南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题11：直线与圆、圆与圆 20页

南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 20 页 专题 11：直线与圆、圆与圆 目录 问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2 类型一：圆的方程 ........................................................................................................................................... 2 类型二：直线与圆相切问题 ........................................................................................................................... 5 类型三：直线与圆的相交问题 ....................................................................................................................... 6 类型四：圆上点到直线或点的距离问题 ..................................................................................................... 10 类型五：两圆的位置关系问题 ......................................................................................................................11 综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 12 一、例题分析 ................................................................................................................................................. 12 二、反馈巩固 ................................................................................................................................................. 17 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 20 页 问题归类篇 类型一：圆的方程 一、前测回顾 1.经过三点 A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)的圆的方程为 ． 2.一个圆经过椭圆x2 16＋y2 4＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 ． 3.已知圆 C 的圆心位于第二象限且在直线 y＝2x＋1 上，若圆 C 与两个坐标轴都相切，则圆 C 的标准方程 是 ______. 答案：1. x2＋y2－6x－2y＋5＝0 2. (x±3 2) 2＋y2＝25 4 ; 3.  x＋1 3 2＋ y－1 3 2＝1 9 二、方法联想 求圆的方程 方法 1：三点代入圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，求解 D、E、F． 方法 2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心． 方法 3：直角三角形外接圆的直径为斜边． 优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法 3；若只涉及圆心，可用方法 2；方法 1 可直接求出圆心和半径． 三、方法应用 例 1.在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，焦距为 2， 一条准线方程为 x＝2.P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若点 P 的坐标为(0，b)，求过 P、Q、F2 三点的圆的方程； (3) 若F1P→ ＝λQF1 → ，且 λ∈ 1 2，2 ，求OP→·OQ→ 的最大值． 解：(1) 由题意得  2c＝2， a2 c ＝2，解得 c＝1，a2＝2， 所以 b2＝a2－c2＝1. 所以椭圆的方程为x2 2 ＋y2＝1. (2) 因为 P(0，1)，F1(－1，0)，所以 PF1 的方程为 x－y＋1＝0. 由  x－y＋1＝0， x2 2 ＋y2＝1， 解得  x＝0， y＝1，或   x＝－4 3， y＝－1 3， 所以点 Q 的坐标为 －4 3，－1 3 . (解法 1)因为 kPF1·kPF2＝－1，所以△PQF2 为直角三角形． 因为 QF2 的中点为 －1 6，－1 6 ，QF2＝5 2 3 ， 所以圆的方程为 x＋1 6 2 ＋ y＋1 6 2 ＝25 18. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页 共 20 页 (解法 2)设过 P、Q、F2 三点的圆为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则  1＋E＋F＝0， 1＋D＋F＝0， 17 9 －4 3D－1 3E＋F＝0， 解得  D＝1 3， E＝1 3， F＝－4 3. 所以圆的方程为 x2＋y2＋1 3x＋1 3y－4 3＝0. (3) 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 F1P→ ＝(x1＋1，y1)，QF1 → ＝(－1－x2，－y2)． 因为F1P→ ＝λQF1 → ， 所以  x1＋1＝λ（－1－x2）， y1＝－λy2， 即  x1＝－1－λ－λx2， y1＝－λy2， 所以   （－1－λ－λx2）2 2 ＋λ2y22＝1， x22 2 ＋y22＝1， 解得 x2＝1－3λ 2λ . 所以OP→·OQ→ ＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy22 ＝－λ 2x22－(1＋λ)x2－λ ＝－λ 2   1－3λ 2λ 2 －(1＋λ)·1－3λ 2λ －λ ＝7 4－5 8 λ＋1 λ . 