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- 2021-06-12 发布
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专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
第一讲 集合与常用逻辑用语
考点一 集合的概念及运算
一、基础知识要记牢
1.集合中元素的特性
集合元素具有确定性、互异性和无序性.解题时要特别注意集合元素互异性的应用.
2.运算性质及重要结论
如(1)A∪A=A,A∪∅ =A,A∪B=B∪A;
(2)A∩A=A,A∩∅ =∅ ,A∩B=B∩A;
(3)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A 等.
二、经典例题领悟好
[例 1] (1)(2017·浙江高考)已知集合 P={x|-1y,则 x>|y|”的逆命题
B.命题“x>1,则 x2>1”的否命题
C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题
[解析] (1)设复数 z=a+bi(a,b∈R),对于 p1,∵1
z
= 1
a+bi
=a-bi
a2+b2∈R,∴b=0,∴z∈R,
∴p1 是真命题;
对于 p2,∵z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi∈R,∴ab=0,∴a=0 或 b=0,∴p2 不是真命题;
对于 p3,设 z1=x+yi(x,y∈R),z2=c+di(c,d∈R),则 z1z2=(x+yi)(c+di)=cx-dy
+(dx+cy)i∈R,
∴dx+cy=0,取 z1=1+2i,z2=-1+2i,z1≠ z 2,
∴p3 不是真命题;
对于 p4,∵z=a+bi∈R,∴b=0,∴ z =a-bi=a∈R,
∴p4 是真命题.
(2)对于 A,其逆命题是:若 x>|y|,则 x>y,是真命题,这是因为 x>|y|≥y,必有 x>y;对
于 B,其否命题是:若 x≤1,则 x2≤1,是假命题.如 x=-5,x2=25>1;对于 C,其否命题是:
若 x≠1,则 x2+x-2≠0,由于 x=-2 时,x2+x-2=0,所以原命题的否命题是假命题;对于 D,
若 x2>0,则 x>0 或 x<0,不一定有 x>1,因此原命题与它的逆否命题都是假命题.故选 A.
[答案] (1)B (2)A
1 在判定四个命题之间的关系时,首先要分清命题的“大前提、条件、结论”,再进行
比较.
2 判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.
3 根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质,当一个命题的真假不易判定时,可
转化为判断其等价命题的真假.
三、预测押题不能少
2.(1)命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( )
A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数
B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数
C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数
D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数
解析:选 C 命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定,因此“若 x,y 都是偶数,则
x+y 也是偶数”的逆否命题是若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数.
(2)有下列四个命题:
①若“xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的三角形全等”的否命题;
③“若 m≤1,则 x2-2x+m=0 有实数解”的逆否命题;
④“若 A∩B=B,则 A⊆B”的逆否命题.
其中真命题为( )
A.①② B.②③
C.④ D.①②③
解析:选 D ①的逆命题:“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”是真命题;②的否命题:“面积
不相等的三角形不是全等三角形”是真命题;③的逆否命题:“若 x2-2x+m=0 没有实数解,则
m>1”是真命题;命题④是假命题,所以它的逆否命题也是假命题,如 A={1,2,3,4,5},B={4,5},
显然 A⊆B 是错误的.故选 D.
考点三 充要条件
一、基础知识要记牢
对于 p 和 q 两个命题,若 p⇒q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p⇔q,则 p 和
q 互为充要条件.推出符号“⇒”具有传递性,等价符号“⇔”具有双向传递性.
二、经典例题领悟好
[例 3] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4
+S6>2S5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)设 A= x|x-1
x+1
<0
,B={x||x-b|<a},若“a=1”是“A∩B≠∅ ”的充分条件,则
实数 b 的取值范围是________.
[解析] (1)因为{an}为等差数列,所以 S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d,2S5=10a1+
20d,S4+S6-2S5=d,所以 d>0⇔S4+S6>2S5,所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.
(2)A={x|-1<x<1},当 a=1 时,B={x|b-1<x<b+1},若“a=1”是“A∩B≠∅ ”的
充分条件,则有-1≤b-1<1 或-1<b+1≤1,所以 b∈(-2,2).
[答案] (1)C (2)(-2,2)
判定充分、必要条件时的关注点
(1)要弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B;而“A
是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A.
2 要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行,那么可以
尝试通过举出恰当的反例来说明.
三、预测押题不能少
3.(1)“10a>10b”是“lg a>lg b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选 B 由 10a>10b 得 a>b,由 lg a>lg b 得 a>b>0,所以“10a>10b”是“lg a>lg b”的
必要不充分条件.
(2)设 p:实数 x,y 满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数 x,y 满足
y≥x-1,
y≥1-x,
y≤1,
则 p 是 q
的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选 A p 表示以点(1,1)为圆心, 2为半径的圆面(含边界), 如
图所示.q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界).
由图可知,p 是 q 的必要不充分条件.故选 A.
[知能专练(一)]
一、选择题
1.(2017·北京高考)若集合 A={x|-23},则 A∩B=( )
A.{x|-21 或 x<-3,q:x>a,若 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的
取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.[-3,+∞) D.(-∞,-3]
解析:选 A 设 P={x|x>1 或 x<-3},Q={x|x>a},因为 q 是 p 的充分不必要条件,所以 Q P,
因此 a≥1.
5.(2016·全国卷Ⅱ)已知集合 A={1,2,3},B={x|(x+1)·(x-2)<0,x∈Z},则 A∪B=
( )
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
解析:选 C 因为 B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-11}
解析:选 A 由题意知,集合 A={x|0≤x≤1},
∴B={y|1≤y≤2},∁ RA={x|x<0 或 x>1},
∴(∁ RA)∩B={x|10,即抛物线的开口可以向上,因此否命题也是假命题.故选 D.
二、填空题
11.已知集合 U={1,2,3,4,5,6},S={1,3,5},T={2,3,6},则 S∩(∁ UT)=________,集
合 S 共有________个子集.
解析:由题意可得∁ UT={1,4,5},则 S∩(∁ UT)={1,5}.集合 S 的子集有∅ ,{1},{3},{5},
{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5},共 8 个.
答案:{1,5} 8
12.(2017·南通模拟)给出下列三个命题:
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件;
②“α>β”是“cos αb”是“3a>3b”的充要条件,①错误;“α>β”是“cos α2},
N={y|y= x-1+1}={y|y≥1},
∁ RM={x|0≤x≤2},∁ RN={y|y<1},
∴N∩(∁ RM)={x|1≤x≤2},M∪(∁ RN)={x|x<1 或 x>2}.
答案:{x|1≤x≤2} {x|x<1 或 x>2}
14.若“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件,则实数 p 的取值范围是________.
解析:由 x2-x-2>0,得 x>2 或 x<-1.
由 4x+p<0 得 x<-p
4
.
故-p
4
≤-1 时,“x<-p
4
”⇒“x<-1”⇒“x2-x-2>0”.
∴p≥4 时,“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件.
答案:[4,+∞)
15.(2017·诸暨质检)已知 A={x|-2≤x≤0},B={x|x2-x-2≤0},则 A∪B=________,
(∁ RA)∩B=________.
解析:∵A={x|-2≤x≤0},∴∁ RA={x|x<-2 或 x>0},又 B={x|x2-x-2≤0}={x|-
1≤x≤2},∴A∪B={x|-2≤x≤2},∴(∁ RA)∩B={x|05
2
,解得 a>1
2
.
即实数 a 的取值范围是
1
2
,+∞
.
答案:
1
2
,+∞
第二讲 函数的概念与性质
考点一 函数及其表示
一、基础知识要记牢
(1)函数初、高中定义形式不同,本质一样,核心是对应;
(2)当两个函数的三要素完全相同时表示同一个函数;
(3)分段函数是一个函数而不是几个函数,离开定义域讨论分段函数是毫无意义的.
二、经典例题领悟好
[例 1] (1)(2015·浙江高考)存在函数 f(x)满足:对于任意 x∈R 都有( )
A.f(sin 2x)=sin x
B.f(sin 2x)=x2+x
C.f(x2+1)=|x+1|
D.f(x2+2x)=|x+1|
(2)(2017·嘉兴模拟)设函数 f(x)=
x2+2x+2,x≤0,
-x2,x>0.
若 f(f(a))=2,则 a=________.
(3)(2016·江苏高考)函数 y= 3-2x-x2的定义域是________.
[解析] (1)取 x=0,π
2
,可得 f(0)=0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项 A 错误;取 x=0,
π,可得 f(0)=0,π2+π,这与函数的定义矛盾,所以选项 B 错误;取 x=1,-1,可得 f(2)
=2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项 C 错误;取 f(x)= x+1,则对任意 x∈R 都有 f(x2+
2x)= x2+2x+1=|x+1|,故选项 D 正确.
(2)当 a≤0 时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无
解.当 a>0 时,f(a)=-a2<0,由 f(f(a))=a4-2a2+2=2,解得 a= 2.
(3)要使函数有意义,需 3-2x-x2≥0,即 x2+2x-3≤0,得(x-1)(x+3)≤0,即-3≤x≤1,
故所求函数的定义域为[-3,1].
[答案] (1)D (2) 2 (3)[-3,1]
1.理解函数概念的要点
函数概念本质是对应,以具体函数模型为基础,在新背景、综合背景下理解.
2.求函数定义域的类型和相应方法
1 若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,
只需构建并解不等式 组 即可;
2 实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义.,
3.求函数值时应注意的问题
分段函数的求值 解不等式 问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解;对具有周期
性的函数求值要利用好其周期性.
三、预测押题不能少
1.(1)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 09
解析:选 C 由题意,不妨设 g(x)=x3+ax2+bx+c-m,m∈(0,3],则 g(x)的三个零点分别
为 x1=-3,x2=-2,x3=-1,因此有(x+1)(x+2)(x+3)=x3+ax2+bx+c-m,则 c-m=6,
因此 c=m+6∈(6,9].
(2)已知函数 f(x)=
2x3,x<0,
-tan x,0≤x<π
2
, 则 f f
π
4 =________.
解析:∵f
π
4 =-tan π
4
=-1,
∴f f
π
4 =f(-1)=2×(-1)3=-2.
答案:-2
考点二 函数的图象
一、基础知识要记牢
函数的图象包括作图、识图、用图,其中作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图
象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.正确作图是解题的基本保障,识图、
用图是解题的手段和目标.
二、经典例题领悟好
[例 2] (1)(2016·浙江高考)函数 y=sin x2 的图象是( )
(2)函数 f(x)的图象是如图所示的折线段 OAB,其中 A(1,2),
B(3,0),函数 g(x)=xf(x),那么函数 g(x)值域为( )
A.[0,2] B.
0,9
4
C.
0,3
2 D.[0,4]
[解析] (1)∵y=sin(-x)2=sin x2,∴函数为偶函数,可排除 A 项和 C 项;当 x=± π
2
时,y=sin x2=1,而 π
2
<π
2
,且 y=sinπ2
4
<1,故 D 项正确.
(2)由题图可知直线 OA 的方程是 y=2x;
而 kAB=0-2
3-1
=-1,
所以直线 AB 的方程为 y=-(x-3)=-x+3.
由题意,知 f(x)=
2x,0≤x≤1,
-x+3,1b)的图象如图所示,则函数
g(x)=ax+b 的大致图象是( )
解析:选 A 由二次函数的图象可知 b<-1,00,
不等式 f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则
实数 a 的取值范围是________.
