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  • 2021-06-12 发布

高考数学二轮专题复习第一部分专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式讲义

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专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 第一讲 集合与常用逻辑用语 考点一 集合的概念及运算 一、基础知识要记牢 1.集合中元素的特性 集合元素具有确定性、互异性和无序性.解题时要特别注意集合元素互异性的应用. 2.运算性质及重要结论 如(1)A∪A=A,A∪∅ =A,A∪B=B∪A; (2)A∩A=A,A∩∅ =∅ ,A∩B=B∩A; (3)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A 等. 二、经典例题领悟好 [例 1] (1)(2017·浙江高考)已知集合 P={x|-1y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 [解析] (1)设复数 z=a+bi(a,b∈R),对于 p1,∵1 z = 1 a+bi =a-bi a2+b2∈R,∴b=0,∴z∈R, ∴p1 是真命题; 对于 p2,∵z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi∈R,∴ab=0,∴a=0 或 b=0,∴p2 不是真命题; 对于 p3,设 z1=x+yi(x,y∈R),z2=c+di(c,d∈R),则 z1z2=(x+yi)(c+di)=cx-dy +(dx+cy)i∈R, ∴dx+cy=0,取 z1=1+2i,z2=-1+2i,z1≠ z 2, ∴p3 不是真命题; 对于 p4,∵z=a+bi∈R,∴b=0,∴ z =a-bi=a∈R, ∴p4 是真命题. (2)对于 A,其逆命题是:若 x>|y|,则 x>y,是真命题,这是因为 x>|y|≥y,必有 x>y;对 于 B,其否命题是:若 x≤1,则 x2≤1,是假命题.如 x=-5,x2=25>1;对于 C,其否命题是: 若 x≠1,则 x2+x-2≠0,由于 x=-2 时,x2+x-2=0,所以原命题的否命题是假命题;对于 D, 若 x2>0,则 x>0 或 x<0,不一定有 x>1,因此原命题与它的逆否命题都是假命题.故选 A. [答案] (1)B (2)A 1 在判定四个命题之间的关系时,首先要分清命题的“大前提、条件、结论”,再进行 比较. 2 判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例. 3 根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质,当一个命题的真假不易判定时,可 转化为判断其等价命题的真假. 三、预测押题不能少 2.(1)命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( ) A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 解析:选 C 命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定,因此“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数. (2)有下列四个命题: ①若“xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若 m≤1,则 x2-2x+m=0 有实数解”的逆否命题; ④“若 A∩B=B,则 A⊆B”的逆否命题. 其中真命题为( ) A.①② B.②③ C.④ D.①②③ 解析:选 D ①的逆命题:“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”是真命题;②的否命题:“面积 不相等的三角形不是全等三角形”是真命题;③的逆否命题:“若 x2-2x+m=0 没有实数解,则 m>1”是真命题;命题④是假命题,所以它的逆否命题也是假命题,如 A={1,2,3,4,5},B={4,5}, 显然 A⊆B 是错误的.故选 D. 考点三 充要条件 一、基础知识要记牢 对于 p 和 q 两个命题,若 p⇒q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p⇔q,则 p 和 q 互为充要条件.推出符号“⇒”具有传递性,等价符号“⇔”具有双向传递性. 二、经典例题领悟好 [例 3] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4 +S6>2S5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)设 A= x|x-1 x+1 <0 ,B={x||x-b|<a},若“a=1”是“A∩B≠∅ ”的充分条件,则 实数 b 的取值范围是________. [解析] (1)因为{an}为等差数列,所以 S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d,2S5=10a1+ 20d,S4+S6-2S5=d,所以 d>0⇔S4+S6>2S5,所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件. (2)A={x|-1<x<1},当 a=1 时,B={x|b-1<x<b+1},若“a=1”是“A∩B≠∅ ”的 充分条件,则有-1≤b-1<1 或-1<b+1≤1,所以 b∈(-2,2). [答案] (1)C (2)(-2,2) 判定充分、必要条件时的关注点 (1)要弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B;而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A. 2 要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行,那么可以 尝试通过举出恰当的反例来说明. 三、预测押题不能少 3.(1)“10a>10b”是“lg a>lg b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B 由 10a>10b 得 a>b,由 lg a>lg b 得 a>b>0,所以“10a>10b”是“lg a>lg b”的 必要不充分条件. (2)设 p:实数 x,y 满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数 x,y 满足 y≥x-1, y≥1-x, y≤1, 则 p 是 q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A p 表示以点(1,1)为圆心, 2为半径的圆面(含边界), 如 图所示.q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界). 由图可知,p 是 q 的必要不充分条件.故选 A. [知能专练(一)] 一、选择题 1.(2017·北京高考)若集合 A={x|-23},则 A∩B=( ) A.{x|-21 或 x<-3,q:x>a,若 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的 取值范围是( ) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-3,+∞) D.(-∞,-3] 解析:选 A 设 P={x|x>1 或 x<-3},Q={x|x>a},因为 q 是 p 的充分不必要条件,所以 Q P, 因此 a≥1. 5.(2016·全国卷Ⅱ)已知集合 A={1,2,3},B={x|(x+1)·(x-2)<0,x∈Z},则 A∪B= ( ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 解析:选 C 因为 B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-11} 解析:选 A 由题意知,集合 A={x|0≤x≤1}, ∴B={y|1≤y≤2},∁ RA={x|x<0 或 x>1}, ∴(∁ RA)∩B={x|10,即抛物线的开口可以向上,因此否命题也是假命题.故选 D. 二、填空题 11.已知集合 U={1,2,3,4,5,6},S={1,3,5},T={2,3,6},则 S∩(∁ UT)=________,集 合 S 共有________个子集. 解析:由题意可得∁ UT={1,4,5},则 S∩(∁ UT)={1,5}.集合 S 的子集有∅ ,{1},{3},{5}, {1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5},共 8 个. 答案:{1,5} 8 12.(2017·南通模拟)给出下列三个命题: ①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件; ②“α>β”是“cos αb”是“3a>3b”的充要条件,①错误;“α>β”是“cos α2}, N={y|y= x-1+1}={y|y≥1}, ∁ RM={x|0≤x≤2},∁ RN={y|y<1}, ∴N∩(∁ RM)={x|1≤x≤2},M∪(∁ RN)={x|x<1 或 x>2}. 答案:{x|1≤x≤2} {x|x<1 或 x>2} 14.若“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件,则实数 p 的取值范围是________. 解析:由 x2-x-2>0,得 x>2 或 x<-1. 由 4x+p<0 得 x<-p 4 . 故-p 4 ≤-1 时,“x<-p 4 ”⇒“x<-1”⇒“x2-x-2>0”. ∴p≥4 时,“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件. 答案:[4,+∞) 15.(2017·诸暨质检)已知 A={x|-2≤x≤0},B={x|x2-x-2≤0},则 A∪B=________, (∁ RA)∩B=________. 解析:∵A={x|-2≤x≤0},∴∁ RA={x|x<-2 或 x>0},又 B={x|x2-x-2≤0}={x|- 1≤x≤2},∴A∪B={x|-2≤x≤2},∴(∁ RA)∩B={x|05 2 ,解得 a>1 2 . 即实数 a 的取值范围是 1 2 ,+∞ . 答案: 1 2 ,+∞ 第二讲 函数的概念与性质 考点一 函数及其表示 一、基础知识要记牢 (1)函数初、高中定义形式不同,本质一样,核心是对应; (2)当两个函数的三要素完全相同时表示同一个函数; (3)分段函数是一个函数而不是几个函数,离开定义域讨论分段函数是毫无意义的. 二、经典例题领悟好 [例 1] (1)(2015·浙江高考)存在函数 f(x)满足:对于任意 x∈R 都有( ) A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1| (2)(2017·嘉兴模拟)设函数 f(x)= x2+2x+2,x≤0, -x2,x>0. 若 f(f(a))=2,则 a=________. (3)(2016·江苏高考)函数 y= 3-2x-x2的定义域是________. [解析] (1)取 x=0,π 2 ,可得 f(0)=0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项 A 错误;取 x=0, π,可得 f(0)=0,π2+π,这与函数的定义矛盾,所以选项 B 错误;取 x=1,-1,可得 f(2) =2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项 C 错误;取 f(x)= x+1,则对任意 x∈R 都有 f(x2+ 2x)= x2+2x+1=|x+1|,故选项 D 正确. (2)当 a≤0 时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无 解.当 a>0 时,f(a)=-a2<0,由 f(f(a))=a4-2a2+2=2,解得 a= 2. (3)要使函数有意义,需 3-2x-x2≥0,即 x2+2x-3≤0,得(x-1)(x+3)≤0,即-3≤x≤1, 故所求函数的定义域为[-3,1]. [答案] (1)D (2) 2 (3)[-3,1] 1.理解函数概念的要点 函数概念本质是对应,以具体函数模型为基础,在新背景、综合背景下理解. 2.求函数定义域的类型和相应方法 1 若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围, 只需构建并解不等式 组 即可; 2 实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义., 3.求函数值时应注意的问题 分段函数的求值 解不等式 问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解;对具有周期 性的函数求值要利用好其周期性. 三、预测押题不能少 1.(1)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 09 解析:选 C 由题意,不妨设 g(x)=x3+ax2+bx+c-m,m∈(0,3],则 g(x)的三个零点分别 为 x1=-3,x2=-2,x3=-1,因此有(x+1)(x+2)(x+3)=x3+ax2+bx+c-m,则 c-m=6, 因此 c=m+6∈(6,9]. (2)已知函数 f(x)= 2x3,x<0, -tan x,0≤x<π 2 , 则 f f π 4 =________. 解析:∵f π 4 =-tan π 4 =-1, ∴f f π 4 =f(-1)=2×(-1)3=-2. 