因为 λ∈ 1 2，2 ， 所以 λ＋1 λ≥2 λ·1 λ＝2，当且仅当 λ＝1 λ，即 λ＝1 时取等号． 所以OP→·OQ→ ≤1 2，即OP→·OQ→ 的最大值为1 2. （考查椭圆方程，圆的方程，向量的坐标运算，函数最值） 例 2.设抛物线 2 4C y x： 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 ( 0)kk 的直线l 与C 交于 A ， B 两点，| | 8AB  ． （1）求 l 的方程 （2）求过点 A ， B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得  1,0F ， l 的方程为  –1y k x ， 0k  ． 设  11,A x y ，  22,B x y ．由   2 1 4 y k x yx     得  2 2 2 22 4 0k x k x k    ． 故 2 12 2 24kxx k  ． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 20 页 D C B A O y x 所以     2 12 2 4411kAB AF BF x x k        ． 由题设知 2 2 448k k   ，解得 1k  （舍去）， 1k  ．因此l 的方程为 –1yx ． （2）由（1）得 AB 的中点坐标为 3,2 ，所以 的垂直平分线方程为  23yx    ，即 5yx   ．设所求圆的圆心坐标为 00,xy ，则     00 2 2 00 0 5 11 162 yx yxx        ，解得 0 0 3 2 x y    或 0 0 11 6 x y    ， 因此所求圆的方程为   223 2 16xy    或   2211 6 144xy    ． （考查抛物线定义，圆的方程） 例 3.如图，在平面直角坐标系 XOY 中，已知点 A(－3，4)，B(9，0)， C，D 分别为线段 OA，OB 上的 动点，且满足 AC＝BD． （1）若 AC＝4，求直线 CD 的方程； （2）证明：△OCD 的外接圆恒过定点（异于原点 O）． 解(1)：因为 A(－3，4)，所以 OA＝ （－3）2＋42＝5. 因为 AC＝4，所以 OC＝1，所以 C －3 5，4 5 . 由 BD＝4，得 D(5，0)， 所以直线 CD 的斜率为 0－4 5 5－ －3 5 ＝－1 7， 所以直线 CD 的方程为 y＝－1 7(x－5)，即 x＋7y－5＝0. (2) 证明：设 C(－3m，4m)(00)在交点处的切线互相垂直,则 r＝ ． 答案：(1) x＝1 或 5x＋12y－5＝0；2；3x＋2y－7＝0． (2)(x－3)2＋(y－1)2＝5．(3)3 二、方法联想 相切问题 (1) 位置判断：方法 1：利用 d＝r；方法 2：在已知切点坐标的 情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直． (2)如图，在 Rt△PAC 中，切线长 PA＝ PC2－R2； 当圆外一点引两条切线时， (1)P、A、B、C 四点共圆(或 A、B、C 三点共圆)，其中 PC 为 直径； (2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程． (3)PC 为∠APB 的平分线，且垂直平分线段 AB． 三、方法应用 例 1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋(y－3)2＝2，点 A 是 x 轴上的一个动点，AP，AQ 分别切 圆 C 于 P，Q 两点，则线段 PQ 的长的取值范围是________． (直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化) 答案：[2 3 14,2 2) 例 2.已知圆 M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线 l：x＋y－6＝0，A 为直线 l 上一点．若圆 M 上存在两点 B，C， 使得∠BAC＝60°，则点 A 横坐标的取值范围是__________． (∠BAC 最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题) 答案：[1，5] 四、归类巩固 *1．在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中， 半径最大的圆的标准方程为________． (已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值；或者紧扣直线过定点解题) 答案：(x－1)2＋y2＝2． **2.平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在 x 轴上，从点 P 向圆 C1：x2＋(y－3)2＝5 引切线，切线长为 d1，从 点 P 向圆 C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝7 引切线，切线长为 d2，则 d1＋d2 的最小值为_____． P A B C 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 6 页 共 20 页 (求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题) 答案：5 2 解：设点 P(x，0)，则 d1＝ x2＋(－3)2－5，d2＝ (x－5)2＋42－7，d1＋d2＝ x2＋4＋ (x－5)2＋9， 几何意义：点 P(x，0)到点 M(0，2)，N(5，－3)的距离和． 当 M，P，N 三点共线时，d1＋d2 有最小值 5 2，此时 P(2，0) ***3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(1，－1)，点 P 为圆(x－4)2＋y 2＝4 上任意一点，记 △OAP 和△OBP 的面积分别为 S1 和 S2，则 S1 S2 的最小值是 ▲ ． 答案：2－ 3 (数形结合利用相切情况解决最值问题) 类型三：直线与圆的相交问题 一、 前测回顾 1.已知过定点 P(1，2)的直线 l 交圆 O：x2＋y2＝9 于 A，B 两点，若 AB＝4 2，则直线 l 的方程为 ； 当 P 为线段 AB 的中点时，则直线 l 的方程为 ． 2.已知圆的方程为 x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(－1，4)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边 形 ABCD 的面积为 ． 答案：1.x＝1 或 3x－4y＋5＝0；x＋2y－5＝0．