解析:作出函数 f(x)的图象如图所示,易知函数 f(x)在 R 上为单调
递减函数,所以不等式 f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立等价于 x
+a<2a-x,即 x0 时, f(x) =x2+1
x
,则 f(-1)=( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
解析:选 A f(-1)=-f(1)=-2.
2.(2017·大连测试)下列函数中,与函数 y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性
也相同的是( )
A.y=-1
x
B.y=log2|x|
C.y=1-x2 D.y=x3-1
解析:选 C 函数 y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项 B 的函数是偶函数,但
其单调性不符合,只有选项 C 符合要求.
3.(2016·全国卷Ⅰ)函数 y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )
解析:选 D f(2)=8-e2>8-2.82>0,排除 A;f(2)=8-e2<8-2.72<1,排除 B;x>0
时,f(x)=2x2-ex,f′(x)=4x-ex,当 x∈
0,1
4 时,f′(x)<1
4
×4-e0=0,因此 f(x)在
0,1
4
单调递减,排除 C.故选 D.
4.(2017·天津高考)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数,g(x)=xf(x).若 a=g(-log25.1),
b=g(20.8),c=g(3),则 a,b,c 的大小关系为( )
A.a0 时,f(x)>0,所以 g(x)在(0,+∞)上单调递增,且 g(x)>0.又 a=g(-log25.1)
=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),20.8<2=log241,
4-a
2 x+2,x≤1
是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.[4,8)
C.(4,8) D.(1,8)
解析:选 B 由题意可知函数 f(x)在(-∞,1]和(1,+∞)上都为增函数,且 f(x)的图象在
(-∞,1]上的最高点不高于其在(1,+∞)上的最低点,
即
a>1,
4-a
2
>0,
a≥4-a
2
+2,
解得 a∈[4,8).
6.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同根函数”,给出四个函数:
f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log22x,则“同根函数”是( )
A.f2(x)与 f4(x) B.f1(x)与 f3(x)
C.f1(x)与 f4(x) D.f3(x)与 f4(x)
解析:选 A f4(x)=log22x=1+log2x,f2(x)=log2(x+2),将 f2(x)的图象沿着 x 轴先向右
平移 2 个单位得到 y=log2x 的图象,然后再沿着 y 轴向上平移 1 个单位可得到 f4(x)的图象,根
据“同根函数”的定义可知选 A.
7.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=2-f(x),若函数 y=x+1
x
与 y=f(x)
图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则错误!(xi+yi)=( )
A.0 B.m
C.2m D.4m
解 析 : 选 B 因 为 f( - x) = 2 - f(x) , 所 以 f( - x) + f(x) = 2. 因 为 -x+x
2
= 0 ,
f -x +f x
2
=1,所以函数 y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.函数 y=x+1
x
=1+1
x
,故其
图象也关于点(0,1)对称.所以函数 y=x+1
x
与 y=f(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,
ym)成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称,所以 错误!i=0,错误!i=2×m
2
=m,所以错误!(xi+
yi)=m.
二、填空题
8.若函数 f(x)=
x2+2x+1,x>0,
a,x=0,
g 2x ,x<0
为奇函数,则 a=________,f(g(-2))=________.
解析:由函数 f(x)是 R 上的奇函数可得 f(0)=a=0.因为 g(-2)=f(-1)=-f(1)=-4,
所以 f(g(-2))=f(-4)=-f(4)=-25.
答案:0 -25
9.(2016·四川高考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)
=4x,则 f
-5
2 +f(1)=________.
解析:∵f(x)为奇函数,周期为 2,
∴f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),∴f(1)=0.
∵f(x)=4x,x∈(0,1),
∴f
-5
2 =f
-5
2
+2
=f
-1
2
=-f
1
2 =-4
1
2 =-2.∴f
-5
2 +f(1)=-2.
答案:-2
10.(2016·江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=
x+a,-1≤x<0,
|2
5
-x|,0≤x<1,
其中 a∈R.若 f
-5
2 =f
9
2 ,则 f(5a)的值是________.
解析:因为函数 f(x)的周期为 2,结合在[-1,1)上 f(x)的解析式,得 f
-5
2 =f
-2-1
2 =
f
-1
2 =-1
2
+a,f
9
2 =f
4+1
2 =f
1
2 =|2
5
-1
2|= 1
10
.由 f
-5
2 =f
9
2 ,得-1
2
+a= 1
10
,解得 a
=3
5
.所以 f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+3
5
=-2
5
.
答案:-2
5
11.已知函数 f(x)= x+1
|x|+1
,x∈R,则不等式 f(x2-2x)<f(3x-4)的解集为________.
解析:当 x≥0 时,f(x)=x+1
x+1
=1,当 x<0 时,f(x)=x+1
1-x
=-1- 2
x-1
,
作出 f(x)的图象,如图所示.
可 得 f(x) 在 ( - ∞ , 0) 上 递 增 , 不 等 式 f(x2 - 2x) < f(3x - 4) 即 为
3x-4≥0,
x2-2x<0
或
3x-4<0,
x2-2x<0,
x2-2x<3x-4,
即有
x≥4
3
,
07,∴函数 F(x)的值域为(7,+
∞).
(3)依题意得当 x∈[2,6]时,x2+3≥mx+m+4 恒成立,即 x2-mx-m-1≥0 对 x∈[2,6]恒成
立.
设 p(x)=x2-mx-m-1,则
m
2
<2,
p 2≥ 0
或
m
2
>6,
p 6≥ 0
或Δ=m2+4m+4≤0,
即
m<4,
m≤1
或
m>12,
m≤5
或 m=-2,得 m≤1.
综上可知,实数 m 的取值范围是(-∞,1].
14.设 a>0,b∈R,函数 f(x)=a
x
-2bx+b(02a 时,f(x)+|2a-b|=a
x
+2b(1-x)-2a
≥a
x
+4a(1-x)-2a=a
1
x
-4x+2
.
由1
x
-4x+2≥0,解得1- 5
4
≤x≤1+ 5
4
,
又因为1+ 5
4
<1,所以 m 的最大值为1+ 5
4
.
第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
考点一 基本初等函数的图象与性质
一、基础知识要记牢
指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分 01
两种情况,当 a>1 时,两函数在定义域内都为增函数,当 00 知,函
数在 y 轴右侧的图象是有限的,排除 A;选项 C 中,由直线可以看出 b>0,由 1+bx>0 知,函数
在 y 轴左侧的图象是有限的,排除 C,故选 B.
(2)a=log36=log33+log32=1+log32,
b=log510=log55+log52=1+log52,
c=log714=log77+log72=1+log72,
∵log32>log52>log72,∴a>b>c.
[答案] (1)B (2)D
1 基本初等函数的图象是其性质的直观载体,要结合图象理解性质;图象变换要以基本
函数图象为基础,结合性质等判断、应用.
2 比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法:一是根据同类函数的单调
性进行比较;二是采用中间值 0 或 1 等进行比较;三是将对数式转化为指数式,或将指数式转化
为对数式,通过转化进行比较.
三、预测押题不能少
1.(1)函数 y=x-x
1
3 的图象大致为( )
解析:选 A 函数 y=x-x
1
3 为奇函数.当 x>0 时,由 x-x
1
3 >0,即 x3>x,可得 x2>1,故 x>1,
结合选项,选 A.
(2)已知 a=2
4
3 ,b=4
2
5 ,c=25
1
3 ,则( )
A.b0,
Δ<0
时,恒有 f(x)>0;当
a<0,
Δ<0
时,恒有 f(x)<0.
二、经典例题领悟好
[例 2] (1)(2017·浙江高考)若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值
是 m,则 M-m( )
A.与 a 有关,且与 b 有关
B.与 a 有关,但与 b 无关
C.与 a 无关,且与 b 无关
D.与 a 无关,但与 b 有关
(2)若二次函数 f(x)满足 f(3)=f(-1)=-5,且 f(x)的最大值是 3,则函数 f(x)的解析式
为________.
(3)若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间
π
6
,π
2 上是减函数,则 a 的取值范围是________.
[解析] (1)f(x)=
x+a
2 2-a2
4
+b,
①当 0≤-a
2
≤1 时,f(x)min=m=f
-a
2 =-a2
4
+b,f(x)max=M=max{f(0),f(1)}=max{b,1
+a+b},
∴M-m=max
a2
4
,1+a+a2
4 与 a 有关,与 b 无关;
②当-a
2
<0 时,f(x)在[0,1]上单调递增,
∴M-m=f(1)-f(0)=1+a 与 a 有关,与 b 无关;
③当-a
2
>1 时,f(x)在[0,1]上单调递减,
∴M-m=f(0)-f(1)=-1-a 与 a 有关,与 b 无关.
综上所述,M-m 与 a 有关,但与 b 无关.
(2)法一:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依题意得
9a+3b+c=-5,
a-b+c=-5,
4ac-b2
4a
=3,
解得
a=-2,
b=4,
c=1,
所以二次函数的解析式为 f(x)=-2x2+4x+1.
法二:设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),因为 f(3)=f(-1),
所以抛物线的对称轴为 x=3+ -1
2
=1,则 m=1.
又 f(x)的最大值是 3,则 a<0,n=3,即 f(x)=a(x-1)2+3,
由 f(3)=-5 得 4a+3=-5,则 a=-2,
所以二次函数的解析式为 f(x)=-2(x-1)2+3=-2x2+4x+1.
法三:设 f(x)+5=a(x-3)(x+1)(a≠0),
即 f(x)=ax2-2ax-3a-5=a(x-1)2-4a-5,
又 f(x)的最大值是 3,
则 a<0,且-4a-5=3,所以 a=-2,
所以二次函数的解析式为 f(x)=-2x2+4x+1.
(3)f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x,
令 t=sin x,x∈
π
6
,π
2 ,
则 t∈
1
2
,1
,原函数化为 y=-2t2+at+1,
由题意及复合函数单调性的判定可知 y=-2t2+at+1 在
1
2
,1
上是减函数,结合二次函数
图象可知,a
4
≤1
2
,所以 a≤2.
答案:(1)B (2)f(x)=-2x2+4x+1 (3)(-∞,2]
解决有关二次函数两类综合问题的思想方法
(1)含有参数的二次函数与不等式的综合问题注意分类讨论思想、函数与方程思想的运用.
(2)二次函数的最值问题,通常采用配方法,将二次函数化为 y=a(x-m)2+n(a≠0)的形式,
得其图象顶点(m,n)或对称轴方程 x=m,分三种情况:
①顶点固定,区间固定;
②顶点含参数,区间固定;
③顶点固定,区间变动.
三、预测押题不能少
2.(1)若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈
0,1
2 成立,则 a 的最小值是( )
A.0 B.2
C.-5
2
D.-3
解析:选 C 设 f(x)=x2+ax+1,其图象开口向上,对称轴为直线 x=-a
2
.当-a
2
≥1
2
,即 a≤
-1 时,f(x)在
0,1
2 上是减函数,应有 f
1
2 ≥0⇒a≥-5
2
,∴-5
2
≤a≤-1.当-a
2
≤0,即 a≥0
时,f(x)在
0,1
2 上是增函数,应有 f(0)=1≥0,恒成立,故 a≥0.当 0<-a
2
<1
2
,即-10)图象上一动点.若点 P,
A 之间的最短距离为 2 2,则满足条件的实数 a 的所有值为________.