答案:-2 考点二 函数的图象 一、基础知识要记牢 函数的图象包括作图、识图、用图,其中作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图 象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.正确作图是解题的基本保障,识图、 用图是解题的手段和目标. 二、经典例题领悟好 [例 2] (1)(2016·浙江高考)函数 y=sin x2 的图象是( ) (2)函数 f(x)的图象是如图所示的折线段 OAB,其中 A(1,2), B(3,0),函数 g(x)=xf(x),那么函数 g(x)值域为( ) A.[0,2] B. 0,9 4 C. 0,3 2 D.[0,4] [解析] (1)∵y=sin(-x)2=sin x2,∴函数为偶函数,可排除 A 项和 C 项;当 x=± π 2 时,y=sin x2=1,而 π 2 <π 2 ,且 y=sinπ2 4 <1,故 D 项正确. (2)由题图可知直线 OA 的方程是 y=2x; 而 kAB=0-2 3-1 =-1, 所以直线 AB 的方程为 y=-(x-3)=-x+3. 由题意,知 f(x)= 2x,0≤x≤1, -x+3,1b)的图象如图所示,则函数 g(x)=ax+b 的大致图象是( ) 解析:选 A 由二次函数的图象可知 b<-1,00, 不等式 f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则 实数 a 的取值范围是________. 解析:作出函数 f(x)的图象如图所示,易知函数 f(x)在 R 上为单调 递减函数,所以不等式 f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立等价于 x +a<2a-x,即 x0 时, f(x) =x2+1 x ,则 f(-1)=( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 解析:选 A f(-1)=-f(1)=-2. 2.(2017·大连测试)下列函数中,与函数 y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性 也相同的是( ) A.y=-1 x B.y=log2|x| C.y=1-x2 D.y=x3-1 解析:选 C 函数 y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项 B 的函数是偶函数,但 其单调性不符合,只有选项 C 符合要求. 3.(2016·全国卷Ⅰ)函数 y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( ) 解析:选 D f(2)=8-e2>8-2.82>0,排除 A;f(2)=8-e2<8-2.72<1,排除 B;x>0 时,f(x)=2x2-ex,f′(x)=4x-ex,当 x∈ 0,1 4 时,f′(x)<1 4 ×4-e0=0,因此 f(x)在 0,1 4 单调递减,排除 C.故选 D. 4.(2017·天津高考)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数,g(x)=xf(x).若 a=g(-log25.1), b=g(20.8),c=g(3),则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a0 时,f(x)>0,所以 g(x)在(0,+∞)上单调递增,且 g(x)>0.又 a=g(-log25.1) =g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),20.8<2=log241, 4-a 2 x+2,x≤1 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8) 解析:选 B 由题意可知函数 f(x)在(-∞,1]和(1,+∞)上都为增函数,且 f(x)的图象在 (-∞,1]上的最高点不高于其在(1,+∞)上的最低点, 即 a>1, 4-a 2 >0, a≥4-a 2 +2, 解得 a∈[4,8). 6.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同根函数”,给出四个函数: f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log22x,则“同根函数”是( ) A.f2(x)与 f4(x) B.f1(x)与 f3(x) C.f1(x)与 f4(x) D.f3(x)与 f4(x) 解析:选 A f4(x)=log22x=1+log2x,f2(x)=log2(x+2),将 f2(x)的图象沿着 x 轴先向右 平移 2 个单位得到 y=log2x 的图象,然后再沿着 y 轴向上平移 1 个单位可得到 f4(x)的图象,根 据“同根函数”的定义可知选 A. 7.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=2-f(x),若函数 y=x+1 x 与 y=f(x) 图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则错误!(xi+yi)=( ) A.0 B.m C.2m D.4m 解 析 : 选 B 因 为 f( - x) = 2 - f(x) , 所 以 f( - x) + f(x) = 2. 因 为 -x+x 2 = 0 , f -x +f x 2 =1,所以函数 y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.函数 y=x+1 x =1+1 x ,故其 图象也关于点(0,1)对称.所以函数 y=x+1 x 与 y=f(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm, ym)成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称,所以 错误!i=0,错误!i=2×m 2 =m,所以错误!(xi+ yi)=m. 二、填空题 8.若函数 f(x)= x2+2x+1,x>0, a,x=0, g 2x ,x<0 为奇函数,则 a=________,f(g(-2))=________. 解析:由函数 f(x)是 R 上的奇函数可得 f(0)=a=0.因为 g(-2)=f(-1)=-f(1)=-4, 所以 f(g(-2))=f(-4)=-f(4)=-25. 答案:0 -25 9.(2016·四川高考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x) =4x,则 f -5 2 +f(1)=________. 解析:∵f(x)为奇函数,周期为 2, ∴f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),∴f(1)=0. ∵f(x)=4x,x∈(0,1), ∴f -5 2 =f -5 2 +2 =f -1 2 =-f 1 2 =-4 1 2 =-2.∴f -5 2 +f(1)=-2. 答案:-2 10.(2016·江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1)上,f(x)= x+a,-1≤x<0, |2 5 -x|,0≤x<1, 其中 a∈R.若 f -5 2 =f 9 2 ,则 f(5a)的值是________. 解析:因为函数 f(x)的周期为 2,结合在[-1,1)上 f(x)的解析式,得 f -5 2 =f -2-1 2 = f -1 2 =-1 2 +a,f 9 2 =f 4+1 2 =f 1 2 =|2 5 -1 2|= 1 10 .由 f -5 2 =f 9 2 ,得-1 2 +a= 1 10 ,解得 a =3 5 .所以 f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+3 5 =-2 5 . 答案:-2 5 11.已知函数 f(x)= x+1 |x|+1 ,x∈R,则不等式 f(x2-2x)<f(3x-4)的解集为________. 解析:当 x≥0 时,f(x)=x+1 x+1 =1,当 x<0 时,f(x)=x+1 1-x =-1- 2 x-1 , 作出 f(x)的图象,如图所示. 可 得 f(x) 在 ( - ∞ , 0) 上 递 增 , 不 等 式 f(x2 - 2x) < f(3x - 4) 即 为 3x-4≥0, x2-2x<0 或 3x-4<0, x2-2x<0, x2-2x<3x-4, 即有 x≥4 3 , 07,∴函数 F(x)的值域为(7,+ ∞). (3)依题意得当 x∈[2,6]时,x2+3≥mx+m+4 恒成立,即 x2-mx-m-1≥0 对 x∈[2,6]恒成 立. 设 p(x)=x2-mx-m-1,则 m 2 <2, p 2≥ 0 或 m 2 >6, p 6≥ 0 或Δ=m2+4m+4≤0, 即 m<4, m≤1 或 m>12, m≤5 或 m=-2,得 m≤1. 综上可知,实数 m 的取值范围是(-∞,1]. 14.设 a>0,b∈R,函数 f(x)=a x -2bx+b(02a 时,f(x)+|2a-b|=a x +2b(1-x)-2a ≥a x +4a(1-x)-2a=a 1 x -4x+2 . 由1 x -4x+2≥0,解得1- 5 4 ≤x≤1+ 5 4 , 又因为1+ 5 4 <1,所以 m 的最大值为1+ 5 4 . 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 考点一 基本初等函数的图象与性质 一、基础知识要记牢 指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分 01 两种情况,当 a>1 时,两函数在定义域内都为增函数,当 00 知,函 数在 y 轴右侧的图象是有限的,排除 A;选项 C 中,由直线可以看出 b>0,由 1+bx>0 知,函数 在 y 轴左侧的图象是有限的,排除 C,故选 B. (2)a=log36=log33+log32=1+log32, b=log510=log55+log52=1+log52, c=log714=log77+log72=1+log72, ∵log32>log52>log72,∴a>b>c. [答案] (1)B (2)D 1 基本初等函数的图象是其性质的直观载体,要结合图象理解性质;图象变换要以基本 函数图象为基础,结合性质等判断、应用. 2 比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法:一是根据同类函数的单调 性进行比较;二是采用中间值 0 或 1 等进行比较;三是将对数式转化为指数式,或将指数式转化 为对数式,通过转化进行比较. 三、预测押题不能少 1.(1)函数 y=x-x 1 3 的图象大致为( ) 解析:选 A 函数 y=x-x 1 3 为奇函数.当 x>0 时,由 x-x 1 3 >0,即 x3>x,可得 x2>1,故 x>1, 结合选项,选 A. (2)已知 a=2 4 3 ,b=4 2 5 ,c=25 1 3 ,则( ) A.b0, Δ<0 时,恒有 f(x)>0;当 a<0, Δ<0 时,恒有 f(x)<0. 二、经典例题领悟好 [例 2] (1)(2017·浙江高考)若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值 是 m,则 M-m( ) A.与 a 有关,且与 b 有关 B.与 a 有关,但与 b 无关 C.与 a 无关,且与 b 无关 D.与 a 无关,但与 b 有关 (2)若二次函数 f(x)满足 f(3)=f(-1)=-5,且 f(x)的最大值是 3,则函数 f(x)的解析式 为________. (3)若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间 π 6 ,π 2 上是减函数,则 a 的取值范围是________. [解析] (1)f(x)= x+a 2 2-a2 4 +b, ①当 0≤-a 2 ≤1 时,f(x)min=m=f -a 2 =-a2 4 +b,f(x)max=M=max{f(0),f(1)}=max{b,1 +a+b}, ∴M-m=max a2 4 ,1+a+a2 4 与 a 有关,与 b 无关; ②当-a 2 <0 时,f(x)在[0,1]上单调递增, ∴M-m=f(1)-f(0)=1+a 与 a 有关,与 b 无关; ③当-a 2 >1 时,f(x)在[0,1]上单调递减, ∴M-m=f(0)-f(1)=-1-a 与 a 有关,与 b 无关. 综上所述,M-m 与 a 有关,但与 b 无关. (2)法一:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依题意得 9a+3b+c=-5, a-b+c=-5, 4ac-b2 4a =3, 解得 a=-2, b=4, c=1, 所以二次函数的解析式为 f(x)=-2x2+4x+1. 法二:设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),因为 f(3)=f(-1), 所以抛物线的对称轴为 x=3+ -1 2 =1,则 m=1. 又 f(x)的最大值是 3,则 a<0,n=3,即 f(x)=a(x-1)2+3, 由 f(3)=-5 得 4a+3=-5,则 a=-2, 所以二次函数的解析式为 f(x)=-2(x-1)2+3=-2x2+4x+1. 法三:设 f(x)+5=a(x-3)(x+1)(a≠0), 即 f(x)=ax2-2ax-3a-5=a(x-1)2-4a-5, 又 f(x)的最大值是 3, 则 a<0,且-4a-5=3,所以 a=-2, 所以二次函数的解析式为 f(x)=-2x2+4x+1. (3)f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x, 令 t=sin x,x∈ π 6 ,π 2 , 则 t∈ 1 2 ,1 ,原函数化为 y=-2t2+at+1, 由题意及复合函数单调性的判定可知 y=-2t2+at+1 在 1 2 ,1 上是减函数,结合二次函数 图象可知,a 4 ≤1 2 ,所以 a≤2. 