2021版高考数学一轮复习第八章数列8-2等差数列课件理北师大版 22页

第二节　等 差 数 列 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 等差数列与等差中项 (1) 等差数列的定义式 :______=d( 常数 )(n∈N * ). (2) 等差中项 ① 定义 :a,A,b 成等差数列 ,A 叫 a,b 的等差中项 . ② 公式 :a,A,b 成等差数列 ⇔_________. ③ 性质 :{a n } 是等差数列 ⇒2a n+1 =______ 或 2a n =________. a n+1 -a n a n +a n+2 a n+m +a n-m (3) 通项公式及其推广式 ① 通项公式 :a n = _________. ② 推广式 :a n =a m + _______ 推广式的变形 d=_________ ③a n =pn+q(p,q 是常数 )( 即 a n 是 n 的一次函数 ) (4) 前 n 项和公式 S n =______________ 或 S n =__________. a 1 +(n-1)d (n-m)d 2. 等差数列与函数的关系 (1) 等差数列 {a n } 的通项公式可写成 a n =_________, 当 d≠0 时 , 它是关于 n 的 _____ _____, 它的图像是直线 y=dx+(a 1 -d) 上横坐标为正整数的均匀分布的一系列 _____ 的点 . 注 : 当 d>0 时 ,{a n } 是 _____ 数列 ; 当 d<0 时 ,{a n } 是 _____ 数列 ; 当 d=0 时 ,{a n } 是 _______. dn+(a 1 -d) 一次 函数 孤立 递增 递减 常数列 (2) 前 n 项和公式可变形为 S n =_____________, 当 d≠0 时 , 它是关于 n 的常数项为 0 的 _________, 它的图像是抛物线 y= x 2 + x 上横坐标为正整数的均匀分 布的一系列 _________. 注 : 若 a 1 >0,d<0, 则 S n 存在最 ___ 值 ; 若 a 1 <0,d>0, 则 S n 存在最 ___ 值 . 二次函数 孤立的点 小 大 3. 等差数列的常用性质 (1) 若 {a n } 为等差数列 , 且 k+ l =m+n(k, l ,m,n∈N * ), 则 __________. (2) 若 {a n } 是等差数列 , 则 {a 2n } 也是等差数列 , 公差为 ___. (3) 若 {a n },{b n } 是等差数列 , 则 {pa n +qb n } 也是等差数列 . (4) 若 {a n } 是等差数列 , 公差为 d, 则 a k ,a k+m ,a k+2m ,…(k,m∈N * ) 是公差为 ___ 的等差 数列 . (5) 数列 S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,… 也是等差数列 . a k +a l =a m +a n 2d md (6)S 2n-1 =(2n-1)a n . (7) 若 n 为偶数 , 则 S 偶 -S 奇 = ; 若 n 为奇数 , 则 S 奇 -S 偶 =a 中 ( 中间项 ). (8) 两个等差数列 {a n },{b n } 的前 n 项和 S n ,T n 之间的关系为 【知识点辨析】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数 , 则这个数列是等差 数列 . ( 　　 ) (2) 数列 {a n } 为等差数列的充要条件是对任意 n∈N * , 都有 2a n+1 =a n + ( 　　 ) (3) 等差数列 {a n } 的单调性是由公差 d 决定的 . ( 　　 ) (4) 若 {a n } 是等差数列 , 公差为 d, 则数列 {a 3n } 也是等差数列 . ( 　　 ) (5) 等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 若这些常数都相等 , 则这个数列是等差数 列 ; 若这些常数不全相等 , 这个数列就不是等差数列 . (2)√. 如果数列 {a n } 为等差数列 , 根据定义 a n+2 -a n+1 =a n+1 -a n , 即 2a n+1 =a n +a n+2 ; 反之 , 若对任意 n∈N * , 都有 2a n+1 =a n +a n+2 , 则 a n+2 -a n+1 =a n+1 -a n =a n -a n-1 = … =a 2 -a 1 , 根据定义知数列 {a n } 为等差数列 . (3)√ . 