解析:设 P
x,1
x ,则|PA|2=(x-a)2+
1
x
-a 2=
x+1
x 2-2a
x+1
x +2a2-2,
令 t=x+1
x
,则 t≥2(x>0,当且仅当 x=1 时取“=”),则|PA|2=t2-2at+2a2-2.
①当 a≤2 时,(|PA|2)min=22-2a×2+2a2-2=2a2-4a+2,
由题意知,2a2-4a+2=8,
解得 a=-1 或 a=3(舍).
②当 a>2 时,(|PA|2)min=a2-2a×a+2a2-2=a2-2.
由题意知,a2-2=8,解得 a= 10或 a=- 10(舍),
综上知,a=-1, 10.
答案:-1, 10
考点三 函数的零点
一、基础知识要记牢
确定函数零点的常用方法
(1)解方程判定法,方程易解时用此法;
(2)利用零点存在的判定定理;
(3)利用数形结合,尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解.
二、经典例题领悟好
[例 3] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则 a=
( )
A.-1
2
B.1
3
C.1
2
D.1
(2)(2018 届高三·温州六校联考)函数 f(x)=3-x+x2-4 的零点个数是________.
[解析] (1)法一:由 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得 f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2
-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),所以 f(2-x)=f(x),
即 x=1 为 f(x)图象的对称轴.由题意,f(x)有唯一零点,所以 f(x)的零点只能为 x=1,即 f(1)
=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得 a=1
2
.
法二:由 f(x)=0⇔a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x.ex-1+e-x+1≥2 ex-1·e-x+1=2,当且仅当 x=1
时取“=”.
-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,当且仅当 x=1 时取“=”.
若 a>0,则 a(ex-1+e-x+1)≥2a,
要使 f(x)有唯一零点,则必有 2a=1,即 a=1
2
.
若 a≤0,则 f(x)的零点不唯一.
综上所述,a=1
2
.
(2)令 f(x)=0,则 x2-4=-
1
3 x,分别作出函数 g(x)=x2 - 4 ,
h(x)=-
1
3 x 的图象,由图可知,显然 h(x)与 g(x)的图象有 2 个 交
点,故函数 f(x)的零点个数为 2.
[答案] (1)C (2)2
函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴的交点是一类问题的不同表述,数形结合法是解决
函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法.在解决函数零点问题时,
既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算,
把数与形紧密结合起来.
三、预测押题不能少
3.已知函数 f(x)=
x2+ 4a-3 x+3a,x<0,
loga x+1 +1,x≥0
(a>0,且 a≠1)在 R 上单调递减,且关
于 x 的方程|f(x)|=2-x 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是( )
A.
0,2
3 B.
2
3
,3
4
C.
1
3
,2
3 ∪
3
4 D.
1
3
,2
3 ∪
3
4
解析:选 C 由 y=loga(x+1)+1 在[0,+∞)上递减,得 0<a<1.
又由 f(x)在 R 上单调递减,
则
02+ 4a-3· 0+3a≥1,
3-4a
2
≥0 ⇒1
3
≤a≤3
4
.
如图所示,在同一坐标系中作出函数 y=|f(x)|和 y=2-x 的图象.
由图象可知,在[0,+∞)上|f(x)|=2-x 有且仅有一个解,故在(-∞,0)上|f(x)|=2-x
同样有且仅有一个解.
当 3a>2,即 a>2
3
时,由 x2+(4a-3)x+3a=2-x(其中 x<0),得 x2+(4a-2)x+3a-2=
0(其中 x<0),则Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0,
解得 a=3
4
或 a=1(舍去);
当 1≤3a≤2,即1
3
≤a≤2
3
时,由图象可知,符合条件.
综上所述,a∈
1
3
,2
3 ∪
3
4 .故选 C.
考点四 函数的实际应用
一、经典例题领悟好
[例 4] 为了保护环境,减少排污量,某旅游点有 50 辆自行车供租赁使用,管理这些自行车
的费用是每日 115 元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;
若超过 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就增加 3 辆.设每辆自行车的日租金为 x(3≤x≤20,
x∈N*)(单位:元),用 y(单位:元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入减去
管理费用).
(1)求函数 y=f(x)的解析式;
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使日净收入最多?
[解] (1)当 3≤x≤6,x∈N*时,y=50x-115.
当 6f(12),
∴当 x=11 时,ymax=-3×1
9
+811
3
=270.
又 270>185,∴当每辆自行车的日租金定为 11 元时,才能使日净收入最多.
解决函数实际应用题的关键有两点:一是明确问题的实际背景,认真审题,确切理解题意,
然后抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题;二是要合理选取参变量,设定变量之后,就
要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终
求解数学模型使实际问题获解.重点关注分段函数背景下的应用问题.
二、预测押题不能少
4.如图,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下液体(滴
管内液体忽略不计),设输液开始后 x min,瓶内液面与进气管的距离为 h cm,已知当 x=0 时,
h=13.如果瓶内的药液恰好 156 min 滴完,则函数 h=f(x)的图象为( )
解析:选 A 瓶内的液体的体积 V=π×42×9+π×22×3=156 π cm3,因为 156 min 滴完,
所以每分钟滴下π cm3 药液,当 4≤h≤13 时,xπ=π×42×(13-h),即 h=13- x
16
,此时
0≤x≤144;当 1≤h<4 时,xπ=π×42×9+π×22×(4-h),即 h=40-x
4
,此时 1440 且 a≠1)在 R 上是增函数,则 g(x)=loga(x
+k)的大致图象是( )
解析:选 C ∵函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)在 R 上是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,即
(k-1)ax+(k-1)·a-x=0,解得 k=1.又函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)在 R 上是增函数,∴
a>1,可得 g(x)=loga(x+k)=loga(x+1),函数 g(x)的图象必过原点,且为增函数.故选 C.
3.若 x∈(e-1,1),a=ln x,b=
1
2 ln x,c=eln x ,则 a,b,c 的大小关系为( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>b>c D.b>a>c
解析:选 B 依题意得 a=ln x∈(-1,0),b=
1
2 ln x∈(1,2),c=x∈(e-1,1),因此 b>c>a.
4.已知函数 f(x)=
2-|x|,x≤2,
x-2 2,x>2,
函数 g(x)=3-f(2-x),则函数 y=f(x)-g(x)的
零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:选 A 法一:当 x>2 时,g(x)=x-1,f(x)=(x-2)2;
当 0≤x≤2 时,g(x)=3-x,f(x)=2-x;
当 x<0 时,g(x)=3-x2,f(x)=2+x.
由于函数 y=f(x)-g(x)的零点个数就是方程 f(x)-g(x)=0 的根的个数.
x>2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x2-5x+5=0,其根为 x=5+ 5
2
或 x=5- 5
2
(舍去);
当 0≤x≤2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 2-x=3-x,无解;
当 x<0 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x2+x-1=0,其根为 x=-1- 5
2
或 x=-1+ 5
2
(舍
去).
所以函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为 2.
法二:由 y=f(x)-g(x)=0 得 f(x)+f(2-x)=3,
设 F(x)=f(x)+f(2-x),
则 F(2-x)=f(2-x)+f(x),所以 F(2-x)=F(x),F(x)关于直线 x=1 对称.
当 0≤x≤1 时,F(x)=f(x)+f(2-x)=2-x+2-(2-x)=
2;当 x<0 时,F(x)=f(x)+f(2-x)=2+x+(2-x-2)2=x2+x
+2=
x+1
2 2+7
4
.作出函数 F(x)的图象如图所示,由图象可知,
当 F(x)=3 时,有 2 个零点,故选 A.
5.(2017·邯郸模拟)设函数 f(x)=
2x,x≤0,
log2x,x>0,
若对任意给定的 t∈(1,+∞),都存在
唯一的 x∈R,满足 f(f(x))=2a2t2+at,则正实数 a 的最小值是( )
A.2 B.1
2
C.1
4
D.1
8
解析:选 B 根据 f(x)的解析式易知其值域为 R,又当 x≤0 时,f(x)=2x 的值域为(0,1];
当 x>0 时,f(x)=log2x 的值域为 R,∴要想在 t∈(1,+∞)上存在唯一的 x∈R 满足 f(f(x))=
2a2t2+at,必有 f(f(x))>1(∵2a2t2+at>0),∴f(x)>2,解得 x>4,当 x>4 时,x 与 f(f(x))存在
一一对应的关系,∴2a2t2+at>1,t∈(1,+∞),且 a>0,∴(2at-1)(at+1)>0,解得 t> 1
2a
或
t<-1
a
(舍去),∴ 1
2a
≤1,∴a≥1
2
,故选 B.
6.(2017·山东高考)已知当 x∈[0,1]时,函数 y=(mx-1)2 的图象与 y= x+m 的图象有且
只有一个交点,则正实数 m 的取值范围是( )
A.(0,1]∪[2 3,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0, 2 ]∪[2 3,+∞) D.(0, 2 ]∪[3,+∞)
解析:选 B 在同一直角坐标系中,分别作出函数 f(x)=(mx-1)2=m2 x-1
m 2 与 g(x)= x+
m 的大致图象.分两种情形:
(1)当 01 时,0<1
m
<1,如图②,要使 f(x)与 g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需
g(1)≤f(1),即 1+m≤(m-1)2,解得 m≥3 或 m≤0(舍去).
综上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞).
二、填空题
7.设函数 f(x)=-ln(-x+1),g(x)=
x2 x≥0 ,
f x x<0 ,
则 g(-2)=______;函数 y=
g(x)+1 的零点是________.
解析:由题意知 g(-2)=f(-2)=-ln 3,当 x≥0 时,x2+1=0 没有零点,当 x<0 时,由
-ln(-x+1)+1=0,得 x=1-e.
答案:-ln 3 1-e
8.已知函数 f(x)=
-x2+ax,x≤1,
ax-1,x>1,
若存在 x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,
则实数 a 的取值范围是________.
解析:由已知存在 x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则需 x≤1 时,f(x)不单调即
可,即对称轴a
2
<1,解得 a<2.
答案:(-∞,2)
9.(2016·山东高考)已知函数 f(x)=
|x|,x≤m,
x2-2mx+4m,x>m,
其中 m>0.若存在实数 b,使
得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是________.
解析:作出 f(x)的图象如图所示.当 x>m 时,x2-2mx+4m=(x
-m)2+4m-m2,∴要使方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 4m-m2<m,
即 m2-3m>0.又 m>0,解得 m>3.
答案:(3,+∞)
三、解答题
10.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+e2
x
(x>0).
(1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围;
(2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.
解:(1)∵g(x)=x+e2
x
≥2 e2=2e(x>0),
当且仅当 x=e2
x
时取等号.
∴当 x=e 时,g(x)有最小值 2e.
因此 g(x)=m 有零点,只需 m≥2e.
∴m 的取值范围是[2e,+∞).
(2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,则函数 g(x)与 f(x)的图
象有两个不同的交点.
如图所示,作出函数 g(x)=x+e2
x
(x>0)的大致图象.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1
=-(x-e)2+m-1+e2,
∴其对称轴为 x=e,f(x)max=m-1+e2.
若函数 f(x)与 g(x)的图象有两个交点,
必须有 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1.