答案:(1)B (2)f(x)=-2x2+4x+1 (3)(-∞,2] 解决有关二次函数两类综合问题的思想方法 (1)含有参数的二次函数与不等式的综合问题注意分类讨论思想、函数与方程思想的运用. (2)二次函数的最值问题,通常采用配方法,将二次函数化为 y=a(x-m)2+n(a≠0)的形式, 得其图象顶点(m,n)或对称轴方程 x=m,分三种情况: ①顶点固定,区间固定; ②顶点含参数,区间固定; ③顶点固定,区间变动. 三、预测押题不能少 2.(1)若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈ 0,1 2 成立,则 a 的最小值是( ) A.0 B.2 C.-5 2 D.-3 解析:选 C 设 f(x)=x2+ax+1,其图象开口向上,对称轴为直线 x=-a 2 .当-a 2 ≥1 2 ,即 a≤ -1 时,f(x)在 0,1 2 上是减函数,应有 f 1 2 ≥0⇒a≥-5 2 ,∴-5 2 ≤a≤-1.当-a 2 ≤0,即 a≥0 时,f(x)在 0,1 2 上是增函数,应有 f(0)=1≥0,恒成立,故 a≥0.当 0<-a 2 <1 2 ,即-10)图象上一动点.若点 P, A 之间的最短距离为 2 2,则满足条件的实数 a 的所有值为________. 解析:设 P x,1 x ,则|PA|2=(x-a)2+ 1 x -a 2= x+1 x 2-2a x+1 x +2a2-2, 令 t=x+1 x ,则 t≥2(x>0,当且仅当 x=1 时取“=”),则|PA|2=t2-2at+2a2-2. ①当 a≤2 时,(|PA|2)min=22-2a×2+2a2-2=2a2-4a+2, 由题意知,2a2-4a+2=8, 解得 a=-1 或 a=3(舍). ②当 a>2 时,(|PA|2)min=a2-2a×a+2a2-2=a2-2. 由题意知,a2-2=8,解得 a= 10或 a=- 10(舍), 综上知,a=-1, 10. 答案:-1, 10 考点三 函数的零点 一、基础知识要记牢 确定函数零点的常用方法 (1)解方程判定法,方程易解时用此法; (2)利用零点存在的判定定理; (3)利用数形结合,尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解. 二、经典例题领悟好 [例 3] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则 a= ( ) A.-1 2 B.1 3 C.1 2 D.1 (2)(2018 届高三·温州六校联考)函数 f(x)=3-x+x2-4 的零点个数是________. [解析] (1)法一:由 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得 f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2 -x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),所以 f(2-x)=f(x), 即 x=1 为 f(x)图象的对称轴.由题意,f(x)有唯一零点,所以 f(x)的零点只能为 x=1,即 f(1) =12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得 a=1 2 . 法二:由 f(x)=0⇔a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x.ex-1+e-x+1≥2 ex-1·e-x+1=2,当且仅当 x=1 时取“=”. -x2+2x=-(x-1)2+1≤1,当且仅当 x=1 时取“=”. 若 a>0,则 a(ex-1+e-x+1)≥2a, 要使 f(x)有唯一零点,则必有 2a=1,即 a=1 2 . 若 a≤0,则 f(x)的零点不唯一. 综上所述,a=1 2 . (2)令 f(x)=0,则 x2-4=- 1 3 x,分别作出函数 g(x)=x2 - 4 , h(x)=- 1 3 x 的图象,由图可知,显然 h(x)与 g(x)的图象有 2 个 交 点,故函数 f(x)的零点个数为 2. [答案] (1)C (2)2 函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴的交点是一类问题的不同表述,数形结合法是解决 函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法.在解决函数零点问题时, 既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算, 把数与形紧密结合起来. 三、预测押题不能少 3.已知函数 f(x)= x2+ 4a-3 x+3a,x<0, loga x+1 +1,x≥0 (a>0,且 a≠1)在 R 上单调递减,且关 于 x 的方程|f(x)|=2-x 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是( ) A. 0,2 3 B. 2 3 ,3 4 C. 1 3 ,2 3 ∪ 3 4 D. 1 3 ,2 3 ∪ 3 4 解析:选 C 由 y=loga(x+1)+1 在[0,+∞)上递减,得 0<a<1. 又由 f(x)在 R 上单调递减, 则 02+ 4a-3· 0+3a≥1, 3-4a 2 ≥0 ⇒1 3 ≤a≤3 4 . 如图所示,在同一坐标系中作出函数 y=|f(x)|和 y=2-x 的图象. 由图象可知,在[0,+∞)上|f(x)|=2-x 有且仅有一个解,故在(-∞,0)上|f(x)|=2-x 同样有且仅有一个解. 当 3a>2,即 a>2 3 时,由 x2+(4a-3)x+3a=2-x(其中 x<0),得 x2+(4a-2)x+3a-2= 0(其中 x<0),则Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0, 解得 a=3 4 或 a=1(舍去); 当 1≤3a≤2,即1 3 ≤a≤2 3 时,由图象可知,符合条件. 综上所述,a∈ 1 3 ,2 3 ∪ 3 4 .故选 C. 考点四 函数的实际应用 一、经典例题领悟好 [例 4] 为了保护环境,减少排污量,某旅游点有 50 辆自行车供租赁使用,管理这些自行车 的费用是每日 115 元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出; 若超过 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就增加 3 辆.设每辆自行车的日租金为 x(3≤x≤20, x∈N*)(单位:元),用 y(单位:元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入减去 管理费用). (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使日净收入最多? [解] (1)当 3≤x≤6,x∈N*时,y=50x-115. 当 6f(12), ∴当 x=11 时,ymax=-3×1 9 +811 3 =270. 又 270>185,∴当每辆自行车的日租金定为 11 元时,才能使日净收入最多. 解决函数实际应用题的关键有两点:一是明确问题的实际背景,认真审题,确切理解题意, 然后抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题;二是要合理选取参变量,设定变量之后,就 要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终 求解数学模型使实际问题获解.重点关注分段函数背景下的应用问题. 二、预测押题不能少 4.如图,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下液体(滴 管内液体忽略不计),设输液开始后 x min,瓶内液面与进气管的距离为 h cm,已知当 x=0 时, h=13.如果瓶内的药液恰好 156 min 滴完,则函数 h=f(x)的图象为( ) 解析:选 A 瓶内的液体的体积 V=π×42×9+π×22×3=156 π cm3,因为 156 min 滴完, 所以每分钟滴下π cm3 药液,当 4≤h≤13 时,xπ=π×42×(13-h),即 h=13- x 16 ,此时 0≤x≤144;当 1≤h<4 时,xπ=π×42×9+π×22×(4-h),即 h=40-x 4 ,此时 1440 且 a≠1)在 R 上是增函数,则 g(x)=loga(x +k)的大致图象是( ) 解析:选 C ∵函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)在 R 上是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,即 (k-1)ax+(k-1)·a-x=0,解得 k=1.又函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)在 R 上是增函数,∴ a>1,可得 g(x)=loga(x+k)=loga(x+1),函数 g(x)的图象必过原点,且为增函数.故选 C. 3.若 x∈(e-1,1),a=ln x,b= 1 2 ln x,c=eln x ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c 解析:选 B 依题意得 a=ln x∈(-1,0),b= 1 2 ln x∈(1,2),c=x∈(e-1,1),因此 b>c>a. 4.已知函数 f(x)= 2-|x|,x≤2, x-2 2,x>2, 函数 g(x)=3-f(2-x),则函数 y=f(x)-g(x)的 零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选 A 法一:当 x>2 时,g(x)=x-1,f(x)=(x-2)2; 当 0≤x≤2 时,g(x)=3-x,f(x)=2-x; 当 x<0 时,g(x)=3-x2,f(x)=2+x. 由于函数 y=f(x)-g(x)的零点个数就是方程 f(x)-g(x)=0 的根的个数. x>2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x2-5x+5=0,其根为 x=5+ 5 2 或 x=5- 5 2 (舍去); 当 0≤x≤2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 2-x=3-x,无解; 当 x<0 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x2+x-1=0,其根为 x=-1- 5 2 或 x=-1+ 5 2 (舍 去). 所以函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为 2. 法二:由 y=f(x)-g(x)=0 得 f(x)+f(2-x)=3, 设 F(x)=f(x)+f(2-x), 则 F(2-x)=f(2-x)+f(x),所以 F(2-x)=F(x),F(x)关于直线 x=1 对称. 当 0≤x≤1 时,F(x)=f(x)+f(2-x)=2-x+2-(2-x)= 2;当 x<0 时,F(x)=f(x)+f(2-x)=2+x+(2-x-2)2=x2+x +2= x+1 2 2+7 4 .作出函数 F(x)的图象如图所示,由图象可知, 当 F(x)=3 时,有 2 个零点,故选 A. 5.(2017·邯郸模拟)设函数 f(x)= 2x,x≤0, log2x,x>0, 若对任意给定的 t∈(1,+∞),都存在 唯一的 x∈R,满足 f(f(x))=2a2t2+at,则正实数 a 的最小值是( ) A.2 B.1 2 C.1 4 D.1 8 解析:选 B 根据 f(x)的解析式易知其值域为 R,又当 x≤0 时,f(x)=2x 的值域为(0,1]; 当 x>0 时,f(x)=log2x 的值域为 R,∴要想在 t∈(1,+∞)上存在唯一的 x∈R 满足 f(f(x))= 2a2t2+at,必有 f(f(x))>1(∵2a2t2+at>0),∴f(x)>2,解得 x>4,当 x>4 时,x 与 f(f(x))存在 一一对应的关系,∴2a2t2+at>1,t∈(1,+∞),且 a>0,∴(2at-1)(at+1)>0,解得 t> 1 2a 或 t<-1 a (舍去),∴ 1 2a ≤1,∴a≥1 2 ,故选 B. 6.(2017·山东高考)已知当 x∈[0,1]时,函数 y=(mx-1)2 的图象与 y= x+m 的图象有且 只有一个交点,则正实数 m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[2 3,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞) C.(0, 2 ]∪[2 3,+∞) D.(0, 2 ]∪[3,+∞) 解析:选 B 在同一直角坐标系中,分别作出函数 f(x)=(mx-1)2=m2 x-1 m 2 与 g(x)= x+ m 的大致图象.分两种情形: (1)当 01 时,0<1 m <1,如图②,要使 f(x)与 g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需 g(1)≤f(1),即 1+m≤(m-1)2,解得 m≥3 或 m≤0(舍去). 综上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞). 二、填空题 7.设函数 f(x)=-ln(-x+1),g(x)= x2 x≥0 , f x x<0 , 则 g(-2)=______;函数 y= g(x)+1 的零点是________. 解析:由题意知 g(-2)=f(-2)=-ln 3,当 x≥0 时,x2+1=0 没有零点,当 x<0 时,由 -ln(-x+1)+1=0,得 x=1-e. 