] [答案] A [解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域 如图，作直线 l0：3x－y＝0，将直线平移至经过点 A(2,0)处 z 有最大值，经过点 B(1 2 ，3)处 z 有最小值，即－3 2 ≤z≤6. 3．设 z＝x－y，式中变量 x 和 y 满足条件 x＋y－3≥0 x－2y≥0 ，则 z 的最小值为( ) A．1 B．－1 C．3 D．－3 [答案] A [解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线 z＝x－y 即 y＝x－z.经过点 A(2,1)时，纵截距最 大，∴z 最小．zmin＝1. 4．变量 x、y 满足下列条件 2x＋y≥12 2x＋9y≥36 2x＋3y＝24 x≥0 y≥0 ，则使 z＝3x＋2y 最小的(x，y)是( ) A．(4,5) B．(3,6) C．(9,2) D．(6,4) [答案] B [解析] 检验法：将 A、B、C、D 四选项中 x、y 代入 z＝3x＋2y 按从小到大依次为 A、B、 D、C．然后按 A→B→D→C 次序代入约束条件中，A 不满足 2x＋3y＝24，B 全部满足，故选 B． 5．已知 x、y 满足约束条件 2x＋y≤4 x＋2y≤4 x≥0，y≥0 ，则 z＝x＋y 的最大值是( ) A．4 3 B．8 3 C．2 D．4 [答案] B [解析] 画出可行域为如图阴影部分． 由 x＋2y＝4 2x＋y＝4 ，解得 A(4 3 ，4 3)， ∴当直线 z＝x＋y 经过可行域内点 A 时，z 最大，且 zmax＝8 3. 6．(2014·广东理，3)若变量 x，y 满足约束条件 y≤x x＋y≤1 y≥－1 ，且 z＝2x＋y 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 m－n＝( ) A．5 B．6 C．7 D．8 [答案] B [解析] 作出可行域如图， 由 y＝x， y＝－1， 得 x＝－1， y＝－1， ∴A(－1，－1)； 由 x＋y＝1， y＝－1. 得 x＝2， y＝－1， ∴B(2，－1)； 由 y＝x， x＋y＝1， 得 x＝1 2 ， y＝1 2. ∴C(1 2 ，1 2)． 作直线 l：y＝－2x，平移 l 可知，当直线 y＝－2x＋z，经过点 A 时，z 取最小值，当 ymin ＝－3；当经过点 B 时，z 取最大值，zmax＝3， ∴m＝3，n＝－3，∴m－n＝6. 二、填空题 7．已知 x、y 满足约束条件 x≥0 x≥y 2x－y≤1 ，则 z＝3x＋2y 的最大值为________． [答案] 5 [解析] 作出可行域如图，当直线 z＝3x＋2y 平移到经过点(1,1)时，z 最大∴zmax＝5. 8．已知 x、y 满足 y－2≤0 x＋3≥0 x－y－1≤0 ，则 x2＋y2 的最大值为________． [答案] 25 [解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示． 由图知，A(－3，－4)，B(－3,2)，C(3,2)， 则|OA|＝ 9＋16＝5， |OB|＝ 9＋4＝ 13， |OC|＝ 9＋4＝ 13. 设 P(x，y)是不等式组表示的平面区域内任意一点， 则 x2＋y2＝( x2＋y2)2＝|OP|2， 由图知，|OP|的最大值是|OA|＝5，则 x2＋y2 最大值为|OA|2＝25. 三、解答题 9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含 A 药品 3 g、B 药品 4 g、C 药品 4 g，乙种烟花 每枚含 A 药品 2 g、B 药品 11 g、C 药品 6 g．已知每天原料的使用限额为 A 药品 120 g、B 药 品 400 g、C 药品 240 g．甲种烟花每枚可获利 2 元，乙种烟花每枚可获利 1 元，问每天应生 产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大． [解析] 设每天生产甲种烟花 x 枚，乙种烟花 y 枚，获利为 z 元，则 3x＋2y≤120 4x＋11y≤400 4x＋6y≤240 x≥0 y≥0 ， 作出可行域如图所示． 目标函数为：z＝2x＋y. 作直线 l：2x＋y＝0，将直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 A(40,0) 且与原点的距离最大．此时 z＝2x＋y 取最大值． 故每天应只生产甲种烟花 40 枚可获最大利润． 10．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180t 支援物资的任务，该公司有 8 辆载重为 6t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往返的 次数为 A 型卡车 4 次，B 型卡车 3 次，每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元，B 型车为 504 元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低． [解析] 设每天调出 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，公司所花的成本为 z 元，则由题意知 x≤8， y≤4， x＋y≤10， 4x×6＋3y×10≥180， x≥0， y≥0， 目标函数为 z＝320x＋504y(其中 x，y∈N)．作出可行域如图 所示． 由图易知，当直线 z＝320x＋504y 在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使 z＝320x＋504y 取得最小值，zmin＝320×8＋504×0＝2560，∴每天调出 A 型车 8 辆，B 型车 0 辆，公司所花 成本费最低． 一、选择题 1．已知 x、y 满足 x＋2y－5≤0 x≥1 y≥0 x＋2y－3≥0 ，则y x 的最值是( ) A．最大值是 2，最小值是 1 B．最大值是 1，最小值是 0 C．最大值是 2，最小值是 0 D．