即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,
则 m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
11.有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放 k(1≤k≤4 且 k∈R)个单位的洗衣
液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 y(g/L)随着时间 x(min)变化的函数关系式近似
为 y=kf(x),其中 y=
k
16
9-x
-1
,0≤x≤5,
k
11- 2
45
x2
,50.
令 t=2x,则(1-a)t2+at+1=0,只需其有一正根即可满
足题意.
①当 a=1 时,t=-1,不合题意,舍去.
②上式有一正一负根 t1,t2,
即
Δ=a2-4 1-a >0,
t1t2= 1
1-a
<0,
经验证满足 a·2x-a>0,∴a>1.
③上式有两根相等,即Δ=0⇒a=±2 2-2,
此时 t= a
2 a-1
,若 a=2( 2-1),则有 t= a
2 a-1
<0,
此时方程(1-a)t2+at+1=0 无正根,
故 a=2( 2-1)舍去;
若 a=-2( 2+1),则有 t= a
2 a-1
>0,且 a· 2x-a=a(t-1)=a
a
2 a-1
-1
=
a 2-a
2 a-1
>0,
因此 a=-2( 2+1).
综上所述,a 的取值范围为{a|a>1 或 a=-2-2 2}.
第四讲 不_等_式
考点一 不等式的解法
一、基础知识要记牢
求一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0,Δ=b2-4ac>0)的解集,首先确定对应方程的
根,然后根据三个二次之间的关系,依据图象直观写出解集.
二、经典例题领悟好
[例 1] (1)已知函数 f(x)=(ax-1)(x+b),若不等式 f(x)>0 的解集是(-1,3),则不等式
f(-2x)<0 的解集是( )
A.
-∞,-3
2 ∪
1
2
,+∞
B.
-3
2
,1
2
C.
-∞,-1
2 ∪
3
2
,+∞
D.
-1
2
,3
2
(2)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为
xx<-1 或 x>1
2 ,则 f(10x)>0 的解集为( )
A.{x|x<-1 或 x>-lg 2}
B.{x|-1-lg 2}
D.{x|x<-lg 2}
(3)设 a∈R,若 x>0 时均有(x2+ax-5)(ax-1)≥0 成立,则 a=________.
[解析] (1)由 f(x)>0,得 ax2+(ab-1)x-b>0,又其解集是(-1,3),
∴a<0,且
1-ab
a
=2,
-b
a
=-3,
解得 a=-1
a=1
3
舍去
,
∴a=-1,b=-3,∴f(x)=-x2+2x+3,
∴f(-2x)=-4x2-4x+3,
由-4x2-4x+3<0,得 4x2+4x-3>0,
解得 x>1
2
或 x<-3
2
,故选 A.
(2)由题意知,一元二次不等式 f(x)>0 的解集为
x-10,∴-1<10x<1
2
,
解得 x0(a>0),再求相应一元二次
方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不
等式的解集.
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为
一元二次不等式)求解.
(3)与一元二次不等式有关的恒成立问题,通常转化为根的分布问题,求解时一定要借助二
次函数的图象,一般考虑四个方面:开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值
的符号.
(4)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因.确
定好分类标准,从而层次清晰地求解.
三、预测押题不能少
1.(1)已知 f(x)=
-2x+1
x2 ,x>0,
1
x
,x<0,
则 f(x)>-1 的解集为( )
A.(-∞,-1)∪(0,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
解析:选 B 当 x>0 时,由 f(x)=-2x+1
x2 >-1,
得-2x+1>-x2,即 x2-2x+1>0,解得 x>0 且 x≠1.
当 x<0 时,由 f(x)=1
x
>-1,即-x>1,解得 x<-1.
故 x∈(-∞,-1)∪(0,1)∪(1,+∞).
(2)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)0,则a4+4b4+1
ab
的最小值为________.
(2)(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/次,
一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是______.
[解析] (1)因为 ab>0,所以a4+4b4+1
ab
≥2 4a4b4+1
ab
=4a2b2+1
ab
=4ab+ 1
ab
≥2 4ab· 1
ab
=
4,当且仅当
a2=2b2,
ab=1
2
时取等号,故a4+4b4+1
ab
的最小值是 4.
(2) 由 题 意 , 一 年 购 买 600
x
次 , 则 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 为 600
x
×6 + 4x =
4
900
x
+x
≥8 900
x
·x=240,当且仅当 x=30 时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时 x
的值是 30.
[答案] (1)4 (2)30
利用基本不等式求函数最值的关注点
(1)一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数,
特别适合用基本不等式求最值.
2 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等
式中“正” 即条件要求中字母为正数 、“定” 不等式的另一边必须为定值 、“等” 等
号取得的条件 的条件.
3 对二元以上的最值 范围 问题,通常可以通过换元、互化、齐次化、不等式放缩等
减元,也可以通过主元、数形结合整体等策略求解.
三、预测押题不能少
3.(1)函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1
=0 上(其中 m,n>0),则1
m
+2
n
的最小值等于( )
A.16 B.12
C.9 D.8
解析:选 D 依题意,点 A(-2,-1),则-2m-n+1=0,即 2m+n=1(m>0,n>0),
∴1
m
+2
n
=
1
m
+2
n (2m+n)
=4+
n
m
+4m
n ≥4+2 n
m
×4m
n
=8,
当且仅当n
m
=4m
n
,
即 n=2m=1
2
时取等号,
即1
m
+2
n
的最小值是 8.
(2)设 a,b 为正实数,且(a-b)2= 9
ab
,则当 a+b 取得最小值时,a=________.
解析:(a+b)2=(a-b)2+4ab= 9
ab
+4ab≥2 9
ab
·4ab=12,当且仅当
9
ab
=4ab,
a+b 2=12
时
取等号,解得 a= 3± 6
2
.
答案: 3± 6
2
考点四 绝对值不等式及其应用
一、基础知识要记牢
1.必记公式
(1)如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|.当且仅当 ab≥0 时,等号成立.
(2)如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等
号成立.
2.重要性质及结论
(1)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c.
②|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≥c 或 ax+b<-c.
(2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想.
方法二:利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想.
方法三:通过构建函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程思想.
二、经典例题领悟好
[例 4] (1)不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是( )
A.(-∞,4) B.(-∞,1)
C.(1,4) D.(1,5)
(2)(2017·浙江高考)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是
________,最大值是________.
(3)已知函数 f(x)=|x+1
x
-ax-b|(a,b∈R),当 x∈
1
2
,2
时,设 f(x)的最大值为 M(a,
b),则 M(a,b)的最小值为________.
[解析] (1)①当 x≤1 时,原不等式可化为 1-x-(5-x)<2,∴-4<2,不等式恒成立,∴
x≤1.
②当 10 时,解得 0≤a≤1
3
,
综上实数 a 的取值范围为
-∞,1
3 .
[知能专练(四)]
一、选择题
1.(2018 届高三·衢州联考)“00 的解集是实数集 R”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选 A 当 a=0 时,1>0,显然成立;当 a≠0 时,
a>0,
Δ=4a2-4a<0.
故 ax2+2ax+1>0
的解集是实数集 R 等价于 0≤a<1.因此,“00 的解集是实数集 R”的充
分而不必要条件.
2.(2017·杭州模拟)在约束条件
y≤x,
y≥1
2
x,
x+y≤1
下,目标函数 z=x+1
2
y 的最大值为( )
A.1
4
B.3
4
C.5
6
D.5
3
解析:选 C 法一:由 z=x+1
2
y 得 y=-2x+2z.作出可行域如图
中阴影部分所示,平移直线 y=-2x,当直线经过点 C 时,z 最大.由
y=1
2
x,
x+y=1,
解得
x=2
3
,
y=1
3
,
所以点 C 的坐标为
2
3
,1
3 ,代入 z=x
+1
2
y,得 z=2
3
+1
2
×1
3
=5
6
.
法二:作出不等式组所表示的平面区域如图中△OBC 及其内部所示,易知 O(0,0),B
1
2
,1
2 ,
C
2
3
,1
3 ,分别代入 z=x+1
2
y,z 的值分别为 0,3
4
,5
6
,故目标函数 z=x+1
2
y 的最大值为5
6
.
3.(2017·温州模拟)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( )
A.5 或 8 B.-1 或 5
C.-1 或-4 D.-4 或 8
解析:选 D 当 a>2 时,-a
2
<-1,
f(x)=
3x+a+1,x>-1,
x+a-1,-a
2
≤x≤-1
-3x-a-1,x<-a
2
.
其图象如图所示:由图象知 f(x)的最小值为 f
-a
2 =-a
2
+a -1=
a
2
-1,依题意得a
2
-1=3,解得 a=8,符合题意.
当 a=2 时,f(x)=3|x+1|,其最小值为 0,不符合题意.
当 a<2 时,-a
2
>-1,
f(x)=
3x+a+1,x>-a
2
,
-x-a+1,-1≤x≤-a
2
,
-3x-a-1,x<-1,
得 f(x)的最小值为 f
-a
2 ,
因此-a
2
+1=3,解得 a=-4,符合题意.故选 D.
4.(2016·浙江高考)若平面区域
x+y-3≥0,
2x-y-3≤0,
x-2y+3≥0
夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则
这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A.3 5
5
B. 2
C.3 2
2
D. 5
解析:选 B 根据约束条件作出可行域如图阴影部分,当斜率
为 1 的 直 线 分 别 过 A 点 和 B 点 时 满 足 条 件 , 联 立 方 程 组
x+y-3=0,
x-2y+3=0
求得 A(1,2),联立方程组
2x-y-3=0,
x+y-3=0
求得
B(2,1),可求得分别过 A,B 两点且斜率为 1 的两条直线方程为 x-
y+1=0 和 x-y-1=0,由两平行线间的距离公式得距离为|1+1|
2
= 2,故选 B.
5.(2018 届高三·浙江名校联考)不等式 x2+2x(ax)2 的解集中的整数恰有 4 个,则 b
a-1
的取值
范围为( )
A.(3,4] B.(3,4)
C.(2,3] D.(2,3)
解析:选 A 整理不等式得[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0.因为整数解只有 4 个,且 1+a>0,
可得 1-a<0,所以 a>1.其解集为
b
1-a
, b
1+a .又 01. 设 a∈R,若关于 x 的不等式
f(x)≥|x
2
+a|在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是( )
A.
-47
16
,2
B.
-47
16
,39
16
C.[-2 3,2] D.
-2 3,39
16
解析:选 A 法一:根据题意,作出 f(x)的大致图象, 如 图
所示.
当 x≤1 时,若要 f(x)≥|x
2
+a|恒成立,结合图象, 只 需
x2-x+3≥-
x
2
+a
,即 x2-x
2
+3+a≥0,故对于方程 x2-x
2
+ 3 + a
=0,Δ=
-1
2 2-4(3+a)≤0,解得 a≥-47
16
;当 x>1 时,若要 f(x)≥|x
2
+a|恒成立,结合图
象,只需 x+2
x
≥x
2
+a,即x
2
+2
x
≥a.又x
2
+2
x
≥2,当且仅当x
2
=2
x
,即 x=2 时等号成立,所以 a≤2.
综上,a 的取值范围是
-47
16
,2
.
法二:关于 x 的不等式 f(x)≥|x
2
+a|在 R 上恒成立等价于-f(x)≤a+x
2
≤f(x),
即-f(x)-x
2
≤a≤f(x)-x
2
在 R 上恒成立,
令 g(x)=-f(x)-x
2
.