答案:-ln 3 1-e 8.已知函数 f(x)= -x2+ax,x≤1, ax-1,x>1, 若存在 x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:由已知存在 x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则需 x≤1 时,f(x)不单调即 可,即对称轴a 2 <1,解得 a<2. 答案:(-∞,2) 9.(2016·山东高考)已知函数 f(x)= |x|,x≤m, x2-2mx+4m,x>m, 其中 m>0.若存在实数 b,使 得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是________. 解析:作出 f(x)的图象如图所示.当 x>m 时,x2-2mx+4m=(x -m)2+4m-m2,∴要使方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 4m-m2<m, 即 m2-3m>0.又 m>0,解得 m>3. 答案:(3,+∞) 三、解答题 10.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+e2 x (x>0). (1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 解:(1)∵g(x)=x+e2 x ≥2 e2=2e(x>0), 当且仅当 x=e2 x 时取等号. ∴当 x=e 时,g(x)有最小值 2e. 因此 g(x)=m 有零点,只需 m≥2e. ∴m 的取值范围是[2e,+∞). (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,则函数 g(x)与 f(x)的图 象有两个不同的交点. 如图所示,作出函数 g(x)=x+e2 x (x>0)的大致图象. ∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2, ∴其对称轴为 x=e,f(x)max=m-1+e2. 若函数 f(x)与 g(x)的图象有两个交点, 必须有 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1. 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根, 则 m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 11.有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放 k(1≤k≤4 且 k∈R)个单位的洗衣 液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 y(g/L)随着时间 x(min)变化的函数关系式近似 为 y=kf(x),其中 y= k 16 9-x -1 ,0≤x≤5, k 11- 2 45 x2 ,50. 令 t=2x,则(1-a)t2+at+1=0,只需其有一正根即可满 足题意. ①当 a=1 时,t=-1,不合题意,舍去. ②上式有一正一负根 t1,t2, 即 Δ=a2-4 1-a >0, t1t2= 1 1-a <0, 经验证满足 a·2x-a>0,∴a>1. ③上式有两根相等,即Δ=0⇒a=±2 2-2, 此时 t= a 2 a-1 ,若 a=2( 2-1),则有 t= a 2 a-1 <0, 此时方程(1-a)t2+at+1=0 无正根, 故 a=2( 2-1)舍去; 若 a=-2( 2+1),则有 t= a 2 a-1 >0,且 a· 2x-a=a(t-1)=a a 2 a-1 -1 = a 2-a 2 a-1 >0, 因此 a=-2( 2+1). 综上所述,a 的取值范围为{a|a>1 或 a=-2-2 2}. 第四讲 不_等_式 考点一 不等式的解法 一、基础知识要记牢 求一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0,Δ=b2-4ac>0)的解集,首先确定对应方程的 根,然后根据三个二次之间的关系,依据图象直观写出解集. 二、经典例题领悟好 [例 1] (1)已知函数 f(x)=(ax-1)(x+b),若不等式 f(x)>0 的解集是(-1,3),则不等式 f(-2x)<0 的解集是( ) A. -∞,-3 2 ∪ 1 2 ,+∞ B. -3 2 ,1 2 C. -∞,-1 2 ∪ 3 2 ,+∞ D. -1 2 ,3 2 (2)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 xx<-1 或 x>1 2 ,则 f(10x)>0 的解集为( ) A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1-lg 2} D.{x|x<-lg 2} (3)设 a∈R,若 x>0 时均有(x2+ax-5)(ax-1)≥0 成立,则 a=________. [解析] (1)由 f(x)>0,得 ax2+(ab-1)x-b>0,又其解集是(-1,3), ∴a<0,且 1-ab a =2, -b a =-3, 解得 a=-1 a=1 3 舍去 , ∴a=-1,b=-3,∴f(x)=-x2+2x+3, ∴f(-2x)=-4x2-4x+3, 由-4x2-4x+3<0,得 4x2+4x-3>0, 解得 x>1 2 或 x<-3 2 ,故选 A. (2)由题意知,一元二次不等式 f(x)>0 的解集为 x-10,∴-1<10x<1 2 , 解得 x0(a>0),再求相应一元二次 方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不 等式的解集. (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为 一元二次不等式)求解. (3)与一元二次不等式有关的恒成立问题,通常转化为根的分布问题,求解时一定要借助二 次函数的图象,一般考虑四个方面:开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值 的符号. (4)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因.确 定好分类标准,从而层次清晰地求解. 三、预测押题不能少 1.(1)已知 f(x)= -2x+1 x2 ,x>0, 1 x ,x<0, 则 f(x)>-1 的解集为( ) A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) 解析:选 B 当 x>0 时,由 f(x)=-2x+1 x2 >-1, 得-2x+1>-x2,即 x2-2x+1>0,解得 x>0 且 x≠1. 当 x<0 时,由 f(x)=1 x >-1,即-x>1,解得 x<-1. 故 x∈(-∞,-1)∪(0,1)∪(1,+∞). (2)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)0,则a4+4b4+1 ab 的最小值为________. (2)(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/次, 一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是______. [解析] (1)因为 ab>0,所以a4+4b4+1 ab ≥2 4a4b4+1 ab =4a2b2+1 ab =4ab+ 1 ab ≥2 4ab· 1 ab = 4,当且仅当 a2=2b2, ab=1 2 时取等号,故a4+4b4+1 ab 的最小值是 4. (2) 由 题 意 , 一 年 购 买 600 x 次 , 则 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 为 600 x ×6 + 4x = 4 900 x +x ≥8 900 x ·x=240,当且仅当 x=30 时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时 x 的值是 30. [答案] (1)4 (2)30 利用基本不等式求函数最值的关注点 (1)一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数, 特别适合用基本不等式求最值. 2 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等 式中“正” 即条件要求中字母为正数 、“定” 不等式的另一边必须为定值 、“等” 等 号取得的条件 的条件. 3 对二元以上的最值 范围 问题,通常可以通过换元、互化、齐次化、不等式放缩等 减元,也可以通过主元、数形结合整体等策略求解. 三、预测押题不能少 3.(1)函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1 =0 上(其中 m,n>0),则1 m +2 n 的最小值等于( ) A.16 B.12 C.9 D.8 解析:选 D 依题意,点 A(-2,-1),则-2m-n+1=0,即 2m+n=1(m>0,n>0), ∴1 m +2 n = 1 m +2 n (2m+n) =4+ n m +4m n ≥4+2 n m ×4m n =8, 当且仅当n m =4m n , 即 n=2m=1 2 时取等号, 即1 m +2 n 的最小值是 8. (2)设 a,b 为正实数,且(a-b)2= 9 ab ,则当 a+b 取得最小值时,a=________. 解析:(a+b)2=(a-b)2+4ab= 9 ab +4ab≥2 9 ab ·4ab=12,当且仅当 9 ab =4ab, a+b 2=12 时 取等号,解得 a= 3± 6 2 . 答案: 3± 6 2 考点四 绝对值不等式及其应用 一、基础知识要记牢 1.必记公式 (1)如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|.当且仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等 号成立. 2.重要性质及结论 (1)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c. ②|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≥c 或 ax+b<-c. (2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想. 方法二:利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想. 方法三:通过构建函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程思想. 二、经典例题领悟好 [例 4] (1)不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是( ) A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5) (2)(2017·浙江高考)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ________,最大值是________. (3)已知函数 f(x)=|x+1 x -ax-b|(a,b∈R),当 x∈ 1 2 ,2 时,设 f(x)的最大值为 M(a, b),则 M(a,b)的最小值为________. [解析] (1)①当 x≤1 时,原不等式可化为 1-x-(5-x)<2,∴-4<2,不等式恒成立,∴ x≤1. ②当 10 时,解得 0≤a≤1 3 , 综上实数 a 的取值范围为 -∞,1 3 . [知能专练(四)] 一、选择题 1.(2018 届高三·衢州联考)“00 的解集是实数集 R”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A 当 a=0 时,1>0,显然成立;当 a≠0 时, a>0, Δ=4a2-4a<0. 故 ax2+2ax+1>0 的解集是实数集 R 等价于 0≤a<1.因此,“00 的解集是实数集 R”的充 分而不必要条件. 2.(2017·杭州模拟)在约束条件 y≤x, y≥1 2 x, x+y≤1 下,目标函数 z=x+1 2 y 的最大值为( ) A.1 4 B.3 4 C.5 6 D.5 3 解析:选 C 法一:由 z=x+1 2 y 得 y=-2x+2z.作出可行域如图 中阴影部分所示,平移直线 y=-2x,当直线经过点 C 时,z 最大.由 y=1 2 x, x+y=1, 解得 x=2 3 , y=1 3 , 所以点 C 的坐标为 2 3 ,1 3 ,代入 z=x +1 2 y,得 z=2 3 +1 2 ×1 3 =5 6 . 法二:作出不等式组所表示的平面区域如图中△OBC 及其内部所示,易知 O(0,0),B 1 2 ,1 2 , C 2 3 ,1 3 ,分别代入 z=x+1 2 y,z 的值分别为 0,3 4 ,5 6 ,故目标函数 z=x+1 2 y 的最大值为5 6 . 3.(2017·温州模拟)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( ) A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8 解析:选 D 当 a>2 时,-a 2 <-1, f(x)= 3x+a+1,x>-1, x+a-1,-a 2 ≤x≤-1 -3x-a-1,x<-a 2 . 其图象如图所示:由图象知 f(x)的最小值为 f -a 2 =-a 2 +a -1= a 2 -1,依题意得a 2 -1=3,解得 a=8,符合题意. 当 a=2 时,f(x)=3|x+1|,其最小值为 0,不符合题意. 