2019届高考数学（理）二轮复习专题透析课件和讲义专题3　数列 8页

专题3　数列 ‎　　一、等差数列 ‎　　1.等差数列的通项公式是什么?如何表示等差数列中任意两项的关系?‎ an=a1+(n-1)d;an=am+(n-m)d.‎ ‎2.等差数列的前n项和公式是什么?它具有什么特点?‎ Sn==na1+d.‎ 等差数列的前n项和为关于n的二次函数,且没有常数项.‎ ‎　　二、等比数列 ‎1.等比数列的通项公式是什么?如何表示等比数列中任意两项的关系?‎ an=a1qn-1;an=amqn-m.‎ ‎2.等比数列的前n项和公式是什么?具有什么特点?易忽略点是什么?‎ Sn=‎ 当q≠1时,Sn=-·qn,qn的系数与常数项互为相反数.‎ 应用等比数列前n项和公式时,应先讨论公式中的公比q是否等于1.‎ ‎3.等差数列的单调性与什么有关?等比数列呢?‎ 等差数列的单调性只取决于公差d的正负,而等比数列的单调性既要考虑公比q的取值,又要考虑首项a1的正负.‎ ‎·8·‎ ‎4.等差中项、等比中项的概念是什么?由此可以得到哪些重要的性质?‎ 等差中项:若a,M,b成等差数列,则M为a,b的等差中项,且M=.‎ 重要性质:已知数列{an}是等差数列,(1)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq.(2)an=S2n-1.‎ 等比中项:若a,M,b成等比数列,则M为a,b的等比中项,且M2=ab.‎ 重要性质:已知数列{an}是等比数列,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap ·aq.‎ ‎　　三、数列求和 列举数列求和的方法,各自的注意点是什么?‎ ‎(1)公式法求和:要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式.‎ ‎(2)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.‎ ‎(3)裂项相消法:将数列的通项公式分成两个代数式子的差,即an=f(n+1)-f(n)的形式,然后通过累加抵消中间若干项的求和方法.形如(其中{an}是公差d≠0且各项均不为0的等差数列,c为常数)的数列等.用裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项.用裂项相消法求和时要注意所裂式与原式的等价性.‎ 附:常见的裂项公式(其中n∈N*).‎ ‎·8·‎ ‎①=-.‎ ‎②=.‎ ‎③=.‎ ‎④=-.‎ ‎⑤=.‎ ‎(4)错位相减法:形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列求和,一般分三步:①巧拆分;②构差式;③求和.用错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项.‎ ‎(5)倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法.一般步骤:①求通项公式;②定和值;③倒序相加;④求和;⑤回顾反思.‎ 从近三年的高考全国卷试题来看,数列一直是高考的热点,数列部分的题型、难度和分值都保持稳定,考查的重点主要是等差数列及其前n项和、等比数列及其前n项和、数列的通项、数列的前n项和等知识.考查内容比较全面,解题时要注意基本运算、基本能力的运用,同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.‎ ‎　　一、选择题和填空题的命题特点 ‎·8·‎ 等差(比)数列的基本运算:a1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列的通项公式和前n项和等.‎ ‎1.(2018·全国Ⅰ卷·理T4改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则S5=(　　).‎ A.-20　　　B.-10　　　C.10　　　D.20‎ 解析▶　设数列{an}的公差为d,由题意可得3=2a1+d+4a1+×d,解得d=-a1.因为a1=2,所以d=-3,所以S5=5×2+×(-3)=-20,故选A.‎ 答案▶　A ‎2.(2018·全国Ⅰ卷·理T14改编)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则a6=　　　　. ‎ 解析▶　当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,所以Sn-Sn-1=2(an-an-1),即an=2an-1.‎ 又a1=S1=2a1+1,所以a1=-1≠0,‎ 所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,‎ 所以an=-2n-1,a6=-26-1=-32.‎ 答案▶　-32‎ ‎　　二、解答题的命题特点 等差(比)数列的基本运算:a1,an,Sn,n,d(q ‎·8·‎ ‎)这五个量中已知其中的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列的通项公式.已知等差(比)数列的某些项或前几项的和,求其通项公式.等差(比)数列的判断与证明以及等差数列前n项和的最值问题等.‎ ‎1.(2018·全国Ⅰ卷·文T17改编)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.‎ ‎(1)证明数列{bn}是等比数列,并求{an}的通项公式.‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ 解析▶　(1)由已知条件可得=,即bn+1=2bn.‎ 又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.‎ 所以bn==2n-1,所以an=n·2n-1.‎ ‎(2)由(1)可得 Sn=a1+a2+…+an=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,‎ 所以2Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,‎ 两式相减得 ‎-Sn=1+21+22+23+…+2n-1-n·2n=-n·2n=2n-1-n·2n,‎ 所以Sn=(n-1)·2n+1.‎ ‎2.(2018·全国Ⅱ卷·理、文T17改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,a1+a2+a3=-15.‎ ‎(1)求an,Sn;‎ ‎·8·‎ ‎(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.‎ 解析▶　(1)设数列{an}的公差为d,由题意得解得d=2,‎ 所以an=2n-9,Sn=n2-8n.‎ ‎(2)当1≤n≤4(n∈N*)时,an<0,‎ 所以Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an )=-Sn=8n-n2;‎ 当n≥5(n∈N*)时,an>0,‎ 所以Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+…+|an|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+…+an)=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-8n+32.‎ 综上所述,Tn=‎ ‎3.(2018·全国Ⅲ卷·理、文T17改编)在正项等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)记Sn为{an}的前n项和,证明:an=.‎ 解析▶　(1)设数列{an}的公比为q(q>0),由题设得an=qn-1.‎ 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2(舍去)或q=2.‎ 故an=2n-1.‎ ‎(2)因为an=2n-1,所以Sn==2n-1,‎ ‎·8·‎ 所以==2n-1=an.‎ ‎1.等差数列和等比数列的判断方法:判断等差数列和等比数列,可以先计算特殊的几项,观察其特征,然后归纳出等差数列或者等比数列的结论.证明等差数列和等比数列,应该首先考虑其通项公式,利用定义或者等差中项、等比中项来证明.利用通项公式和前n项和公式只是作为判断方法,而不是证明方法.把对数列特征的判定渗透在解题过程中,可以帮助学生拓展思维和理清思路.‎ ‎2.数列通项的求法:‎ ‎(1)公式法:‎ ‎①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. ‎ ‎(2)已知Sn(即a1+a2+…+an=f(n))求an,用作差法:an=‎ ‎(3)已知a1·a2·…·an=f(n)求an,用作商法:an=‎ ‎(4)已知an+1-an=f(n)求an,用累加法:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1(n≥2,n∈N*).‎ ‎(5)已知=f(n)求an ‎·8·‎ ‎,用累乘法:an=··…··a1(n≥2,n∈N*).‎ ‎(6)已知递推关系式求an,用构造法(构造等差、等比数列).‎ ‎3.数列求和:数列求和的关键是研究数列通项公式,根据通项公式的不同特征选择相应的求和方法,若数列是等差数列或等比数列,则直接利用公式求和;若通项公式是等差乘等比型,则利用错位相减法;若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消某些项,则利用裂项相消法. ‎ ‎·8·‎