有最大值无最小值 [答案] C [解析] 作出不等式组 x＋2y－5≤0 x≥1 y≥0 x＋2y－3≥0 表示的平面区域如图． y x 表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在 A(1,2)处取得最大值 2.在 x 轴上的线段 BC 上 时取得最小值 0，∴选 C． 2．若实数 x、y 满足不等式组 x＋2y－5≥0 2x＋y－7≥0 x≥0，y≥0 ，则 3x＋4y 的最小值是( ) A．13 B．15 C．20 D．28 [答案] A [解析] 作出可行域如图所示， 令 z＝3x＋4y，∴y＝－3 4x＋z 4 求 z 的最小值，即求直线 y＝－3 4x＋z 4 截距的最小值． 经讨论知点 M 为最优解，即为直线 x＋2y－5＝0 与 2x＋y－7＝0 的交点，解之得 M(3,1)． ∴zmin＝9＋4＝13. 3．已知变量 x、y 满足约束条件 y＋x－1≤0 y－3x－1≤0 y－x＋1≥0 ，则 z＝2x＋y 的最大值为( ) A．4 B．2 C．1 D．－4 [答案] B [解析] 作出可行域如图， 作直线 l0：2x＋y＝0，平移直线 l0 可见，当 l0 经过可行域内的点 B(1,0)时，z 取得最大值， ∴zmax＝2×1＋0＝2. 4．为支援灾区人民，某单位要将捐献的 100 台电视机运往灾区，现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用 400 元，可装电视机 20 台；每辆乙型货车运输 费用 300 元，可装电视机 10 台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) A．2 800 元 B．2 400 元 C．2 200 元 D．2 000 元 [答案] C [解析] 设调用甲型货车 x 辆，乙型货车 y 辆，则 0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100，即 2x ＋y≥10，设运输费用为 t，则 t＝400x＋300y. 线性约束条件为 0≤x≤4 0≤y≤8 2x＋y≥10 ， 作出可行域如图，则当直线 y＝－4 3x＋ t 300 经过可行域内点 A(4,2)时，t 取最小值 2 200，故 选 C． 二、填空题 5．已知实数 x、y 满足 x－y＋2≥0 x＋y≥0 x≤1 ，则 z＝2x＋y 的最小值是________． [答案] －1 [解析] 画出可行域如图中阴影部分所示． 由图知，z 是直线 y＝－2x＋z 在 y 轴上的截距，当直线 y＝－2x＋z 经过点 A(－1,1)时，z 取最小值，此时 x＝－1，y＝1，则 z 的最小值是 zmin＝2x＋y＝－2＋1＝－1. 6．设 x、y 满足约束条件 x＋y≤1 y≤x y≥0 ，则 z＝2x＋y 的最大值是________． [答案] 2 [解析] 可行域如图，当直线 z＝2x＋y 即 y＝－2x＋z 经过点 A(1,0)时，zmax＝2. 三、解答题 7．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 260 万吨，需经过东车站和西车站两 个车站运往外地．东车站每年最多能运 280 万吨煤，西车站每年最多能运 360 万吨煤，甲煤 矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元/t 和 1.5 元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运 费价格分别为 0.8 元/t 和 1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？ [解析] 设甲煤矿向东车站运 x 万吨煤，乙煤矿向东车站运 y 万吨煤，那么总运费 z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)(万元)即 z＝716－0.5x－0.8y. x、y 应满足 x≥0 y≥0 200－x≥0 260－y≥0 x＋y≤280 200－x＋260－y≤360 ， 即 0≤x≤200 0≤y≤260 100≤x＋y≤280 ， 作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图． 设直线 x＋y＝280 与 y＝260 的交点为 M，则 M(20,260)．把直线 l0：5x＋8y＝0 向上平移 至经过平面区域上的点 M 时，z 的值最小． ∵点 M 的坐标为(20,260)， ∴甲煤矿生产的煤向东车站运 20 万吨，向西车站运 180 万吨，乙煤矿生产的煤全部运往 东车站时，总运费最少． 8．某厂有一批长为 18m 的条形钢板，可以割成 1.8m 和 1.5m 长的零件．它们的加工费分 别为每个 1 元和 0.6 元．售价分别为 20 元和 15 元，总加工费要求不超过 8 元．问如何下料能 获得最大利润． [解析] 设割成的 1.8m 和 1.5m 长的零件分别为 x 个、y 个，利润为 z 元， 则 z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即 z＝19x＋14.4y 且 1.8x＋1.5y≤18 x＋0.6y≤8 x、y∈N ， 作出不等式组表示的平面区域如图， 又由 1.8x＋1.5y＝18 x＋0.6y＝8 ， 解出 x＝20 7 ，y＝60 7 ， ∴M(20 7 ，60 7 )， ∵x、y 为自然数，在可行区域内找出与 M 最近的点为(3,8)，此时 z＝19×3＋14.4×8＝ 172.2(元)． 又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使 z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)； 过顶点(8,0)的直线使 z＝19×8＋14.4×0＝152(元)． M(20 7 ，60 7 )附近的点(1,10)、(2,9)，直线 z＝19x＋14.4y 过点(1,10)时，z＝163；过点(2,9)时 z＝167.6. ∴当 x＝0，y＝12 时，z＝172.8 元为最大值． 答：只要截 1.5m 长的零件 12 个，就能获得最大利润．