当 a<2 时,-a 2 >-1, f(x)= 3x+a+1,x>-a 2 , -x-a+1,-1≤x≤-a 2 , -3x-a-1,x<-1, 得 f(x)的最小值为 f -a 2 , 因此-a 2 +1=3,解得 a=-4,符合题意.故选 D. 4.(2016·浙江高考)若平面区域 x+y-3≥0, 2x-y-3≤0, x-2y+3≥0 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则 这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.3 5 5 B. 2 C.3 2 2 D. 5 解析:选 B 根据约束条件作出可行域如图阴影部分,当斜率 为 1 的 直 线 分 别 过 A 点 和 B 点 时 满 足 条 件 , 联 立 方 程 组 x+y-3=0, x-2y+3=0 求得 A(1,2),联立方程组 2x-y-3=0, x+y-3=0 求得 B(2,1),可求得分别过 A,B 两点且斜率为 1 的两条直线方程为 x- y+1=0 和 x-y-1=0,由两平行线间的距离公式得距离为|1+1| 2 = 2,故选 B. 5.(2018 届高三·浙江名校联考)不等式 x2+2x(ax)2 的解集中的整数恰有 4 个,则 b a-1 的取值 范围为( ) A.(3,4] B.(3,4) C.(2,3] D.(2,3) 解析:选 A 整理不等式得[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0.因为整数解只有 4 个,且 1+a>0, 可得 1-a<0,所以 a>1.其解集为 b 1-a , b 1+a .又 01. 设 a∈R,若关于 x 的不等式 f(x)≥|x 2 +a|在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是( ) A. -47 16 ,2 B. -47 16 ,39 16 C.[-2 3,2] D. -2 3,39 16 解析:选 A 法一:根据题意,作出 f(x)的大致图象, 如 图 所示. 当 x≤1 时,若要 f(x)≥|x 2 +a|恒成立,结合图象, 只 需 x2-x+3≥- x 2 +a ,即 x2-x 2 +3+a≥0,故对于方程 x2-x 2 + 3 + a =0,Δ= -1 2 2-4(3+a)≤0,解得 a≥-47 16 ;当 x>1 时,若要 f(x)≥|x 2 +a|恒成立,结合图 象,只需 x+2 x ≥x 2 +a,即x 2 +2 x ≥a.又x 2 +2 x ≥2,当且仅当x 2 =2 x ,即 x=2 时等号成立,所以 a≤2. 综上,a 的取值范围是 -47 16 ,2 . 法二:关于 x 的不等式 f(x)≥|x 2 +a|在 R 上恒成立等价于-f(x)≤a+x 2 ≤f(x), 即-f(x)-x 2 ≤a≤f(x)-x 2 在 R 上恒成立, 令 g(x)=-f(x)-x 2 . 当 x≤1 时,g(x)=-(x2-x+3)-x 2 =-x2+x 2 -3 =- x-1 4 2-47 16 , 当 x=1 4 时,g(x)max=-47 16 ; 当 x>1 时,g(x)=- x+2 x -x 2 =- 3x 2 +2 x ≤-2 3, 当且仅当3x 2 =2 x ,且 x>1,即 x=2 3 3 时,“=”成立, 故 g(x)max=-2 3. 综上,g(x)max=-47 16 . 令 h(x)=f(x)-x 2 , 当 x≤1 时,h(x)=x2-x+3-x 2 =x2-3x 2 +3 = x-3 4 2+39 16 , 当 x=3 4 时,h(x)min=39 16 ; 当 x>1 时,h(x)=x+2 x -x 2 =x 2 +2 x ≥2, 当且仅当x 2 =2 x ,且 x>1,即 x=2 时,“=”成立, 故 h(x)min=2. 综上,h(x)min=2. 故 a 的取值范围为 -47 16 ,2 . 二、填空题 8.(2016·江苏高考)已知实数 x,y 满足 x-2y+4≥0, 2x+y-2≥0, 3x-y-3≤0, 则 x2+y2 的取值范围是________. 解析:根据已知的不等式组画出可行域,如图阴影部分所示,则(x, y)为阴影区域内的动点.d= x2+y2可以看做坐标原点 O 与可行域内的 点(x,y)之间的距离.数形结合,知 d 的最大值是 OA 的长,d 的最小值 是点 O 到直线 2x+y-2=0 的距离.由 x-2y+4=0, 3x-y-3=0 可得 A(2,3), 所以 dmax= 22+32= 13,dmin= |-2| 22+12 = 2 5 .所以 d2 的最小值为4 5 ,最大值为 13.所以 x2+y2 的取值范围是 4 5 ,13 . 答案: 4 5 ,13 9.已知正数 x,y 满足 x+y=1,则 x-y 的取值范围为________,1 x +x y 的最小值为________. 解析:设 y=1-x,则 x-y=x-(1-x)=2x-1,02 6, 解得-5≤a<-2 6. 综上所述,a 的取值范围为 -11 2 ,-2 6 . 第五讲 导数及其应用 考点一 导数的几何意义 一、基础知识要记牢 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即 k=f′(x0). (2)曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 二、经典例题领悟好 [例 1] (1)(2016·山东高考)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点 处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质,下列函数中具有 T 性质的是( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 (2)(2017·全国卷Ⅰ)曲线 y=x2+1 x 在点(1,2)处的切线方程为________. [解析] (1)若 y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数图象在这两点 处的切线互相垂直,则 f′(x1)·f′(x2)=-1.对于 A:y′=cos x,若有 cos x1·cos x2=-1, 则存在 x1=2kπ(k∈Z),x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立;对于 B:y′=1 x ,若有1 x1 ·1 x2 =-1, 即 x1x2=-1,∵x>0,∴不存在 x1,x2,使得 x1x2=-1;对于 C:y′=ex,若有 e 1x ·e 2x =-1, 即 1 2ex + x =-1,显然不存在这样的 x1,x2;对于 D:y′=3x2,若有 3x2 1·3x2 2=-1,即 9x2 1x2 2=- 1,显然不存在这样的 x1,x2.综上所述,选 A. (2)因为 y′=2x-1 x2,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为 y′|x=1=2×1-1 12=1,所以切 线方程为 y-2=x-1,即 x-y+1=0. [答案] (1)A (2)x-y+1=0 解决函数切线的相关问题,需抓住以下关键点: (1)切点是交点. (2)在切点处的导数是切线的斜率.因此,解决此类问题,一般要设出切点,建立关系—方 程(组). (3)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异.过点 P 的切线中, 点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上;在点 P 处的切线,点 P 是切点. 三、预测押题不能少 1.(1)已知偶函数 f(x)在 R 上的任一取值都有导数,且 f′(1)=1,f(x+2)=f(x-2),则 曲线 y=f(x)在 x=-5 处的切线斜率为( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 解析:选 D 由 f(x+2)=f(x-2),得 f(x+4)=f(x),可知函数为周期函数,且周期为 4. 又函数 f(x)为偶函数,所以 f(x+2)=f(x-2)=f(2-x) ,即函数的对称轴为 x=2,所以 f′(- 5)=f′(3)=-f′(1),所以函数在 x=-5 处的切线的斜率 k=f′(-5)=-f′(1)=-1. (2)若函数 f(x)=ln x+ax 的图象上存在与直线 2x-y=0 平行的切线,则实数 a 的取值范 围为________. 解析:函数 f(x)=ln x+ax 的图象上存在与直线 2x-y=0 平行的切线,即 f′(x)=2 在(0, +∞)上有解,又 f′(x)=1 x +a,即1 x +a=2 在(0,+∞)上有解,即 a=2-1 x 在(0,+∞)上有解, 因为 x>0,所以 2-1 x <2,所以实数 a 的取值范围是(-∞,2). 答案:(-∞,2) 考点二 利用导数研究函数的单调性 一、基础知识要记牢 函数的单调性与导数的关系: 在区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 f(x)在区间(a,b)上单调递增;如果 f′(x)<0, 那么函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减. 二、经典例题领悟好 [例 2] (2018 届高三·浙江名校联考)已知函数 f(x)=ex-ax(a∈R,e 为自然对数的底数). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 a=1,函数 g(x)=(x-m)f(x)-ex+x2+x 在(2,+∞)上为增函数,求实数 m 的取值 范围. [解] (1)函数 f(x)的定义域为 R,f′(x)=ex-a. 当 a≤0 时,f′(x)>0,∴f(x)在 R 上为增函数; 当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=ln a, 则当 x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(-∞,ln a)上为减函数, 当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0, ∴函数 f(x)在(ln a,+∞)上为增函数. (2)当 a=1 时,g(x)=(x-m)(ex-x)-ex+x2+x=(x-m-1)ex+(m+1)x, ∵g(x)在(2,+∞)上为增函数, ∴g′(x)=xex-mex+m+1≥0 在(2,+∞)上恒成立, 即 m≤xex+1 ex-1 在(2,+∞)上恒成立, 令 h(x)=xex+1 ex-1 ,x∈(2,+∞), h′(x)= ex 2-xex-2ex ex-1 2 =ex ex-x-2 ex-1 2 . 令 L(x)=ex-x-2, L′(x)=ex-1>0 在(2,+∞)上恒成立, 即 L(x)=ex-x-2 在(2,+∞)上为增函数, 即 L(x)>L(2)=e2-4>0,∴h′(x)>0, 即 h(x)在(2,+∞)上为增函数, ∴h(x)>h(2)=2e2+1 e2-1 ,∴m≤2e2+1 e2-1 . 故实数 m 的取值范围为 -∞,2e2+1 e2-1 . 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 即可. ②若已知 f(x)的单调性,则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题 求解. 三、预测押题不能少 2.(1)若函数 exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则称 函数 f(x)具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为________. ①f(x)=2-x;②f(x)=3-x;③f(x)=x3; ④f(x)=x2+2. 解析:设 g(x)=exf(x),对于①,g(x)=ex·2-x,则 g′(x)=(ex·2-x)′=ex·2-x(1-ln 2)>0, 所以函数 g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,故①符合要求; 对于②,g(x)=ex·3-x,则 g′(x)=(ex·3-x)′=ex·3-x(1-ln 3)<0,所以函数 g(x)在(- ∞,+∞)上为减函数,故②不符合要求; 对于③,g(x)=ex·x3,则 g′(x)=(ex·x3)′=ex·(x3+3x2), 显然函数 g(x)在(-∞,+∞)上不单调,故③不符合要求; 对于④,g(x)=ex·(x2+2),则 g′(x)=[ex·(x2+2)]′=ex·(x2+2x+2)=ex·[(x+1)2 +1]>0,所以函数 g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,故④符合要求. 综上,具有 M 性质的函数的序号为①④. 答案:①④ (2)已知函数 f(x)=x3-2x+ex-1 ex,其中 e 是自然对数的底数.若 f(a-1)+f(2a2)≤0,则 实数 a 的取值范围是________. 解析:由 f(x)=x3-2x+ex-1 ex, 得 f(-x)=-x3+2x+1 ex-ex=-f(x), 所以 f(x)是 R 上的奇函数. 又 f′(x)=3x2-2+ex+1 ex≥3x2-2+2 ex·1 ex=3x2≥0,当且仅当 x=0 时取等号, 所以 f(x)在其定义域内单调递增. 因为 f(a-1)+f(2a2)≤0, 所以 f(a-1)≤-f(2a2)=f(-2a2), 所以 a-1≤-2a2,解得-1≤a≤1 2 , 故实数 a 的取值范围是 -1,1 2 . 答案: -1,1 2 考点三 利用导数研究函数的极值 最值 问题 一、基础知识要记牢 (1)若在 x0 附近左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则 f(x0)为函数 f(x)的极大值;若在 x0 附近 左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值. (2)设函数 y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则 f(x)在[a,b]上必有最大值和最 小值且在极值点或端点处取得. 