高中数学人教a版必修4课时达标检测（二十） 平面向量的正交分解及坐标表示　平面向量的坐标运算 word版含解析 3页

课时达标检测（二十） 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算 一、选择题 1．已知向量 OA  ＝(1，－2)，OB  ＝(－3,4)，则1 2 AB  等于( ) A．(－2,3) B．(2，－3) C．(2,3) D．(－2，－3) 答案：A 2．已知 a＝(－5,6)，b＝(－3,2)，c＝(x，y)，若 a－3b＋2c＝0，则 c 等于( ) A．(－2,6) B．(－4,0) C．(7,6) D．(－2,0) 答案：D 3．已知 a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则( ) A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝－2 C．m＝4，n＝2 D．m＝－4，n＝－2 答案：C 4．已知 A(7,1)，B(1,4)，直线 y＝1 2ax 与线段 AB 交于 C，且 AC  ＝2CB  ，则实数 a 等于 ( ) A．2 B．1 C.4 5 D.5 3 答案：A 5．设向量 a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c)，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为( ) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 答案：D 二、填空题 6．已知 A(2,3)，B(1,4)，且1 2 AB  ＝(sin α，cos β)，α，β∈ －π 2 ，π 2 ，则α＋β＝________. 答案：π 6 或－π 2 7．已知 e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以 e1，e2 为基底，将 a 分解成λ1e1＋λ2e2 的形式为________． 答案：a＝1 7e1＋4 7e2 8．已知 A(－3,0)，B(0,2)，O 为坐标原点，点 C 在∠AOB 内，|OC|＝2 2，且∠AOC＝π 4. 设OC  ＝ λOA  ＋OB  (λ∈R)，则λ＝ ________. 答案：2 3 三、解答题 9．已知点 A(－1,2)，B(2,8)及 AC  ＝1 3 AB  ， DA  ＝－1 3 BA  ，求点 C，D 和CD  的坐标． 解：设 C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得 AC  ＝(x1＋1，y1－2)， AB  ＝(3,6)， DA  ＝(－ 1－x2,2－y2)， BA  ＝(－3，－6)． ∵ AC  ＝1 3 AB  ， DA  ＝－1 3 BA  ， ∴(x1＋1，y1－2)＝1 3(3,6)＝(1,2)， (－1－x2,2－y2)＝－1 3(－3，－6)＝(1,2)． 则有 x1＋1＝1， y1－2＝2， －1－x2＝1， 2－y2＝2， 解得 x1＝0， y1＝4， x2＝－2， y2＝0. ∴C，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， 因此CD  ＝(－2，－4)． 10．已知三点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点 P 满足 AP  ＝ AB  ＋λ AC  (λ∈R)． (1)λ为何值时，点 P 在正比例函数 y＝x 的图象上？ (2)设点 P 在第三象限，求λ的取值范围． 解：设 P 点坐标为(x1，y1)，则 AP  ＝(x1－2，y1－3)． AB  ＋λ AC  ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)， 即 AB  ＋λ AC  ＝(3＋5λ，1＋7λ)， 由 AP  ＝ AB  ＋λ AC  ， 可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 则 x1－2＝3＋5λ， y1－3＝1＋7λ， 解得 x1＝5＋5λ， y1＝4＋7λ. ∴P 点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)． (1)令 5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝1 2 ， ∴当λ＝1 2 时，P 点在函数 y＝x 的图象上． (2)因为点 P 在第三象限，∴ 5＋5λ＜0， 4＋7λ＜0， 解得λ＜－1， ∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}． 11．已知向量 u＝(x，y)与向量 v＝(y,2y－x)的对应关系用 v＝f(u)表示． (1)证明：对任意向量 a，b 及常数 m，n，恒有 f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立； (2)设 a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量 f(a)及 f(b)的坐标； (3)求使 f(c)＝(p，q)(p，q 是常数)的向量 c 的坐标． 解：(1)证明：设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则 ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)， ∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1) ＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， ∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立． (2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)． (3)设 c＝(x，y)， 则 f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)， ∴y＝p,2y－x＝q， ∴x＝2p－q， 即向量 c＝(2p－q，p)．