当 d>0 时为递增数列 ;d=0 时为常数列 ;d<0 时为递减数列 . (4)√. 因为 {a n } 是等差数列 , 公差为 d, 所以 a 3(n+1) -a 3n =3d( 与 n 值无关的常数 ), 所 以数列 {a 3n } 也是等差数列 . (5)×. 等差数列的前 n 项和公式 S n =na 1 + 显然只有公差 d≠0 时才是关于 n 的常数项为 0 的二次函数 , 否则不是 ( 甚至当 a 1 =d=0 时也不是 n 的 一次函数 ). 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 不能正确进行公式转化 考点一、 T3,5 2 不能正确得出判断 考点二、 T2 3 性质运用不熟练 考点三、角度 1,2 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 5P12 例 3(1) 改编 ) 已知等差数列 -8,-3,2,7, … , 则该数列的第 100 项为 　　　　 .   【解析】 依题意得 , 该数列的首项为 -8, 公差为 5, 所以 a 100 =-8+99×5=487. 答案 : 487 2.( 必修 5P31B 组 T1 改编 ) 有一个阶梯教室 , 共有座位 20 排 , 后一排比前一排多 2 个 座位 , 最后一排有 60 个座位 , 则阶梯教室总共的座位数为 　　　　 .  【解析】 设第 n 排的座位数为 a n (n∈N + ), 数列 {a n } 为等差数列 , 其公差 d=2, 则 a n =a 1 +(n-1)d=a 1 +2(n-1). 由已知 a 20 =60, 得 60=a 1 +2×(20-1), 解得 a 1 =22, 则阶梯 教室总共的座位数为 =820. 答案 : 820 3.( 必修 5P20A 组 T11 改编 ) 在 20 与 100 之间插入 40 个数 , 使之成等差数列 , 则插入的 数之和为 　　　　 .  【解析】 这 42 个数的和为 =2 520, 所以插入的数之和为 2 520- 120=2 400. 答案 : 2 400 【思想方法】 　函数思想在等差数列前 n 项和最值求解中的应用　   【典例】 (2019· 北京高考 ) 设 {a n } 是等差数列 ,a 1 =-10, 且 a 2 +10,a 3 +8,a 4 +6 成等比数列 . (1) 求 {a n } 的通项公式 . (2) 记 {a n } 的前 n 项和为 S n , 求 S n 的最小值 . 【解析】 (1) 设 {a n } 的公差为 d, 则 a 2 +10=a 1 +d+10=d,a 3 +8=a 1 +2d+8=2d-2, a 4 +6=a 1 +3d+6=3d-4, 又因为 a 2 +10,a 3 +8,a 4 +6 成等比数列 , 所以 d(3d-4)=(2d-2) 2 , 即 d=2, 所以 a n =a 1 +(n-1)d=2n-12,n∈N * . (2)S n = =n(n-11), 二次函数 y=x(x-11) 的对称轴为 x=5.5, 所以当 n=5 或 6 时 ,S n 有最小值 -30. 【思想方法指导】 因为数列是特殊的函数关系 , 因此常利用函数的思想解决数列中最值问题 . 在求解等差数列前 n 项和的最值问题时 , 应注意以下三点 : (1) 等差数列的前 n 项和与函数的关系 ; (2)S n 是关于 n 的二次函数 ,(n, S n ) 在二次函数 y=Ax 2 +Bx 的图像上 , 为抛物线 y=Ax 2 +Bx 上一群孤立的点 ; (3) 注意 n 为正整数以及抛物线的开口方向 . 【迁移应用】 已知数列 {a n } 是一个等差数列 , 且 a 2 =1,a 5 =-5. (1) 求 {a n } 的通项公式 a n . (2) 求 {a n } 前 n 项和 S n 的最大值 . 【解析】 (1) 根据等差数列通项公式 a n =a 1 +(n-1)d 变形有 a n =a m +(n-m)d, 则公差 d= , 所以 d= 所以通项公式 a n =a 2 +(n-2)d=1+(n-2)×(-2)=-2n+5. (2) 根据等差数列前 n 项和公式 S n = =na 1 + d 有 S n =3n+ ×(-2)=-n 2 +4n, 配方得 S n =-(n-2) 2 +4, 根据二次函数图像及性质可知 , 当 n=2 时 , 前 n 项和取得最大值 , 最大值为 4.