二、经典例题领悟好 [例 3] (20178 届高三·杭州模拟)设函数 f(x)=x(x2-3a),求 f(x)在[0,1]上的最大值 F(a). [解] 因为 f(x)=x3-3ax,所以 f′(x)=3x2-3a. (1)若 a≤0,则 f′(x)≥0,即 f(x)在[0,1]上单调递增,所以 F(a)=f(1)=1-3a. (2)若 a>0,由 f′(x)=0 知 x=± a.f(0)=0,f(1)=1-3a. ①若 01,则 f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 F(a)=f(0)=0. 综上,F(a)= 1-3a,a≤1 3 , 0,a>1 3 . 1.求函数 y=f x 在某个区间上的极值的步骤 第一步:求导数 f′ x ; 第二步:求方程 f′ x =0 的根 x0; 第三步:检查 f′ x 在 x=x0 左右的符号;, ①左正右负⇔f x 在 x=x0 处取极大值; ②左负右正⇔f x 在 x=x0 处取极小值. 2.求函数 y=f x 在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤 第一步:求函数 y=f x 在区间 a,b 内的极值 极大值或极小值 ;, 第二步:将 y=f x 的各极值与 f a ,f b 进行比较,其中最大的一个为最大值,最 小的一个为最小值. 三、预测押题不能少 3.已知函数 f(x)=ax-2 x -3ln x,其中 a 为常数. (1)当函数 f(x)的图象在点 2 3 ,f 2 3 处的切线的斜率为 1 时,求函数 f(x)在 3 2 ,3 上的最小 值; (2)若函数 f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求 a 的取值范围. 解:(1)f′(x)=a+2 x2-3 x , 由题意可知 f′ 2 3 =1,解得 a=1. 故 f(x)=x-2 x -3ln x,∴f′(x)= x-1 x-2 x2 , 由 f′(x)=0,得 x=2. 于是可得下表: x 3 2 3 2 ,2 2 (2,3) 3 f′(x) - 0 + f(x) 1-3ln 2 ∴f(x)min=f(2)=1-3ln 2. (2)f′(x)=a+2 x2-3 x =ax2-3x+2 x2 (x>0), 由题意可得方程 ax2-3x+2=0 有两个不等的正实根,不妨设这两个根为 x1,x2,并令 h(x) =ax2-3x+2, 则 Δ=9-8a>0, x1+x2=3 a >0, x1x2=2 a >0, 也可以为 Δ=9-8a>0, --3 2a >0, h 0 >0, 解得 00,∴1+x≥0,∴x≥-1. 3.函数 f(x)=3x2+ln x-2x 的极值点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.无数个 解析:选 A 函数定义域为(0,+∞), 且 f′(x)=6x+1 x -2=6x2-2x+1 x . 由于 x>0,g(x)=6x2-2x+1 中Δ=-20<0, 所以 g(x)>0 恒成立,故 f′(x)>0 恒成立. 即 f(x)在定义域上单调递增,无极值点. 4.(2017·浙江高考)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所 示 , 则函数 y=f(x)的图象可能是( ) 解析:选 D 由 f′(x)的图象知,f′(x)的图象有三个零点,故 f(x)在这三个零点处取得极 值,排除 A、B;记导函数 f′(x)的零点从左到右分别为 x1,x2,x3,又在(-∞,x1)上 f′(x)<0, 在(x1,x2)上 f′(x)>0,所以函数 f(x)在(-∞,x1)上单调递减,排除 C,故选 D. 5.已知常数 a,b,c 都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34 的导函数为 f′(x),f′(x)≤0 的 解集为{x|-2≤x≤3},若 f(x)的极小值等于-115,则 a 的值是( ) A.-81 22 B.1 3 C.2 D.5 解析:选 C 由题意知,f′(x)=3ax2+2bx+c≤0 的解集为[-2,3],且在 x=3 处取得极小 值-115, 故有 3a>0, -2+3=-2b 3a , -2×3= c 3a , f 3 =27a+9b+3c-34=-115, 解得 a=2. 6.若 0ln x2-ln x1 B.e 2x -e 1x x1e 2x D.x2e 1x g(x2),x2e 1x >x1e 2x ,故选 C. 二、填空题 7.设函数 f(x)=x(ex-1)-1 2 x2,则函数 f(x)的单调增区间为________. 解析:因为 f(x)=x(ex-1)-1 2 x2,所以 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).令 f′(x)>0, 即(ex-1)·(x+1)>0,解得 x∈(-∞,-1)或 x∈(0,+∞).所以函数 f(x)的单调增区间为(- ∞,-1)和(0,+∞). 答案:(-∞,-1)和(0,+∞) 8.已知函数 f(x)=1 2 x2+2ax-ln x,若 f(x)在区间 1 3 ,2 上是增函数,则实数 a 的取值范 围为________. 解析:由题意知 f′(x)=x+2a-1 x ≥0 在 1 3 ,2 上恒成立,即 2a≥-x+1 x 在 1 3 ,2 上恒成 立.又∵y=-x+1 x 在 1 3 ,2 上单调递减,∴ -x+1 x max=8 3 ,∴2a≥8 3 ,即 a≥4 3 . 答案: 4 3 ,+∞ 9.已知函数 f(x)=x3+2ax2+1 在 x=1 处的切线的斜率为 1,则实数 a=________,此时函 数 y=f(x)在[0,1]上的最小值为________. 解析:由题意得 f′(x)=3x2+4ax,则有 f′(1)=3×12+4a×1=1,解得 a=-1 2 ,所以 f(x) =x3-x2+1, 则 f′(x)=3x2-2x,当 x∈[0,1]时, 由 f′(x)=3x2-2x>0 得2 3 0,得 x>1,因此函数 f(x)的单调递增区间是(1,+∞). 令 f′(x)<0,得 00,∴x,f′(x),f(x)关系如下表: x 0,1 2 1 2 1 2 ,2 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ∴f(x)的单调递增区间为 0,1 2 和[2,+∞),单调递减区间为 1 2 ,2 . (2)若 f(x)在定义域上是增函数, 则 f′(x)≥0 在 x>0 时恒成立, ∵f′(x)=a+a x2-2 x =ax2-2x+a x2 , ∴转化为 x>0 时 ax2-2x+a≥0 恒成立, 即 a≥ 2x x2+1 恒成立, ∵ 2x x2+1 = 2 x+1 x ≤1,当且仅当 x=1 x =1 时等号成立, ∴a≥1.故实数 a 的取值范围为[1,+∞). 12.已知函数 f(x)=ex+ax-a(a∈R 且 a≠0). (1)若函数 f(x)在 x=0 处取得极值,求实数 a 的值;并求出此时 f(x)在[-2,1]上的最大值; (2)若函数 f(x)不存在零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)函数 f(x)的定义域为 R,f′(x)=ex+a, f′(0)=e0+a=0,∴a=-1,∴f′(x)=ex-1, ∵在(-∞,0)上 f′(x)<0,f(x)单调递减,在(0,+∞)上 f′(x)>0,f(x)单调递增, ∴x=0 时,f(x)取极小值.∴a=-1 符合要求. 易知 f(x)在[-2,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增, 且 f(-2)=1 e2+3,f(1)=e,f(-2)>f(1). ∴f(x)在[-2,1]的最大值为1 e2+3. (2)f′(x)=ex+a,由于 ex>0. ①当 a>0 时,f′(x)>0,f(x)是增函数. 且当 x>1 时,f(x)=ex+a(x-1)>0. 当 x<0 时,取 x=-1 a , 则 f -1 a <1+a -1 a -1 =-a<0, ∴函数 f(x)存在零点,不满足题意. ②当 a<0 时,令 f′(x)=ex+a=0,得 x=ln(-a). 在(-∞,ln(-a))上 f′(x)<0,f(x)单调递减, 在(ln(-a),+∞)上 f′(x)>0,f(x)单调递增, ∴x=ln(-a)时,f(x)取最小值. 函数 f(x)不存在零点,等价于 f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0,解得 -e21 x -e1-x 在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然 对数的底数). [解] (1)由题意,f′(x)=2ax-1 x =2ax2-1 x ,x>0, ①当 a≤0 时,2ax2-1<0,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减. ②当 a>0 时,f′(x)=2a x+ 1 2a x- 1 2a x , 当 x∈ 0, 1 2a 时,f′(x)<0;当 x∈ 1 2a ,+∞ 时,f′(x)>0. 故 f(x)在 0, 1 2a 上单调递减,在 1 2a ,+∞ 上单调递增. 综上所述,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当 a>0 时,f(x)在 0, 1 2a 上单调 递减,在 1 2a ,+∞ 上单调递增. (2)原不等式等价于 f(x)-1 x +e1-x>0 在 x∈(1,+∞)上恒成立. 令 g(x)=f(x)-1 x +e1-x=ax2-ln x-1 x +e1-x-a, 只需 g(x)在 x∈(1,+∞)上恒大于 0 即可. 又 g(1)=0,故 g′(x)在 x=1 处必大于等于 0. 令 F(x)=g′(x)=2ax-1 x +1 x2-e1-x,由 g′(1)≥0,可得 a≥1 2 . 当 a≥1 2 时,F′(x)=2a+1 x2-2 x3+e1-x≥1+1 x2-2 x3+e1-x=x3+x-2 x3 +e1-x, 因为 x∈(1,+∞),故 x3+x-2>0.又 e1-x>0,故 F′(x)在 a≥1 2 时恒大于 0. 所以当 a≥1 2 时,F(x)在 x∈(1,+∞)上单调递增. 所以 F(x)>F(1)=2a-1≥0,故 g(x)也在 x∈(1,+∞)上单调递增. 所以 g(x)>g(1)=0,即 g(x)在 x∈(1,+∞)上恒大于 0. 综上所述,a≥1 2 . 即实数 a 的取值范围为 1 2 ,+∞ . 1 求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关:第一关是转化关,即通过分离参数法, 先 转 化 为 f a≥ g x 或 f a≤ g x 对 任 意 x ∈ D 恒 成 立 , 再 转 化 为 f a≥ g x max 或 f a≤ g x min ;第二关是求最值关,即求函数 g x 在区间 D 上的 最大值 或最小值 问题. 2 有些含参不等式恒成立问题,在分离参数时会遇到讨论的麻烦,或者即使分离出参数, 但参数的最值却难以求出,这时常利用导数法,借助导数,分析函数的单调性,通过对函数单调 性的分析确定函数值的变化情况,找到参数满足的不等式,往往能取得意想不到的效果. 1.已知函数 y=ex 的图象与函数 f(x)的图象关于直线 y=x 对称,函数 g(x)=(x2-2x)f(x) +ax2-x. (1)若 a>0,且关于 x 的方程 g(x)=0 有且仅有一个解,求实数 a 的值; (2)在(1) 的条件下,若关于 x 的不等式 g(x)≤m 在(e-2,e)上恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:因为函数 y=ex 的图象与函数 f(x)的图象关于直线 y=x 对称,所以 f(x)=ln x, 所以 g(x)=(x2-2x)ln x+ax2-x. (1)令 g(x)=0,则(x2-2x)ln x+ax2-x=0,所以 a=1- x-2 ln x x . 令 h(x)=1- x-2 ln x x ,则 h′(x)=-1 x2-1 x +2-2ln x x2 =1-x-2ln x x2 , 令 t(x)=1-x-2ln x,则 t′(x)=-1-2 x =-x-2 x , 因为 x∈(0,+∞),所以 t′(x)<0,所以 t(x)在(0,+∞)上是减函数, 又 t(1)=h′(1)=0,所以当 00;当 x>1 时,h′(x)<0. 所以 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以 h(x)max=h(1)=1>0,又 h 1 e =1-e<0,h(e2)=5-2e2 e2 <0,a>0, 所以当函数 g(x)有且仅有一个零点时,a=1. (2)由(1)知,a=1,所以 g(x)=(x2-2x)ln x+x2-x, 易知,当 e-20, g 4 =-16-m<0 时,g(x)图象与 x 轴有三个交点, 解得-160,则由 f′(x)=0,得 x=-ln a. 当 x∈(-∞,-ln a)时,f′(x)<0; 当 x∈(-ln a,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. (2)(ⅰ)若 a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点. (ⅱ)若 a>0,由(1)知,当 x=-ln a 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(-ln a)=1-1 a +ln a. ①当 a=1 时,由于 f(-ln a)=0, 故 f(x)只有一个零点; ②当 a∈(1,+∞)时,由于 1-1 a +ln a>0, 即 f(-ln a)>0,故 f(x)没有零点; ③当 a∈(0,1)时,1-1 a +ln a<0,即 f(-ln a)<0. 