【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：6-2-3　向量的数乘运算 5页

‎6.2.3　向量的数乘运算 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.(多选题)下面四种说法,其中正确的是(　　)‎ ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb B.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na C.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b D.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n 解析由数乘向量运算律,得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.‎ 答案AB ‎2.(2020江苏高一检测)在△ABC中,M是BC的中点.若=a,=b,则=(　　)‎ A.(a+b) B.(a-b)‎ C.a+b D.a+b 解析在△ABC中,M是BC的中点,又=a,=b,‎ 所以=a+b,故选D.‎ 答案D ‎3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则(　　)‎ A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 解析∵向量=2a+4b,=a+2b,‎ ‎∴=2,‎ 即A,B,D三点共线.‎ 答案A ‎4.已知在△ABC中,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹经过△ABC的(　　)‎ A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 解析设D为BC中点,则=2,‎ ‎∴=2λ,即点P在中线AD所在直线上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.‎ 答案D ‎5.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　. ‎ 解析由已知得=-,‎ 因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.‎ 又因为||=||,‎ 所以四边形ABCD是等腰梯形.‎ 答案等腰梯形 ‎6.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为　　　　　. ‎ 解析由向量共线可得a+λb=k(b-3a),‎ 即a+λb=kb-3ka,∴(1+3k)a=(k-λ)b.‎ ‎∵a,b不共线,∴解得λ=-.‎ 答案-‎ ‎7.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.‎ ‎(1)用a,b分别表示向量;‎ ‎(2)求证:B,E,F三点共线.‎ ‎(1)解∵)=(a+b),‎ ‎∴(a+b).‎ ‎∵b,∴=-a+b.‎ ‎(2)证明由(1)知=-a+b,=-a+(a+b)=-a+b=,‎ ‎∴.‎ ‎∴共线.‎ 又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.‎ ‎8.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求-a-b+(2b-a);‎ ‎(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.‎ 解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b.‎ ‎∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.‎ ‎(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.‎ 与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,‎ ‎∴x=a+b.‎ ‎∴y=3x-b=3-b=a-b.‎ 能力提升练 ‎1.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足=0,若实数λ满足=λ,则λ的值为(　　)‎ A.2 B. C.3 D.6‎ 解析-2.‎ 又=0,即=-,‎ ‎∴=-3=λ=-λ,∴λ=3.‎ 答案C ‎2.(多选题)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个选项中正确的是(　　)‎ A.GH=2OG B.=0‎ C.AH=2OD D.S△ABG=S△BCG=S△ACG 解析在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示.‎ 对于B,根据三角形的重心性质得=0,选项B正确;‎ 对于A,C,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,‎ ‎∴=2,‎ ‎∴GH=2OG,AH=2OD,选项A,C正确;‎ 对于D,过点G作GE⊥BC,垂足为E,∴△DEG∽△DNA,则,∴△BGC的面积为S△BGC=×BC×GE=×BC××AN=S△ABC;‎ 同理,S△AGC=S△AGB=S△ABC,选项D正确.‎ 答案ABCD ‎3.在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=　. ‎ 解析由平面向量的加法运算,有.‎ 因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ ‎=.‎ 所以,‎ 即1--μ=λ+-1.‎ ‎∵不共线,‎ ‎∴解得故λ+μ=.‎ 答案 ‎4.(2019浙江高一期中)已知点M是△ABC所在平面内的一点,若满足6-2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是　　　　　. ‎ 解析记2.‎ ‎∵+2-2=0,‎ ‎∴=2,S△ABC=S△ABN.‎ 又S△ABM=S△ABN,‎ ‎∴S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.‎ 答案3‎ ‎5.已知在△OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b.‎ ‎(1)用向量a与b表示向量;‎ ‎(2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由.‎ 解(1)∵=a,=b,点A是BC的中点,∴=-a.‎ ‎∴=-a-b.‎ ‎(2)C,D,E不共线.理由如下,假设存在实数λ,使=λ.‎ ‎∵=a+b+(-b)=a+b,‎ ‎)‎ ‎=2a+(-a+b)=a+b,‎ ‎∴a+b=λ,∴此方程组无解,∴不存在实数λ,满足=λ.‎ ‎∴C,D,E三点不共线.‎ ‎6.在△ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值.‎ 解∵,‎ ‎∴3=2,即2-2.‎ ‎∴2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.‎ ‎∵A,M,Q三点共线,‎ ‎∴设=x+(1-x)+(x-1),‎ 又,∴.‎ 又,且=t,‎ ‎∴=t.‎ ‎∴解得t=.‎ 素养培优练 ‎　(2020河南西华高一检测)如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=AF,设=a,=b,试用a,b表示.‎ 解因为=b-a,(b-a),‎ 所以a+b.‎ 因为(a+b),所以(a+b),‎ 所以(a+b)-b=a-b.‎