当 x≤1 时,g(x)=-(x2-x+3)-x
2
=-x2+x
2
-3
=-
x-1
4 2-47
16
,
当 x=1
4
时,g(x)max=-47
16
;
当 x>1 时,g(x)=-
x+2
x -x
2
=-
3x
2
+2
x ≤-2 3,
当且仅当3x
2
=2
x
,且 x>1,即 x=2 3
3
时,“=”成立,
故 g(x)max=-2 3.
综上,g(x)max=-47
16
.
令 h(x)=f(x)-x
2
,
当 x≤1 时,h(x)=x2-x+3-x
2
=x2-3x
2
+3
=
x-3
4 2+39
16
,
当 x=3
4
时,h(x)min=39
16
;
当 x>1 时,h(x)=x+2
x
-x
2
=x
2
+2
x
≥2,
当且仅当x
2
=2
x
,且 x>1,即 x=2 时,“=”成立,
故 h(x)min=2.
综上,h(x)min=2.
故 a 的取值范围为
-47
16
,2
.
二、填空题
8.(2016·江苏高考)已知实数 x,y 满足
x-2y+4≥0,
2x+y-2≥0,
3x-y-3≤0,
则 x2+y2 的取值范围是________.
解析:根据已知的不等式组画出可行域,如图阴影部分所示,则(x,
y)为阴影区域内的动点.d= x2+y2可以看做坐标原点 O 与可行域内的
点(x,y)之间的距离.数形结合,知 d 的最大值是 OA 的长,d 的最小值
是点 O 到直线 2x+y-2=0 的距离.由
x-2y+4=0,
3x-y-3=0
可得 A(2,3),
所以 dmax= 22+32= 13,dmin= |-2|
22+12
= 2
5
.所以 d2 的最小值为4
5
,最大值为 13.所以 x2+y2
的取值范围是
4
5
,13
.
答案:
4
5
,13
9.已知正数 x,y 满足 x+y=1,则 x-y 的取值范围为________,1
x
+x
y
的最小值为________.
解析:设 y=1-x,则 x-y=x-(1-x)=2x-1,02 6,
解得-5≤a<-2 6.
综上所述,a 的取值范围为
-11
2
,-2 6
.
第五讲 导数及其应用
考点一 导数的几何意义
一、基础知识要记牢
(1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,
即 k=f′(x0).
(2)曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
二、经典例题领悟好
[例 1] (1)(2016·山东高考)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点
处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质,下列函数中具有 T 性质的是( )
A.y=sin x B.y=ln x
C.y=ex D.y=x3
(2)(2017·全国卷Ⅰ)曲线 y=x2+1
x
在点(1,2)处的切线方程为________.
[解析] (1)若 y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数图象在这两点
处的切线互相垂直,则 f′(x1)·f′(x2)=-1.对于 A:y′=cos x,若有 cos x1·cos x2=-1,
则存在 x1=2kπ(k∈Z),x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立;对于 B:y′=1
x
,若有1
x1
·1
x2
=-1,
即 x1x2=-1,∵x>0,∴不存在 x1,x2,使得 x1x2=-1;对于 C:y′=ex,若有 e 1x ·e 2x =-1,
即 1 2ex + x =-1,显然不存在这样的 x1,x2;对于 D:y′=3x2,若有 3x2
1·3x2
2=-1,即 9x2
1x2
2=-
1,显然不存在这样的 x1,x2.综上所述,选 A.
(2)因为 y′=2x-1
x2,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为 y′|x=1=2×1-1
12=1,所以切
线方程为 y-2=x-1,即 x-y+1=0.
[答案] (1)A (2)x-y+1=0
解决函数切线的相关问题,需抓住以下关键点:
(1)切点是交点.
(2)在切点处的导数是切线的斜率.因此,解决此类问题,一般要设出切点,建立关系—方
程(组).
(3)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异.过点 P 的切线中,
点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上;在点 P 处的切线,点 P 是切点.
三、预测押题不能少
1.(1)已知偶函数 f(x)在 R 上的任一取值都有导数,且 f′(1)=1,f(x+2)=f(x-2),则
曲线 y=f(x)在 x=-5 处的切线斜率为( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
解析:选 D 由 f(x+2)=f(x-2),得 f(x+4)=f(x),可知函数为周期函数,且周期为 4.
又函数 f(x)为偶函数,所以 f(x+2)=f(x-2)=f(2-x) ,即函数的对称轴为 x=2,所以 f′(-
5)=f′(3)=-f′(1),所以函数在 x=-5 处的切线的斜率 k=f′(-5)=-f′(1)=-1.
(2)若函数 f(x)=ln x+ax 的图象上存在与直线 2x-y=0 平行的切线,则实数 a 的取值范
围为________.
解析:函数 f(x)=ln x+ax 的图象上存在与直线 2x-y=0 平行的切线,即 f′(x)=2 在(0,
+∞)上有解,又 f′(x)=1
x
+a,即1
x
+a=2 在(0,+∞)上有解,即 a=2-1
x
在(0,+∞)上有解,
因为 x>0,所以 2-1
x
<2,所以实数 a 的取值范围是(-∞,2).
答案:(-∞,2)
考点二 利用导数研究函数的单调性
一、基础知识要记牢
函数的单调性与导数的关系:
在区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 f(x)在区间(a,b)上单调递增;如果 f′(x)<0,
那么函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减.
二、经典例题领悟好
[例 2] (2018 届高三·浙江名校联考)已知函数 f(x)=ex-ax(a∈R,e 为自然对数的底数).
(1)讨论函数 f(x)的单调性;
(2)若 a=1,函数 g(x)=(x-m)f(x)-ex+x2+x 在(2,+∞)上为增函数,求实数 m 的取值
范围.
[解] (1)函数 f(x)的定义域为 R,f′(x)=ex-a.
当 a≤0 时,f′(x)>0,∴f(x)在 R 上为增函数;
当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=ln a,
则当 x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0,
∴函数 f(x)在(-∞,ln a)上为减函数,
当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,
∴函数 f(x)在(ln a,+∞)上为增函数.
(2)当 a=1 时,g(x)=(x-m)(ex-x)-ex+x2+x=(x-m-1)ex+(m+1)x,
∵g(x)在(2,+∞)上为增函数,
∴g′(x)=xex-mex+m+1≥0 在(2,+∞)上恒成立,
即 m≤xex+1
ex-1
在(2,+∞)上恒成立,
令 h(x)=xex+1
ex-1
,x∈(2,+∞),
h′(x)= ex 2-xex-2ex
ex-1 2 =ex ex-x-2
ex-1 2 .
令 L(x)=ex-x-2,
L′(x)=ex-1>0 在(2,+∞)上恒成立,
即 L(x)=ex-x-2 在(2,+∞)上为增函数,
即 L(x)>L(2)=e2-4>0,∴h′(x)>0,
即 h(x)在(2,+∞)上为增函数,
∴h(x)>h(2)=2e2+1
e2-1
,∴m≤2e2+1
e2-1
.
故实数 m 的取值范围为
-∞,2e2+1
e2-1 .
利用导数研究函数单调性的一般步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数 f′(x);
(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明)不等式
f′(x)>0 或 f′(x)<0 即可.
②若已知 f(x)的单调性,则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题
求解.
三、预测押题不能少
2.(1)若函数 exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则称
函数 f(x)具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为________.
①f(x)=2-x;②f(x)=3-x;③f(x)=x3;
④f(x)=x2+2.
解析:设 g(x)=exf(x),对于①,g(x)=ex·2-x,则 g′(x)=(ex·2-x)′=ex·2-x(1-ln 2)>0,
所以函数 g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,故①符合要求;
对于②,g(x)=ex·3-x,则 g′(x)=(ex·3-x)′=ex·3-x(1-ln 3)<0,所以函数 g(x)在(-
∞,+∞)上为减函数,故②不符合要求;
对于③,g(x)=ex·x3,则 g′(x)=(ex·x3)′=ex·(x3+3x2),
显然函数 g(x)在(-∞,+∞)上不单调,故③不符合要求;
对于④,g(x)=ex·(x2+2),则 g′(x)=[ex·(x2+2)]′=ex·(x2+2x+2)=ex·[(x+1)2
+1]>0,所以函数 g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,故④符合要求.
综上,具有 M 性质的函数的序号为①④.
答案:①④
(2)已知函数 f(x)=x3-2x+ex-1
ex,其中 e 是自然对数的底数.若 f(a-1)+f(2a2)≤0,则
实数 a 的取值范围是________.
解析:由 f(x)=x3-2x+ex-1
ex,
得 f(-x)=-x3+2x+1
ex-ex=-f(x),
所以 f(x)是 R 上的奇函数.
又 f′(x)=3x2-2+ex+1
ex≥3x2-2+2 ex·1
ex=3x2≥0,当且仅当 x=0 时取等号,
所以 f(x)在其定义域内单调递增.
因为 f(a-1)+f(2a2)≤0,
所以 f(a-1)≤-f(2a2)=f(-2a2),
所以 a-1≤-2a2,解得-1≤a≤1
2
,
故实数 a 的取值范围是
-1,1
2 .
答案:
-1,1
2
考点三 利用导数研究函数的极值 最值 问题
一、基础知识要记牢
(1)若在 x0 附近左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则 f(x0)为函数 f(x)的极大值;若在 x0 附近
左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值.
(2)设函数 y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则 f(x)在[a,b]上必有最大值和最
小值且在极值点或端点处取得.
二、经典例题领悟好
[例 3] (20178 届高三·杭州模拟)设函数 f(x)=x(x2-3a),求 f(x)在[0,1]上的最大值
F(a).
[解] 因为 f(x)=x3-3ax,所以 f′(x)=3x2-3a.
(1)若 a≤0,则 f′(x)≥0,即 f(x)在[0,1]上单调递增,所以 F(a)=f(1)=1-3a.
(2)若 a>0,由 f′(x)=0 知 x=± a.f(0)=0,f(1)=1-3a.
①若 01,则 f(x)在[0,1]上单调递减,
所以 F(a)=f(0)=0.
综上,F(a)=
1-3a,a≤1
3
,
0,a>1
3
.
1.求函数 y=f x 在某个区间上的极值的步骤
第一步:求导数 f′ x ;
第二步:求方程 f′ x =0 的根 x0;
第三步:检查 f′ x 在 x=x0 左右的符号;,
①左正右负⇔f x 在 x=x0 处取极大值;
②左负右正⇔f x 在 x=x0 处取极小值.
2.求函数 y=f x 在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
第一步:求函数 y=f x 在区间 a,b 内的极值 极大值或极小值 ;,
第二步:将 y=f x 的各极值与 f a ,f b 进行比较,其中最大的一个为最大值,最
小的一个为最小值.
三、预测押题不能少
3.已知函数 f(x)=ax-2
x
-3ln x,其中 a 为常数.
(1)当函数 f(x)的图象在点
2
3
,f
2
3 处的切线的斜率为 1 时,求函数 f(x)在
3
2
,3
上的最小
值;
(2)若函数 f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求 a 的取值范围.
解:(1)f′(x)=a+2
x2-3
x
,
由题意可知 f′
2
3 =1,解得 a=1.
故 f(x)=x-2
x
-3ln x,∴f′(x)= x-1 x-2
x2 ,
由 f′(x)=0,得 x=2.