又 f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0, 故 f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点. 设正整数 n0 满足 n0>ln 3 a -1 , 则 f(n0)=e 0n n0(ae 0n +a-2)-n0>e 0n -n0>2 0n -n0>0. 由于 ln 3 a -1 >-ln a, 因此 f(x)在(-ln a,+∞)有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1). 导数与不等式证明问题 [例 3] (2017·福建漳州质检)已知函数 f(x)=aex-bln x,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线方程为 y= 1 e -1 x+1. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)>0. [解] (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)=aex-b x ,由题意得 f(1)=1 e ,f′(1)=1 e -1, 所以 ae=1 e , ae-b=1 e -1, 解得 a=1 e2, b=1. (2)由(1)知 f(x)=1 e2·ex-ln x. 因为 f′(x)=ex-2-1 x 在(0,+∞)上单调递增,又 f′(1)<0,f′(2)>0, 所以 f′(x)=0,在(0,+∞)上有唯一实根 x0,且 x0∈(1,2). 当 x∈(0,x0)时,f′(x)<0,当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0, 从而当 x=x0 时,f(x)取极小值,也是最小值. 由 f′(x0)=0,得 0 2ex =1 x0 ,则 x0-2=-ln x0. 故 f(x)≥f(x0)= 0 2ex -ln x0=1 x0 +x0-2>2 1 x0 ·x0-2=0,所以 f(x)>0. 1.单变量不等式的证明 1 利用导数证明单变量的不等式的常见形式是 f x >g x .证明技巧:先将不等式 f x >g x 移项,即构造函数 h x =f x -g x ,转化为证不等式 h x >0,再次转 化为证明 h x min>0,因此,只需在所给的区间内,判断 h′ x 的符号,从而判断其单调性, 并求出函数 h x 的最小值,即可得证. 2 本例在求出函数的最小值 f x0 = 0 2ex -ln x0 后,证其大于零时,往往需用到 f′ x0 =0 的等式去转化,把 0 2ex -ln x0 转化为 x0 1 +x0-2,即可用基本不等式法判断其符 号.当遇到既含有指数式,又含有对数式的代数式需判断其符号时,常需应用这种技巧,把含有 指数式与对数式的代数式转化为不含有指数式与对数式的代数式,从而可轻松判断其符号. 2.双变量不等式的证明 破解含双参不等式的证明的关键:一是转化,即由已知条件入手,寻找双参所满足的关系式, 并把含双参的不等式转化为含单参的不等式;二是巧构造函数,再借用导数,判断函数的单调性, 从而求其最值;三是回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果. 3.(2018 届高三·浙江十校联考)已知函数 f(x)=ln x-1 2 ax2+x,a∈R. (1)当 a=0 时,求函数 f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程; (2)令 g(x)=f(x)-(ax-1),求函数 g(x)的极值; (3)若 a=-2,正实数 x1,x2 满足 f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥ 5-1 2 . 解:(1)当 a=0 时,f(x)=ln x+x,则 f(1)=1,所以切点为(1,1), 又 f′(x)=1 x +1,则切线斜率 k=f′(1)=2, 故切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. (2)g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-1 2 ax2+(1-a)x+1,x>0, 则 g′(x)=1 x -ax+(1-a)=-ax2+ 1-a x+1 x (x>0). 当 a≤0 时,因为 x>0,所以 g′(x)>0, 所以 g(x)在(0,+∞)上是递增函数,函数 g(x)无极值; 当 a>0 时,g′(x)=-ax2+ 1-a x+1 x =-a x-1 a x+1 x , 令 g′(x)=0 得 x=1 a (负值舍去),所以当 x∈0,1 a 时,g′(x)>0;当 x∈ 1 a ,+∞ 时,g′(x)<0. 因此 g(x)在 0,1 a 上是增函数,在 1 a ,+∞ 上是减函数. 所以当 x=1 a 时,g(x)有极大值 g 1 a =ln1 a -a 2 ×1 a2+(1-a)·1 a +1= 1 2a -ln a. 综上,当 a≤0 时,函数 g(x)无极值; 当 a>0 时,函数 g(x)有极大值 1 2a -ln a,无极小值. (3)证明:当 a=-2 时,f(x)=ln x+x2+x,x>0. 由 f(x1)+f(x2)+x1x2=0, 即 ln x1+x2 1+x1+ln x2+x2 2+x2+x1x2=0, 从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-ln(x1x2), 令 t=x1x2,则由φ(t)=t-ln t, 得φ′(t)=1-1 t =t-1 t , 易知φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增, 所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1, 因为 x1>0,x2>0,所以 x1+x2≥ 5-1 2 成立. [重难增分训练(一)] 1.已知 m,n∈(2,e),且1 n2-1 m2<lnm n ,则( ) A.m>n B.m<n C.m>2+1 n D.m,n 的大小关系不确定 解析:选 A 由不等式可得1 n2-1 m2<ln m-ln n,即1 n2+ln n<1 m2+ln m.设 f(x)=1 x2+ln x(x ∈(2,e)),则 f′(x)=-2 x3+1 x =x2-2 x3 . 因为 x∈(2,e),所以 f′(x)>0,故函数 f(x)在(2,e)上单调递增.因为 f(n)<f(m),所 以 n<m.故选 A. 2.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x),满足 f′(x)<f(x),且 f(x+2)为 偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<ex 的解集为________. 解析:因为 f(x+2)为偶函数,所以 f(x+2)的图象关于 x=0 对称,所以 f(x)的图象关于 x =2 对称.所以 f(0)=f(4)=1.设 g(x)=f x ex (x∈R),则 g′(x)=f′ x ex-f x ex ex 2 = f′ x -f x ex .又 f′(x)<f(x),所以 g′(x)<0(x∈R),所以函数 g(x)在定义域上单调递 减.因为 f(x)<ex⇔f x ex <1,而 g(0)=f 0 e0 =1,所以 f(x)<ex⇔g(x)<g(0),所以 x>0. 答案:(0,+∞) 3.(2017·广东汕头模拟)已知函数 f(x)=x+xln x,若 m∈Z,且 f(x)-m(x-1)>0 对任意 的 x>1 恒成立,则 m 的最大值为________. 解析:因为 f(x)=x+xln x,且 f(x)-m(x-1)>0 对任意的 x>1 恒成立,等价于 m1). 令 g(x)=x+xln x x-1 (x>1),所以 g′(x)=x-2-ln x x-1 2 .易知 g′(x)=0 必有实根,设为 x0(x0 -2-ln x0=0),且 g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,此时 g(x)min=g(x0) =x0+x0ln x0 x0-1 =x0+x0 x0-2 x0-1 =x0,因此 m0, 故 30,函数 f(x)为增函数,当 x∈(-1,0)时,f′(x)=-ex·(x+1)<0, 函数 f(x)为减函数,所以函数 f(x)=|xex|在(-∞,0)上的最大值为 f(-1)=-(-1)e-1=1 e , 要使方程 f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个不同的实数根,令 f(x)=m,则方程 m2+tm+1 =0 应有两个不同的实根,且一个根在 0,1 e 内,一个根在 1 e ,+∞ 内,令 g(m)=m2+tm+1,因 为 g(0)=1>0,则只需 g 1 e <0,即 1 e 2+t e +1<0,解得 t<-e2+1 e , 所 以 使 得 方 程 f2(x) + tf(x) + 1 = 0(t ∈ R) 有 四 个 不 同 的 实 数 根 的 t 的 取 值 范 围 为 -∞,-e2+1 e . 答案: -∞,-e2+1 e 5.已知函数 f(x)=x-aln x+b,a,b 为实数. (1)若曲线 x=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=2x+3,求 a,b 的值; (2)若|f′(x)|<3 x2对∈[2,3]恒成立,求 a 的取值范围. 解:(1)由已知,得 f′(x)=1-a x , 且由题设得 f′(1)=2,f(1)=5, 从而,得 1-a=2 且 1+b=5, 解得 a=-1,b=4. (2)根据题设得,命题等价于当 x∈[2,3]时,|1-a x|<3 x2恒成立⇔|x-a|<3 x 恒成立⇔-3 x e+2-1 e . 解:(1)01 时,f′(x)=1 x - a x-1 2= x-1 2-ax x x-1 2 =x2- a+2 x+1 x x-1 2 . 由 f′(x)=0 在 0,1 e 内有解. 令 g(x)=x2-(a+2)x+1=(x-α)(x-β), 不妨设 0<α<1 e ,则β>e, 所以 g(0)=1>0,g 1 e =1 e2-a+2 e +1<0, 解得 a>e+1 e -2. 故实数 a 的取值范围为 e+1 e -2,+∞ . (2)证明:由 f′(x)>0⇔0β, 由 f′(x)<0⇔αe), 则 h′(β)= 2 β +1+ 1 β2>0,h(β)在(0,+∞)上单调递增, 所以 f(x2)-f(x1)≥h(β)>h(e)=2+e-1 e . 10.(2017·四川雅安模拟)已知函数 f(x)=ln x-1 2 ax2(a∈R). (1)若 f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线 2x+y+2=0 垂直,求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)讨论函数 f(x)在区间[1,e2]上零点的个数. 解:(1)f(x)=ln x-1 2 ax2 的定义域为(0,+∞), f′(x)=1 x -ax=1-ax2 x ,则 f′(2)=1-4a 2 .因为直线 2x+y+2=0 的斜率为-2, 所以(-2)×1-4a 2 =-1,解得 a=0. (2)由(1)知 f′(x)=1-ax2 x ,x∈(0,+∞), 当 a≤0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a>0 时,由 f′ x >0, x>0 得 00 得 x> a a ,所以 f(x)在 0, a a 上单调递增,在 a a ,+∞ 上单调递减. 综上所述:当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为 0, a a ,单调递减区间为 a a ,+∞ . (3)由(2)可知, (ⅰ)当 a<0 时,f(x)在[1,e2]上单调递增, 而 f(1)=-1 2 a>0,故 f(x)在[1,e2]上没有零点; (ⅱ)当 a=0 时,f(x)在[1,e2]上单调递增,而 f(1)=-1 2 a=0,故 f(x)在[1,e2]上有一个 零点; (ⅲ)当 a>0 时,①若 a a ≤1,即 a≥1 时,f(x)在[1,e2]上单调递减,因为 f(1)=-1 2 a<0, 所以 f(x)在[1,e2]上没有零点. ②若 1< a a ≤e2,即1 e4≤a<1 时,f(x)在 1, a a 上单调递增,在 a a ,e2 上单调递减,而 f(1) =-1 2 a<0,f a a =-1 2 ln a-1 2 ,f(e2)=2-1 2 ae4, 若 f a a =-1 2 ln a-1 2 <0,即 a>1 e 时,f(x)在[1,e2]上没有零点; 若 f a a =-1 2 ln a-1 2 =0,即 a=1 e 时,f(x)在[1,e2]上有一个零点; 若 f a a =-1 2 ln a-1 2 >0,即 a<1 e 时,由 f(e2)=2-1 2 ae4>0 得 a<4 e4,此时,f(x)在[1,e2]上 有一个零点; 由 f(e2)=2-1 2 ae4≤0 得 a≥4 e4,此时,f(x)在[1,e2]上有两个零点; ③若 a a ≥e2,即 00,所以 f(x) 在[1,e2]上有一个零点. 综上所述:当 a<0 或 a>1 e 时,f(x)在[1,e2]上没有零点;当 0≤a<4 e4或 a=1 e 时,f(x)在[1, e2]上有一个零点;当4 e4≤a<1 e 时,f(x)在[1,e2]上有两个零点. 