高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明章末复习课 word版含解析 6页

【创新设计】2016-2017 学年高中数学 第二章 推理与证明章末复习 课 新人教版选修 2-2 题型一 合情推理与演绎推理 1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特 殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一 步证明． 2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也 是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是 后者的前提，后者论证前者的可靠性． 例 1 (1)有一个奇数列 1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含 两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内 各数之和 f(n)(n∈N*)与组的编号数 n 的关系式为________． (2)在平面几何中，对于 Rt△ABC，AC⊥BC，设 AB＝c，AC＝b，BC＝a，则 ①a2＋b2＝c2； ②cos2A＋cos2B＝1； ③Rt△ABC 的外接圆半径为 r＝ a2＋b2 2 . 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三 角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？ (1)答案 f(n)＝n3 解析 由于 1＝13,3＋5＝8＝23， 7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第 n 组内各数之和 f(n)与组的编号数 n 的关系式为 f(n)＝n3. (2)解 选取 3 个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象． ①设 3 个两两垂直的侧面的面积分别为 S1，S2，S3，底面面积为 S，则 S2 1＋S2 2＋S2 3＝S2. ②设 3 个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. ③设 3 个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为 a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为 R＝ a2＋b2＋c2 2 . 反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些 简单数列的通项公式是数列中的常见方法． (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练 1 (1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________． ①A、B 为定点，若动点 P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则点 P 的轨迹是椭圆； ②由 a1＝1，an＋1＝3an－1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的通项 an 和 Sn 的表达式； ③由圆 x2＋y2＝1 的面积 S＝πr2，猜想出椭圆的面积 S＝πab； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ② ③④ (2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12 成等差数列．类比以上结 论有：设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn, 则 T4，______，______，T16 T12 成等比数列． 答案 T8 T4 T12 T8 解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等 比数列{bn}的前 n 项积为 Tn，则 T4，T8 T4 ，T12 T8 ，T16 T12 成等比数列． 题型二 综合法与分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分 析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互 渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加 解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程． 例 2 用综合法和分析法证明． 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤ sin α 1－cos α . 证明 (分析法) 要证明 2sin 2α≤ sin α 1－cos α 成立． 只要证明 4sin αcos α≤ sin α 1－cos α . ∵α∈(0，π)，∴sin α>0. 只要证明 4cos α≤ 1 1－cos α . 上式可变形为 4≤ 1 1－cos α ＋4(1－cos α)． ∵1－cos α>0， ∴ 1 1－cos α ＋4(1－cos α)≥2 1 1－cos α ·41－cos α＝4， 当且仅当 cos α＝1 2 ，即α＝π 3 时取等号． ∴4≤ 1 1－cos α ＋4(1－cos α)成立． ∴不等式 2sin 2α≤ sin α 1－cos α 成立． (综合法) ∵ 1 1－cos α ＋4(1－cos α)≥4， (1－cos α>0，当且仅当 cos α＝1 2 ，即α＝π 3 时取等号) ∴4cos α≤ 1 1－cos α . ∵α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴4sin αcos α≤ sin α 1－cos α . ∴2sin 2α≤ sin α 1－cos α . 跟踪训练 2 求证：sin2α＋β sin α －2cos(α＋β)＝sin β sin α . 证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)－α]＝sin β， 两边同除以 sin α得 sin2α＋β sin α －2cos(α＋β)＝sin β sin α . 题型三 反证法 反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结 论． 反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若 p 则 q”的否定是“若 p 则綈 q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若 p 则綈 q”为假，从而可以导出 “若 p 则 q”为真，从而达到证明的目的． 例 3 若 x，y 都是正实数，且 x＋y>2，求证：1＋x y <2 或1＋y x <2 中至少有一个成立． 证明 假设1＋x y <2 和1＋y x <2 都不成立， 则有1＋x y ≥2 和1＋y x ≥2 同时成立． 因为 x>0 且 y>0， 所以 1＋x≥2y 且 1＋y≥2x， 两式相加，得 2＋x＋y≥2x＋2y， 所以 x＋y≤2. 这与已知 x＋y>2 矛盾． 故1＋x y <2 与1＋y x <2 至少有一个成立． 反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都 不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练 3 已知：ac≥2(b＋d)． 求证：方程 x2＋ax＋b＝0 与方程 x2＋cx＋d＝0 中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根， 则Δ1＝a2－4b<0 与Δ2＝c2－4d<0，有 a2＋c2<4(b＋d)，而 a2＋c2≥2ac，从而有 4(b＋d)>2ac， 即 ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立． 题型四 数学归纳法 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传 递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保 证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当 n＝k＋1 时结论正 确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的． 例 4 用数学归纳法证明当 n∈N*时，1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－2)·3＋(n－ 1)·2＋n·1＝1 6 n(n＋1)·(n＋2)． 证明 (1)当 n＝1 时，1＝1 6 ·1·2·3，结论成立． (2)假设 n＝k 时结论成立， 即 1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－2)·3＋(k－1)·2＋k·1＝1 6 k(k＋1)(k＋2)． 当 n＝k＋1 时，则 1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋…＋(k－1)·3＋k·2＋(k＋1)·1 ＝1·k＋2·(k－1)＋…＋(k－1)·2＋k·1＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)] ＝1 6 k(k＋1)(k＋2)＋1 2 (k＋1)(k＋2) ＝1 6 (k＋1)(k＋2)(k＋3)， 即当 n＝k＋1 时结论也成立． 综合上述，可知结论对一切 n∈N*都成立． 跟踪训练 4 数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝1 2 an＋1. (1)写出 a2，a3，a4. (2)求数列{an}的通项公式． 解 (1)因为 a1＝1，an＋1＝1 2 an＋1，所以 a2＝1 2 a1＋1＝1 2 ＋1＝3 2 . a3＝1 2 a2＋1＝1 2 ·3 2 ＋1＝7 4 . a4＝1 2 a3＋1＝1 2 ·7 4 ＋1＝15 8 . (2)证明 方法一 猜想 an＝2n－1 2n－1 .下面用数学归纳法证明， (1)当 n＝1 时，a1＝21－1 21－1 ＝1，满足上式，显然成立； (2)假设当 n＝k 时 ak＝2k－1 2k－1 ，那么当 n＝k＋1 时， ak＋1＝1 2 ak＋1＝1 2 ·2k－1 2k－1 ＋1＝2k－1 2k ＋1＝2k－1＋2k 2k ＝2k＋1－1 2k 满足上式， 即当 n＝k＋1 时猜想也成立， 由(1)(2)可知，对于 n∈N*都有 an＝2n－1 2n－1 . 方法二 因为 an＋1＝1 2 an＋1，所以 an＋1－2＝1 2 an＋1－2，即 an＋1－2＝1 2 (an－2)， 设 bn＝an－2，则 bn＋1＝1 2 bn，即{bn}是以 b1＝－1，1 2 为公比的等比数列， 所以 bn＝b1·qn－1＝－ 1 2n－1，所以 an＝bn＋2＝2n－1 2n－1 . 呈重点、现规律] 1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特 殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一 步证明． 2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是 公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后 者的前提，后者论证前者的可靠性． 3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法 和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明 方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法 是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法． 4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它 的第一步(归纳奠基)n＝n0 时结论成立．第二步(归纳递推)假设 n＝k 时，结论成立，推得 n＝ k＋1 时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证 明出无限的命题成立．