于是可得下表:
x 3
2
3
2
,2 2 (2,3) 3
f′(x) - 0 +
f(x) 1-3ln 2
∴f(x)min=f(2)=1-3ln 2.
(2)f′(x)=a+2
x2-3
x
=ax2-3x+2
x2 (x>0),
由题意可得方程 ax2-3x+2=0 有两个不等的正实根,不妨设这两个根为 x1,x2,并令 h(x)
=ax2-3x+2,
则
Δ=9-8a>0,
x1+x2=3
a
>0,
x1x2=2
a
>0,
也可以为
Δ=9-8a>0,
--3
2a
>0,
h 0 >0,
解得 00,∴1+x≥0,∴x≥-1.
3.函数 f(x)=3x2+ln x-2x 的极值点的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.无数个
解析:选 A 函数定义域为(0,+∞),
且 f′(x)=6x+1
x
-2=6x2-2x+1
x
.
由于 x>0,g(x)=6x2-2x+1 中Δ=-20<0,
所以 g(x)>0 恒成立,故 f′(x)>0 恒成立.
即 f(x)在定义域上单调递增,无极值点.
4.(2017·浙江高考)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所 示 ,
则函数 y=f(x)的图象可能是( )
解析:选 D 由 f′(x)的图象知,f′(x)的图象有三个零点,故 f(x)在这三个零点处取得极
值,排除 A、B;记导函数 f′(x)的零点从左到右分别为 x1,x2,x3,又在(-∞,x1)上 f′(x)<0,
在(x1,x2)上 f′(x)>0,所以函数 f(x)在(-∞,x1)上单调递减,排除 C,故选 D.
5.已知常数 a,b,c 都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34 的导函数为 f′(x),f′(x)≤0 的
解集为{x|-2≤x≤3},若 f(x)的极小值等于-115,则 a 的值是( )
A.-81
22
B.1
3
C.2 D.5
解析:选 C 由题意知,f′(x)=3ax2+2bx+c≤0 的解集为[-2,3],且在 x=3 处取得极小
值-115,
故有
3a>0,
-2+3=-2b
3a
,
-2×3= c
3a
,
f 3 =27a+9b+3c-34=-115,
解得 a=2.
6.若 0ln x2-ln x1
B.e 2x -e 1x x1e 2x
D.x2e 1x g(x2),x2e 1x >x1e 2x ,故选 C.
二、填空题
7.设函数 f(x)=x(ex-1)-1
2
x2,则函数 f(x)的单调增区间为________.
解析:因为 f(x)=x(ex-1)-1
2
x2,所以 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).令 f′(x)>0,
即(ex-1)·(x+1)>0,解得 x∈(-∞,-1)或 x∈(0,+∞).所以函数 f(x)的单调增区间为(-
∞,-1)和(0,+∞).
答案:(-∞,-1)和(0,+∞)
8.已知函数 f(x)=1
2
x2+2ax-ln x,若 f(x)在区间
1
3
,2
上是增函数,则实数 a 的取值范
围为________.
解析:由题意知 f′(x)=x+2a-1
x
≥0 在
1
3
,2
上恒成立,即 2a≥-x+1
x
在
1
3
,2
上恒成
立.又∵y=-x+1
x
在
1
3
,2
上单调递减,∴
-x+1
x max=8
3
,∴2a≥8
3
,即 a≥4
3
.
答案:
4
3
,+∞
9.已知函数 f(x)=x3+2ax2+1 在 x=1 处的切线的斜率为 1,则实数 a=________,此时函
数 y=f(x)在[0,1]上的最小值为________.
解析:由题意得 f′(x)=3x2+4ax,则有 f′(1)=3×12+4a×1=1,解得 a=-1
2
,所以 f(x)
=x3-x2+1,
则 f′(x)=3x2-2x,当 x∈[0,1]时,
由 f′(x)=3x2-2x>0 得2
3
0,得 x>1,因此函数 f(x)的单调递增区间是(1,+∞).
令 f′(x)<0,得 00,∴x,f′(x),f(x)关系如下表:
x 0,1
2
1
2
1
2
,2 2 (2,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x)
∴f(x)的单调递增区间为
0,1
2 和[2,+∞),单调递减区间为
1
2
,2
.
(2)若 f(x)在定义域上是增函数,
则 f′(x)≥0 在 x>0 时恒成立,
∵f′(x)=a+a
x2-2
x
=ax2-2x+a
x2 ,
∴转化为 x>0 时 ax2-2x+a≥0 恒成立,
即 a≥ 2x
x2+1
恒成立,
∵ 2x
x2+1
=
2
x+1
x
≤1,当且仅当 x=1
x
=1 时等号成立,
∴a≥1.故实数 a 的取值范围为[1,+∞).
12.已知函数 f(x)=ex+ax-a(a∈R 且 a≠0).
(1)若函数 f(x)在 x=0 处取得极值,求实数 a 的值;并求出此时 f(x)在[-2,1]上的最大值;
(2)若函数 f(x)不存在零点,求实数 a 的取值范围.
解:(1)函数 f(x)的定义域为 R,f′(x)=ex+a,
f′(0)=e0+a=0,∴a=-1,∴f′(x)=ex-1,
∵在(-∞,0)上 f′(x)<0,f(x)单调递减,在(0,+∞)上 f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴x=0 时,f(x)取极小值.∴a=-1 符合要求.
易知 f(x)在[-2,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,
且 f(-2)=1
e2+3,f(1)=e,f(-2)>f(1).
∴f(x)在[-2,1]的最大值为1
e2+3.
(2)f′(x)=ex+a,由于 ex>0.
①当 a>0 时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
且当 x>1 时,f(x)=ex+a(x-1)>0.
当 x<0 时,取 x=-1
a
,
则 f
-1
a <1+a
-1
a
-1
=-a<0,
∴函数 f(x)存在零点,不满足题意.
②当 a<0 时,令 f′(x)=ex+a=0,得 x=ln(-a).
在(-∞,ln(-a))上 f′(x)<0,f(x)单调递减,
在(ln(-a),+∞)上 f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴x=ln(-a)时,f(x)取最小值.
函数 f(x)不存在零点,等价于 f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0,解得
-e21
x
-e1-x 在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然
对数的底数).
[解] (1)由题意,f′(x)=2ax-1
x
=2ax2-1
x
,x>0,
①当 a≤0 时,2ax2-1<0,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当 a>0 时,f′(x)=2a
x+ 1
2a
x- 1
2a
x
,
当 x∈
0, 1
2a 时,f′(x)<0;当 x∈
1
2a
,+∞
时,f′(x)>0.
故 f(x)在
0, 1
2a 上单调递减,在
1
2a
,+∞
上单调递增.
综上所述,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当 a>0 时,f(x)在
0, 1
2a 上单调
递减,在
1
2a
,+∞
上单调递增.
(2)原不等式等价于 f(x)-1
x
+e1-x>0 在 x∈(1,+∞)上恒成立.
令 g(x)=f(x)-1
x
+e1-x=ax2-ln x-1
x
+e1-x-a,
只需 g(x)在 x∈(1,+∞)上恒大于 0 即可.
又 g(1)=0,故 g′(x)在 x=1 处必大于等于 0.
令 F(x)=g′(x)=2ax-1
x
+1
x2-e1-x,由 g′(1)≥0,可得 a≥1
2
.
当 a≥1
2
时,F′(x)=2a+1
x2-2
x3+e1-x≥1+1
x2-2
x3+e1-x=x3+x-2
x3 +e1-x,
因为 x∈(1,+∞),故 x3+x-2>0.又 e1-x>0,故 F′(x)在 a≥1
2
时恒大于 0.
所以当 a≥1
2
时,F(x)在 x∈(1,+∞)上单调递增.
所以 F(x)>F(1)=2a-1≥0,故 g(x)也在 x∈(1,+∞)上单调递增.
所以 g(x)>g(1)=0,即 g(x)在 x∈(1,+∞)上恒大于 0.
综上所述,a≥1
2
.
即实数 a 的取值范围为
1
2
,+∞
.
1 求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关:第一关是转化关,即通过分离参数法,
先 转 化 为 f a≥ g x 或 f a≤ g x 对 任 意 x ∈ D 恒 成 立 , 再 转 化 为
f a≥ g x max 或 f a≤ g x min ;第二关是求最值关,即求函数 g x 在区间 D 上的
最大值 或最小值 问题.
2 有些含参不等式恒成立问题,在分离参数时会遇到讨论的麻烦,或者即使分离出参数,
但参数的最值却难以求出,这时常利用导数法,借助导数,分析函数的单调性,通过对函数单调
性的分析确定函数值的变化情况,找到参数满足的不等式,往往能取得意想不到的效果.
1.已知函数 y=ex 的图象与函数 f(x)的图象关于直线 y=x 对称,函数 g(x)=(x2-2x)f(x)
+ax2-x.
(1)若 a>0,且关于 x 的方程 g(x)=0 有且仅有一个解,求实数 a 的值;
(2)在(1) 的条件下,若关于 x 的不等式 g(x)≤m 在(e-2,e)上恒成立,求实数 m 的取值范围.
解:因为函数 y=ex 的图象与函数 f(x)的图象关于直线 y=x 对称,所以 f(x)=ln x,
所以 g(x)=(x2-2x)ln x+ax2-x.
(1)令 g(x)=0,则(x2-2x)ln x+ax2-x=0,所以 a=1- x-2 ln x
x
.
令 h(x)=1- x-2 ln x
x
,则 h′(x)=-1
x2-1
x
+2-2ln x
x2 =1-x-2ln x
x2 ,
令 t(x)=1-x-2ln x,则 t′(x)=-1-2
x
=-x-2
x
,
因为 x∈(0,+∞),所以 t′(x)<0,所以 t(x)在(0,+∞)上是减函数,
又 t(1)=h′(1)=0,所以当 00;当 x>1 时,h′(x)<0.
所以 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以 h(x)max=h(1)=1>0,又 h
1
e =1-e<0,h(e2)=5-2e2
e2 <0,a>0,
所以当函数 g(x)有且仅有一个零点时,a=1.
(2)由(1)知,a=1,所以 g(x)=(x2-2x)ln x+x2-x,
易知,当 e-20,
g 4 =-16-m<0
时,g(x)图象与 x 轴有三个交点,
解得-160,则由 f′(x)=0,得 x=-ln a.
当 x∈(-∞,-ln a)时,f′(x)<0;
当 x∈(-ln a,+∞)时,f′(x)>0.
所以 f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
(2)(ⅰ)若 a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.
(ⅱ)若 a>0,由(1)知,当 x=-ln a 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(-ln a)=1-1
a
+ln
a.
①当 a=1 时,由于 f(-ln a)=0,
故 f(x)只有一个零点;
②当 a∈(1,+∞)时,由于 1-1
a
+ln a>0,
即 f(-ln a)>0,故 f(x)没有零点;
③当 a∈(0,1)时,1-1
a
+ln a<0,即 f(-ln a)<0.
又 f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,
故 f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点.
设正整数 n0 满足 n0>ln
3
a
-1
,
则 f(n0)=e 0n n0(ae 0n +a-2)-n0>e 0n -n0>2 0n -n0>0.
由于 ln
3
a
-1
>-ln a,
因此 f(x)在(-ln a,+∞)有一个零点.
综上,a 的取值范围为(0,1).
导数与不等式证明问题
[例 3] (2017·福建漳州质检)已知函数 f(x)=aex-bln x,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处
的切线方程为 y=
1
e
-1
x+1.