专题验收评估 一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、 不等式 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.(2017·山东高考)设函数 y= 4-x2的定义域为 A,函数 y=ln(1-x)的定义域为 B,则 A∩B=( ) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 解析:选 D 由题意可知 A={x|-2≤x≤2},B={x|x<1},故 A∩B={x|-2≤x<1}. 2.已知 a=0.20.3,b=log0.23,c=log0.24,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 解析:选 A 由指数函数和对数函数的图象和性质知 a>0,b<0,c<0,又对数函数 f(x)=log0.2x 在(0,+∞)上是单调递减的,所以 log0.23>log0.24,所以 a>b>c. 3.函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( ) 解析:选 A 依题意,得 f(-x)=ln(x2+1)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,即函数 f(x) 的图象关于 y 轴对称,故排除 C.因为函数 f(x)过定点(0,0),排除 B,D,应选 A. 4.(2017·南昌模拟)已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:选 C 由已知得 xy=9-(x+3y),即 3xy=27-3(x+3y)≤ x+3y 2 2,当且仅当 x=3y, 即 x=3,y=1 时取等号,令 x+3y=t,则 t>0,且 t2+12t-108≥0,得 t≥6,即 x+3y≥6. 5.若变量 x,y 满足约束条件 3x-y-1≥0, 3x+y-11≤0, y≥2, 则 z=2x-y 的最小值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.4 解析:选 A 线性约束条件 3x-y-1≥0, 3x+y-11≤0, y≥2 所构成的可行 域如 图所示是顶点为 A(2,5),B(1,2),C(3,2)的三角形的边界及其内部.故当目标函数 z=2x-y 经 过点 A 时,取到最小值 zmin=2×2-5=-1. 6.设 a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“a0,所以 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调 递增,故 f(x)min=f(1)=1 2 .对于二次函数 g(x)=-x2-2ax+4,易知该函数开口向下,所以其在 区间[1,2]上的最小值在端点处取得,即 g(x)min=min{g(1),g(2)}.要使对任意的 x1∈(0,2], 存在 x2∈[1,2],使得 f(x1)≥g(x2)成立,只需 f(x1)min≥g(x2)min,即1 2 ≥g(1)或1 2 ≥g(2),所以1 2 ≥ -1-2a+4 或1 2 ≥-4-4a+4,解得 a≥-1 8 . 10.若平面直角坐标系内的 A,B 两点满足:①点 A,B 都在 f(x)的图象上;②点 A,B 关于 原点对称,则称点对(A,B)是函数 f(x)的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与(B,A)可看作同一个 “姊妹点对”).已知函数 f(x)= x2+2x,x<0, 2 ex,x≥0, 则 f(x)的“姊妹点对”的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B 设 P(x,y)(x<0),则点 P 关于原点的对称点为 P′(-x,-y),由 2 e-x=-(x2 +2x),化简整理得 2ex+x2+2x=0.由 x2+2x<0,解得-20(x≥0),所以只需考虑 x ∈(-2,0)即可.令φ(x)=2ex+x2+2x,求导得,φ′(x)=2ex+2x+2,令 g(x)=2ex+2x+2, 则 g′(x)=2ex+2>0,所以φ′(x)在区间(-2,0)上单调递增,而φ′(-2)=2e-2-4+2=2(e -2-1)<0,φ′(-1)=2e-1>0,所以φ(x)在区间(-2,0)上只存在一个极值点 x0(x0∈(-2,-1)), 而φ(-2)=2e-2>0,φ(-1)=2e-1-1<0,φ(0)=2>0,所以函数φ(x)在区间(-2,-1),(- 1,0)上各有一个零点,即函数 f(x)有 2 个“姊妹点对”. 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分,把答案填在题 中横线上) 11.已知全集为 R,集合 A={x|x2-2x>0},B={x|1<x<3},则 A∩B=________;A∪B= ________;∁ RA=________. 解析:因为 A={x|x2-2x>0}={x|x<0 或 x>2},B={x|1<x<3},A∩B=(2,3),A∪B= (-∞,0)∪(1,+∞),∁ RA=[0,2]. 答案:(2,3) (-∞,0)∪(1,+∞) [0,2] 12.已知 f(x)= -log3 x,x≥0, x2-2x,x<0, f(1)=________,f(f(3))=________. 解析:依题意,f(1)=-log31=0,f(3)=-log33=-1,故 f(f(3))=f(-1)=3. 答案:0 3 13.(2017·嘉兴模拟)若实数 a,b 满足 ab-4a-b+1=0(a>1),则(a+1)(b+2)的最小值 为________,这时 a=________. 解析:因为 ab-4a-b+1=0,所以 b=4a-1 a-1 ,又 a>1,所以 b>0,所以(a+1)(b+2)=ab +2a+b+2=6a+2b+1=6a+8+ 6 a-1 +1=6(a-1)+ 6 a-1 +15,因为 a-1>0,所以 6(a-1)+ 6 a-1 +15≥2 6 a-1× 6 a-1 +15=27,当且仅当 6(a-1)= 6 a-1 (a>1),即 a=2 时等号成立, 故(a+1)(b+2)的最小值是 27. 答案:27 2 14.若关于 x 的不等式|x+a|0,即Δ=4m2-12(m+6)>0,所以 m2-3m -18>0,解得 m>6 或 m<-3. 答案:(-∞,-3)∪(6,+∞) 16.设变量 x,y 满足约束条件 x≥0, y≥3x, x+ay≤7, 其中 a>1,若目标函数 z=x+y 的最大值为 4, 则 a 的值为________. 解析:根据题意作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分 所示.令 y=-x+z,则 z 的几何意义是直线 y=-x+z 的纵截距, 故欲使 z 最大,只需使直线 y=-x+z 的纵截距最大即可.因为 a>1, 所以直线 x+ay=7 的斜率大于-1,故当直线 y=-x+z 经过直线 y=3x 与直线 x+ay=7 的交点 7 1+3a , 21 1+3a 时,目标函数 z 取得 最大值,最大值为 28 1+3a .由题意得 28 1+3a =4,解得 a=2. 答案:2 17.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表: x -1 0 2 4 5 f(x) 1 2 1.5 2 1 f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示. 下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 f(x)的值域为[1,2]; ②函数 f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 10,函数单调递增, 当 00, 且 h(3e)=2ln(3e)+1- a 3e ≥2ln(3e)+1- 3e+ 2e ln 3e 3e =2 ln 3e- 1 3 ln 3e >0. 又 h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数 h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为 x0, 则 10;当 x∈(x0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.所以要使 f(x)≤4e2 对 x∈(1,3e]恒成立,只要 f x0 = x0-a 2ln x0≤4e2, ⅰ f 3e = 3e-a 2ln 3e≤ 4e2 ⅱ 成立. 由 h(x0)=2ln x0+1-a x0 =0,知 a=2x0ln x0+x0. (ⅲ) 将(ⅲ)代入(ⅰ)得 4x2 0ln3x0≤4e2.又 x0>1,注意到函数 x2ln3x 在[1,+∞)内单调递增,故 1x2≥2, f(x1)-f(x2)=1 x1 +bx1+c- 1 x2 +bx2+c = x1-x2 bx1x2-1 x1x2 . ∵x1>x2≥2,∴x1-x2>0,x1x2>0, 因为函数 f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数,故恒有 f(x1)>f(x2),从而恒有 bx1x2-1>0, 即恒有 b> 1 x1x2 ,当 x1>x2≥2 时,x1x2>4,∴ 1 x1x2 <1 4 ,∴b≥1 4 . 故实数 b 的取值范围为 1 4 ,+∞ . (2)当 n=2 时 f(x)=x2+bx+c, 对任意 x1,x2∈[-1,1]有|f(x1)-f(x2)|≤4 恒成立等价于 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小 值之差 M≤4. 当-b 2 <-1,即 b>2 时,f(x)在 x∈[-1,1]上单调递增,所以 f(x)min=f(-1)=1-b+c, f(x)max=f(1)=1+b+c,所以 M=2b>4,与题设矛盾; 当-1≤-b 2 ≤0,即 0≤b≤2 时,f(x)在 x∈-1,-b 2 上单调递减,在 x∈ -b 2 ,1 上单调递 增,所以 f(x)min=f -b 2 =-b2 4 +c,f(x)max=f(1)=1+b+c, 所以 M= b 2 +1 2≤4 恒成立,所以 0≤b≤2; 当 0<-b 2 ≤1,即-2≤b<0 时,f(x)在 x∈ -1,-b 2 上单调递减,在 x∈ -b 2 ,1 上单调递 增,所以 f(x)min=f -b 2 =-b2 4 +c,f(x)max=f(-1)=1-b+c,所以 M= b 2 -1 2≤4 恒成立, 所以-2≤b<0; 当-b 2 >1,即 b<-2 时,f(x)在 x∈[-1,1]上单调递减, 所以 f(x)min=f(1)=1+b+c,f(x)max=f(-1)=1-b+c,所以 M=-2b>4,与题设矛盾. 综上所述,实数 b 的取值范围是[-2,2]. 22.(本小题满分 15 分)已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax3-2bx-a+b. (1)证明:当 0≤x≤1 时, ①函数 f(x)的最大值为|2a-b|+a; ②f(x)+|2a-b|+a≥0. (2)若-1≤f(x)≤1 对 x∈[0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 解:(1)证明:①f′(x)=12ax2-2b=12a x2- b 6a , 当 b≤0 时,有 f′(x)≥0,此时 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 当 b>0 时,f′(x)=12a x+ b 6a x- b 6a ,此时 f(x)在 0, b 6a 上单调递减,在 b 6a ,+∞ 上单调递增,所以当 0≤x≤1 时, f(x)max=max{f(0),f(1)}=max{-a+b,3a-b}= 3a-b,b≤2a, -a+b,b>2a =|2a-b|+a. ②由于 0≤x≤1,故 当 b≤2a 时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a(2x3- 2x+1), 当 b>2a 时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)-2a>4ax3+4a(1-x)-2a= 2a(2x3-2x+1); 设 g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1, 则 g′(x)=6x2-2=6 x- 3 3 x+ 3 3 , 当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如表所示: x 0 0, 3 3 3 3 3 3 ,1 1 g′(x) - 0 + g(x) 1 极小值 1 所以,g(x)min=g 3 3 =1-4 3 9 >0, 所以,当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0, 故 f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x3-2x+1)≥0. (2)由①知,当 0≤x≤1 时,f(x)max=|2a-b|+a,所以|2a-b|+a≤1, 若|2a-b|+a≤1,则由②知f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1,所以-1≤f(x)≤1对任意0≤x≤1 恒成立的充要条件是 |2a-b|+a≤1, a>0, 即 2a-b≥0, 3a-b≤1, a>0, 或 2a-b<0, b-a≤1, a>0. 在直角坐标系 aOb 中,所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段 BC. 作一组平行直线 a+b=t(t∈R),得-1