(1)求 a,b;
(2)证明:f(x)>0.
[解] (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=aex-b
x
,由题意得 f(1)=1
e
,f′(1)=1
e
-1,
所以
ae=1
e
,
ae-b=1
e
-1,
解得
a=1
e2,
b=1.
(2)由(1)知 f(x)=1
e2·ex-ln x.
因为 f′(x)=ex-2-1
x
在(0,+∞)上单调递增,又 f′(1)<0,f′(2)>0,
所以 f′(x)=0,在(0,+∞)上有唯一实根 x0,且 x0∈(1,2).
当 x∈(0,x0)时,f′(x)<0,当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,
从而当 x=x0 时,f(x)取极小值,也是最小值.
由 f′(x0)=0,得 0 2ex =1
x0
,则 x0-2=-ln x0.
故 f(x)≥f(x0)= 0 2ex -ln x0=1
x0
+x0-2>2 1
x0
·x0-2=0,所以 f(x)>0.
1.单变量不等式的证明
1 利用导数证明单变量的不等式的常见形式是 f x >g x .证明技巧:先将不等式
f x >g x 移项,即构造函数 h x =f x -g x ,转化为证不等式 h x >0,再次转
化为证明 h x min>0,因此,只需在所给的区间内,判断 h′ x 的符号,从而判断其单调性,
并求出函数 h x 的最小值,即可得证.
2 本例在求出函数的最小值 f x0 = 0 2ex -ln x0 后,证其大于零时,往往需用到
f′ x0 =0 的等式去转化,把 0 2ex -ln x0 转化为
x0
1 +x0-2,即可用基本不等式法判断其符
号.当遇到既含有指数式,又含有对数式的代数式需判断其符号时,常需应用这种技巧,把含有
指数式与对数式的代数式转化为不含有指数式与对数式的代数式,从而可轻松判断其符号.
2.双变量不等式的证明
破解含双参不等式的证明的关键:一是转化,即由已知条件入手,寻找双参所满足的关系式,
并把含双参的不等式转化为含单参的不等式;二是巧构造函数,再借用导数,判断函数的单调性,
从而求其最值;三是回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.
3.(2018 届高三·浙江十校联考)已知函数 f(x)=ln x-1
2
ax2+x,a∈R.
(1)当 a=0 时,求函数 f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程;
(2)令 g(x)=f(x)-(ax-1),求函数 g(x)的极值;
(3)若 a=-2,正实数 x1,x2 满足 f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥ 5-1
2
.
解:(1)当 a=0 时,f(x)=ln x+x,则 f(1)=1,所以切点为(1,1),
又 f′(x)=1
x
+1,则切线斜率 k=f′(1)=2,
故切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0.
(2)g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-1
2
ax2+(1-a)x+1,x>0,
则 g′(x)=1
x
-ax+(1-a)=-ax2+ 1-a x+1
x
(x>0).
当 a≤0 时,因为 x>0,所以 g′(x)>0,
所以 g(x)在(0,+∞)上是递增函数,函数 g(x)无极值;
当 a>0 时,g′(x)=-ax2+ 1-a x+1
x
=-a
x-1
a x+1
x
,
令 g′(x)=0 得 x=1
a
(负值舍去),所以当 x∈0,1
a
时,g′(x)>0;当 x∈
1
a
,+∞
时,g′(x)<0.
因此 g(x)在
0,1
a 上是增函数,在
1
a
,+∞
上是减函数.
所以当 x=1
a
时,g(x)有极大值 g
1
a =ln1
a
-a
2
×1
a2+(1-a)·1
a
+1= 1
2a
-ln a.
综上,当 a≤0 时,函数 g(x)无极值;
当 a>0 时,函数 g(x)有极大值 1
2a
-ln a,无极小值.
(3)证明:当 a=-2 时,f(x)=ln x+x2+x,x>0.
由 f(x1)+f(x2)+x1x2=0,
即 ln x1+x2
1+x1+ln x2+x2
2+x2+x1x2=0,
从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-ln(x1x2),
令 t=x1x2,则由φ(t)=t-ln t,
得φ′(t)=1-1
t
=t-1
t
,
易知φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,
所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1,
因为 x1>0,x2>0,所以 x1+x2≥ 5-1
2
成立.
[重难增分训练(一)]
1.已知 m,n∈(2,e),且1
n2-1
m2<lnm
n
,则( )
A.m>n B.m<n
C.m>2+1
n
D.m,n 的大小关系不确定
解析:选 A 由不等式可得1
n2-1
m2<ln m-ln n,即1
n2+ln n<1
m2+ln m.设 f(x)=1
x2+ln x(x
∈(2,e)),则 f′(x)=-2
x3+1
x
=x2-2
x3 .
因为 x∈(2,e),所以 f′(x)>0,故函数 f(x)在(2,e)上单调递增.因为 f(n)<f(m),所
以 n<m.故选 A.
2.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x),满足 f′(x)<f(x),且 f(x+2)为
偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<ex 的解集为________.
解析:因为 f(x+2)为偶函数,所以 f(x+2)的图象关于 x=0 对称,所以 f(x)的图象关于 x
=2 对称.所以 f(0)=f(4)=1.设 g(x)=f x
ex (x∈R),则 g′(x)=f′ x ex-f x ex
ex 2 =
f′ x -f x
ex .又 f′(x)<f(x),所以 g′(x)<0(x∈R),所以函数 g(x)在定义域上单调递
减.因为 f(x)<ex⇔f x
ex <1,而 g(0)=f 0
e0 =1,所以 f(x)<ex⇔g(x)<g(0),所以 x>0.
答案:(0,+∞)
3.(2017·广东汕头模拟)已知函数 f(x)=x+xln x,若 m∈Z,且 f(x)-m(x-1)>0 对任意
的 x>1 恒成立,则 m 的最大值为________.
解析:因为 f(x)=x+xln x,且 f(x)-m(x-1)>0 对任意的 x>1 恒成立,等价于 m1).
令 g(x)=x+xln x
x-1
(x>1),所以 g′(x)=x-2-ln x
x-1 2 .易知 g′(x)=0 必有实根,设为 x0(x0
-2-ln x0=0),且 g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,此时 g(x)min=g(x0)
=x0+x0ln x0
x0-1
=x0+x0 x0-2
x0-1
=x0,因此 m0,
故 30,函数 f(x)为增函数,当 x∈(-1,0)时,f′(x)=-ex·(x+1)<0,
函数 f(x)为减函数,所以函数 f(x)=|xex|在(-∞,0)上的最大值为 f(-1)=-(-1)e-1=1
e
,
要使方程 f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个不同的实数根,令 f(x)=m,则方程 m2+tm+1
=0 应有两个不同的实根,且一个根在
0,1
e 内,一个根在
1
e
,+∞
内,令 g(m)=m2+tm+1,因
为 g(0)=1>0,则只需 g
1
e <0,即
1
e 2+t
e
+1<0,解得 t<-e2+1
e
,
所 以 使 得 方 程 f2(x) + tf(x) + 1 = 0(t ∈ R) 有 四 个 不 同 的 实 数 根 的 t 的 取 值 范 围 为
-∞,-e2+1
e .
答案:
-∞,-e2+1
e
5.已知函数 f(x)=x-aln x+b,a,b 为实数.
(1)若曲线 x=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=2x+3,求 a,b 的值;
(2)若|f′(x)|<3
x2对∈[2,3]恒成立,求 a 的取值范围.
解:(1)由已知,得 f′(x)=1-a
x
,
且由题设得 f′(1)=2,f(1)=5,
从而,得 1-a=2 且 1+b=5,
解得 a=-1,b=4.
(2)根据题设得,命题等价于当 x∈[2,3]时,|1-a
x|<3
x2恒成立⇔|x-a|<3
x
恒成立⇔-3
x
e+2-1
e
.
解:(1)01 时,f′(x)=1
x
- a
x-1 2= x-1 2-ax
x x-1 2 =x2- a+2 x+1
x x-1 2 .
由 f′(x)=0 在
0,1
e 内有解.
令 g(x)=x2-(a+2)x+1=(x-α)(x-β),
不妨设 0<α<1
e
,则β>e,
所以 g(0)=1>0,g
1
e =1
e2-a+2
e
+1<0,
解得 a>e+1
e
-2.
故实数 a 的取值范围为
e+1
e
-2,+∞
.
(2)证明:由 f′(x)>0⇔0β,
由 f′(x)<0⇔αe),
则 h′(β)= 2
β
+1+ 1
β2>0,h(β)在(0,+∞)上单调递增,
所以 f(x2)-f(x1)≥h(β)>h(e)=2+e-1
e
.
10.(2017·四川雅安模拟)已知函数 f(x)=ln x-1
2
ax2(a∈R).
(1)若 f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线 2x+y+2=0 垂直,求实数 a 的值;
(2)求函数 f(x)的单调区间;
(3)讨论函数 f(x)在区间[1,e2]上零点的个数.
解:(1)f(x)=ln x-1
2
ax2 的定义域为(0,+∞),
f′(x)=1
x
-ax=1-ax2
x
,则 f′(2)=1-4a
2
.因为直线 2x+y+2=0 的斜率为-2,
所以(-2)×1-4a
2
=-1,解得 a=0.
(2)由(1)知 f′(x)=1-ax2
x
,x∈(0,+∞),
当 a≤0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当 a>0 时,由
f′ x >0,
x>0
得 00
得 x> a
a
,所以 f(x)在
0, a
a 上单调递增,在
a
a
,+∞
上单调递减.
综上所述:当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为
0, a
a ,单调递减区间为
a
a
,+∞
.
(3)由(2)可知,
(ⅰ)当 a<0 时,f(x)在[1,e2]上单调递增,
而 f(1)=-1
2
a>0,故 f(x)在[1,e2]上没有零点;
(ⅱ)当 a=0 时,f(x)在[1,e2]上单调递增,而 f(1)=-1
2
a=0,故 f(x)在[1,e2]上有一个
零点;
(ⅲ)当 a>0 时,①若 a
a
≤1,即 a≥1 时,f(x)在[1,e2]上单调递减,因为 f(1)=-1
2
a<0,
所以 f(x)在[1,e2]上没有零点.
②若 1< a
a
≤e2,即1
e4≤a<1 时,f(x)在
1, a
a 上单调递增,在
a
a
,e2
上单调递减,而 f(1)
=-1
2
a<0,f
a
a =-1
2
ln a-1
2
,f(e2)=2-1
2
ae4,
若 f
a
a =-1
2
ln a-1
2
<0,即 a>1
e
时,f(x)在[1,e2]上没有零点;
若 f
a
a =-1
2
ln a-1
2
=0,即 a=1
e
时,f(x)在[1,e2]上有一个零点;
若 f
a
a =-1
2
ln a-1
2
>0,即 a<1
e
时,由 f(e2)=2-1
2
ae4>0 得 a<4
e4,此时,f(x)在[1,e2]上
有一个零点;
由 f(e2)=2-1
2
ae4≤0 得 a≥4
e4,此时,f(x)在[1,e2]上有两个零点;
③若 a
a
≥e2,即 00,所以 f(x) 在[1,e2]上有一个零点.
综上所述:当 a<0 或 a>1
e
时,f(x)在[1,e2]上没有零点;当 0≤a<4
e4或 a=1
e
时,f(x)在[1,
e2]上有一个零点;当4
e4≤a<1
e
时,f(x)在[1,e2]上有两个零点.
专题验收评估 一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、
不等式
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1.(2017·山东高考)设函数 y= 4-x2的定义域为 A,函数 y=ln(1-x)的定义域为 B,则
A∩B=( )
A.(1,2) B.(1,2]
C.(-2,1) D.[-2,1)
解析:选 D 由题意可知 A={x|-2≤x≤2},B={x|x<1},故 A∩B={x|-2≤x<1}.
2.已知 a=0.20.3,b=log0.23,c=log0.24,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
解析:选 A 由指数函数和对数函数的图象和性质知 a>0,b<0,c<0,又对数函数 f(x)=log0.2x
在(0,+∞)上是单调递减的,所以 log0.23>log0.24,所以 a>b>c.
3.函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )
解析:选 A 依题意,得 f(-x)=ln(x2+1)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,即函数 f(x)
的图象关于 y 轴对称,故排除 C.因为函数 f(x)过定点(0,0),排除 B,D,应选 A.
4.(2017·南昌模拟)已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:选 C 由已知得 xy=9-(x+3y),即 3xy=27-3(x+3y)≤
x+3y
2 2,当且仅当 x=3y,
即 x=3,y=1 时取等号,令 x+3y=t,则 t>0,且 t2+12t-108≥0,得 t≥6,即 x+3y≥6.
5.若变量 x,y 满足约束条件
3x-y-1≥0,
3x+y-11≤0,
y≥2,
则 z=2x-y 的最小值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.4
解析:选 A 线性约束条件
3x-y-1≥0,
3x+y-11≤0,
y≥2
所构成的可行 域如
图所示是顶点为 A(2,5),B(1,2),C(3,2)的三角形的边界及其内部.故当目标函数 z=2x-y 经
过点 A 时,取到最小值 zmin=2×2-5=-1.
6.设 a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“a0,所以 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调
递增,故 f(x)min=f(1)=1
2
.对于二次函数 g(x)=-x2-2ax+4,易知该函数开口向下,所以其在
区间[1,2]上的最小值在端点处取得,即 g(x)min=min{g(1),g(2)}.要使对任意的 x1∈(0,2],
存在 x2∈[1,2],使得 f(x1)≥g(x2)成立,只需 f(x1)min≥g(x2)min,即1
2
≥g(1)或1
2
≥g(2),所以1
2
≥
-1-2a+4 或1
2
≥-4-4a+4,解得 a≥-1
8
.
10.若平面直角坐标系内的 A,B 两点满足:①点 A,B 都在 f(x)的图象上;②点 A,B 关于
原点对称,则称点对(A,B)是函数 f(x)的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与(B,A)可看作同一个
“姊妹点对”).已知函数 f(x)=
x2+2x,x<0,
2
ex,x≥0, 则 f(x)的“姊妹点对”的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:选 B 设 P(x,y)(x<0),则点 P 关于原点的对称点为 P′(-x,-y),由 2
e-x=-(x2
+2x),化简整理得 2ex+x2+2x=0.由 x2+2x<0,解得-20(x≥0),所以只需考虑 x
∈(-2,0)即可.令φ(x)=2ex+x2+2x,求导得,φ′(x)=2ex+2x+2,令 g(x)=2ex+2x+2,
则 g′(x)=2ex+2>0,所以φ′(x)在区间(-2,0)上单调递增,而φ′(-2)=2e-2-4+2=2(e
-2-1)<0,φ′(-1)=2e-1>0,所以φ(x)在区间(-2,0)上只存在一个极值点 x0(x0∈(-2,-1)),
而φ(-2)=2e-2>0,φ(-1)=2e-1-1<0,φ(0)=2>0,所以函数φ(x)在区间(-2,-1),(-
1,0)上各有一个零点,即函数 f(x)有 2 个“姊妹点对”.
二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分,把答案填在题
中横线上)
11.已知全集为 R,集合 A={x|x2-2x>0},B={x|1<x<3},则 A∩B=________;A∪B=
________;∁ RA=________.
解析:因为 A={x|x2-2x>0}={x|x<0 或 x>2},B={x|1<x<3},A∩B=(2,3),A∪B=
(-∞,0)∪(1,+∞),∁ RA=[0,2].
答案:(2,3) (-∞,0)∪(1,+∞) [0,2]
12.已知 f(x)=
-log3 x,x≥0,
x2-2x,x<0,
f(1)=________,f(f(3))=________.
解析:依题意,f(1)=-log31=0,f(3)=-log33=-1,故 f(f(3))=f(-1)=3.
答案:0 3
13.(2017·嘉兴模拟)若实数 a,b 满足 ab-4a-b+1=0(a>1),则(a+1)(b+2)的最小值
为________,这时 a=________.
解析:因为 ab-4a-b+1=0,所以 b=4a-1
a-1
,又 a>1,所以 b>0,所以(a+1)(b+2)=ab
+2a+b+2=6a+2b+1=6a+8+ 6
a-1
+1=6(a-1)+ 6
a-1
+15,因为 a-1>0,所以 6(a-1)+
6
a-1
+15≥2 6 a-1× 6
a-1
+15=27,当且仅当 6(a-1)= 6
a-1
(a>1),即 a=2 时等号成立,
故(a+1)(b+2)的最小值是 27.
答案:27 2
14.若关于 x 的不等式|x+a|0,即Δ=4m2-12(m+6)>0,所以 m2-3m
-18>0,解得 m>6 或 m<-3.
答案:(-∞,-3)∪(6,+∞)
16.设变量 x,y 满足约束条件
x≥0,
y≥3x,
x+ay≤7,
其中 a>1,若目标函数 z=x+y 的最大值为 4,
则 a 的值为________.
解析:根据题意作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分
所示.令 y=-x+z,则 z 的几何意义是直线 y=-x+z 的纵截距,
故欲使 z 最大,只需使直线 y=-x+z 的纵截距最大即可.因为 a>1,
所以直线 x+ay=7 的斜率大于-1,故当直线 y=-x+z 经过直线
y=3x 与直线 x+ay=7 的交点
7
1+3a
, 21
1+3a 时,目标函数 z 取得
最大值,最大值为 28
1+3a
.由题意得 28
1+3a
=4,解得 a=2.
答案:2
17.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表:
x -1 0 2 4 5
f(x) 1 2 1.5 2 1
f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示.
下列关于函数 f(x)的命题:
①函数 f(x)的值域为[1,2];
②函数 f(x)在[0,2]上是减函数;
③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4;
④当 10,函数单调递增,
当 00,
且 h(3e)=2ln(3e)+1- a
3e
≥2ln(3e)+1-
3e+ 2e
ln 3e
3e
=2
ln 3e- 1
3 ln 3e >0.
又 h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数 h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为 x0,
则 10;当 x∈(x0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,
即 f(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.所以要使 f(x)≤4e2
对 x∈(1,3e]恒成立,只要
f x0 = x0-a 2ln x0≤4e2, ⅰ
f 3e = 3e-a 2ln 3e≤ 4e2 ⅱ
成立.
由 h(x0)=2ln x0+1-a
x0
=0,知
a=2x0ln x0+x0. (ⅲ)
将(ⅲ)代入(ⅰ)得 4x2
0ln3x0≤4e2.又 x0>1,注意到函数 x2ln3x 在[1,+∞)内单调递增,故
1x2≥2,
f(x1)-f(x2)=1
x1
+bx1+c-
1
x2
+bx2+c
= x1-x2 bx1x2-1
x1x2
.
∵x1>x2≥2,∴x1-x2>0,x1x2>0,
因为函数 f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数,故恒有 f(x1)>f(x2),从而恒有 bx1x2-1>0,
即恒有 b> 1
x1x2
,当 x1>x2≥2 时,x1x2>4,∴ 1
x1x2
<1
4
,∴b≥1
4
.
故实数 b 的取值范围为
1
4
,+∞
.
(2)当 n=2 时 f(x)=x2+bx+c,
对任意 x1,x2∈[-1,1]有|f(x1)-f(x2)|≤4 恒成立等价于 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小
值之差 M≤4.
当-b
2
<-1,即 b>2 时,f(x)在 x∈[-1,1]上单调递增,所以 f(x)min=f(-1)=1-b+c,
f(x)max=f(1)=1+b+c,所以 M=2b>4,与题设矛盾;
当-1≤-b
2
≤0,即 0≤b≤2 时,f(x)在 x∈-1,-b
2
上单调递减,在 x∈
-b
2
,1
上单调递
增,所以 f(x)min=f
-b
2 =-b2
4
+c,f(x)max=f(1)=1+b+c,
所以 M=
b
2
+1 2≤4 恒成立,所以 0≤b≤2;
当 0<-b
2
≤1,即-2≤b<0 时,f(x)在 x∈
-1,-b
2 上单调递减,在 x∈
-b
2
,1
上单调递
增,所以 f(x)min=f
-b
2 =-b2
4
+c,f(x)max=f(-1)=1-b+c,所以 M=
b
2
-1 2≤4 恒成立,
所以-2≤b<0;
当-b
2
>1,即 b<-2 时,f(x)在 x∈[-1,1]上单调递减,
所以 f(x)min=f(1)=1+b+c,f(x)max=f(-1)=1-b+c,所以 M=-2b>4,与题设矛盾.
综上所述,实数 b 的取值范围是[-2,2].
22.(本小题满分 15 分)已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax3-2bx-a+b.
(1)证明:当 0≤x≤1 时,
①函数 f(x)的最大值为|2a-b|+a;
②f(x)+|2a-b|+a≥0.
(2)若-1≤f(x)≤1 对 x∈[0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.
解:(1)证明:①f′(x)=12ax2-2b=12a
x2- b
6a ,
当 b≤0 时,有 f′(x)≥0,此时 f(x)在[0,+∞)上单调递增,
当 b>0 时,f′(x)=12a
x+ b
6a
x- b
6a ,此时 f(x)在
0, b
6a 上单调递减,在
b
6a
,+∞
上单调递增,所以当 0≤x≤1 时,
f(x)max=max{f(0),f(1)}=max{-a+b,3a-b}=
3a-b,b≤2a,
-a+b,b>2a
=|2a-b|+a.
②由于 0≤x≤1,故
当 b≤2a 时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a(2x3-
2x+1),
当 b>2a 时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)-2a>4ax3+4a(1-x)-2a=
2a(2x3-2x+1);
设 g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,
则 g′(x)=6x2-2=6
x- 3
3
x+ 3
3 ,
当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如表所示:
x 0 0, 3
3
3
3
3
3
,1 1
g′(x) - 0 +
g(x) 1 极小值 1
所以,g(x)min=g
3
3 =1-4 3
9
>0,
所以,当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0,
故 f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x3-2x+1)≥0.
(2)由①知,当 0≤x≤1 时,f(x)max=|2a-b|+a,所以|2a-b|+a≤1,
若|2a-b|+a≤1,则由②知f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1,所以-1≤f(x)≤1对任意0≤x≤1
恒成立的充要条件是
|2a-b|+a≤1,
a>0,
即
2a-b≥0,
3a-b≤1,
a>0,
或
2a-b<0,
b-a≤1,
a>0.
在直角坐标系 aOb 中,所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段 BC.
作一组平行直线 a+b=t(t∈R),得-1
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