2.30; 二、方法联想 相交弦问题 直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法. (1) 圆心角θ、弦长 L、半径 R 和弦心距 d 中三个量可以建立关系式． 如：(L 2)2＋d2＝R2，d＝Rcos θ 2 ，L 2＝Rsin θ 2 ． (2)相交弦的垂直平分线过圆心． (3)过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直． 三、方法应用 例 1．如图，某工业园区是半径为 10 km 的圆形区域，离园区中心 O 点 5 km 处有一中转站 P，现准备在园 区内修建一条笔直公路 AB 经过中转站，公路 AB 把园区分成两个区域． (1) 设中心 O 对公路 AB 的视角为 α，求 α 的最小值，并求较小区域面积的最小值； (2) 为方便交通，准备过中转站 P 在园区内再修建一条与 AB 垂直的笔直公路 CD，求两条公路长度和 的最小值． 解：(1) 如图 1，作 OH⊥AB，设垂足为 H，记 OH＝d，α＝2∠AOH， 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 7 页 共 20 页 因为 cos∠AOH＝ d 10，要使 α 有最小值，只需要 d 有最大值，结合图象可得 d≤OP＝5 km， 当且仅当 AB⊥OP 时，dmax＝5 km. 此时 αmin＝2∠AOH＝2×π 3 ＝2π 3 . 设 AB 把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为 S， 根据题意可得 S＝f(α)＝S 扇形－S△AOB＝50(α－sinα)， f′(α)＝50(1－cosα)≥0 恒成立，f(α)为增函数， 所以 Smin＝f   2π 3 ＝50   2π 3 － 3 2 km2.(8 分) 答：视角的最小值是2π 3 ，较小区域面积的最小值是 50   2π 3 － 3 2 km2. (2) 如图 2，过 O 分别作 OH⊥AB，OH1⊥CD，垂足分别是 H，H1， 记 OH＝d1，OH1＝d2，由(1)可知 d1∈[0，5]， 所以 d21＋d22＝OP2＝25，且 d22＝25－d21.(10 分) 因为 AB＝2 100－d21，CD＝2 100－d22， 所以 AB＋CD＝2( 100－d21＋ 100－d22) ＝2( 100－d21＋ 75＋d21)，(11 分) 记 L(d1)＝AB＋CD＝2( 100－d21＋ 75＋d21)， 可得 L2(d1)＝4[175＋2 （100－d21）（75＋d21）]， 由 d21∈[0，25]，可得 d21＝0，或 d21＝25 时，L2(d1)的最小值是 100(7＋4 3)， 从而 AB＋CD 的最小值是 20＋10 3 km. 答：两条公路长度和的最小值是 20＋10 3 km. （考查圆的垂径定理，圆的几何性质，弓形面积求法，函数的最值的求法等等）. 例 2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 (2,4)P ，圆 O： 224xy与 x 轴的正半轴的交点是 Q， 过点 P 的直线l 与圆 O 交于不同的两点 A，B． （1）若直线 与 y 轴交于 D，且 16DP DQ，求直线 的方程； （2）设直线 QA，QB 的斜率分别是 12,kk，求 12kk 的值； （3）设 AB 的中点为 M，点 N 4( ,0)3 ，若 13 3MN OM ，求 QAB 的面积． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 8 页 共 20 页 x y D M B A QO P N 解：（1）若直线l 垂直与 x 轴，则方程为 2x  ，与圆只有一个交点，不合题意． 故 存在斜率，设直线 的方程为 4 ( 2)y k x   即 2 4 0kx y k    ，圆心到直线 的距离 2 24 1 kd k   ， 因为直线 与圆 O 交于不同的两点 A，B，所以 2 242 1 kd k   ，解得 3 4k  ． 又 (0, 2 4)Dk， (2,0)Q ，所以 (2,2 4), (2,2 )DQ k DP k   所以 4 2 (2 4) 16DP DQ k k     ，解得 3k  或 1k  （舍去）， 所以直线 的方程是3 2 0xy   ． （2）联立 22 4 ( 2) 4 y k x xy      得 2 2 2(1 ) 4 ( 2) (2 4) 4 0k x k k x k       设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 12 2 2 12 2 4 ( 2) 1 (2 4) 4 1 kkxx k kxx k       所以 12 12 1 2 1 2 ( 2) 4 ( 2) 4 2 2 2 2 yyk x k xkk x x x x            12 1 2 1 2 1 2 4( 4)44222 2 2( ) 4 xxkkx x x x x x          2 2 22 4 ( 2)4( 4)12 (2 4) 4 4 ( 2)2411 kk kk k k k kk      南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 9 页 共 20 页 4(8 4)2 2 2 1 116 kk k k       ． 即 12kk 的值是 1 （3）法一：设中点 00( , )M x y ， 则由（2）知 12 0 2 00 2 4 ( 2) 21 2( 2)( 2) 4 1 xx kkx k ky k x k           （*） 又由 13 3MN OM ，得 2 2 2 2 0 0 0 0 4 13( ) ( )39x y x y    化简得 22 0 0 06 4 0x y x    ， 将（*）代入解得 1k  ． 因为圆心到直线l 的距离 2 24 2 1 kd k   ， 所以 22 4 2 2AB d   ，Q 到直线 的距离 22h  ， 所以 1 42ABQS AB h    即 QAB 面积为 4． 法二：设中点 ( , )M x y ， 由 ，化简得 226 4 0x y x    ，① 又OM PM ，所以 M 在以 OM 为直径的圆上（在圆 O 的内部） 即 22( 1) ( 2) 5xy    ② 联立①②解得 ( 1, 1)M  ，再求得 面积为 4． 四、归类巩固 *1.直线 l1：y＝kx＋3 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝4 相交于 M，N 两点，若 MN≥2 3，则 k 的的取值范 围是________． (已知弦长范围，求参数取值范围) 答案： [－ 3 3 , 3 3 ] *2.过点 P(－4,0)的直线 l 与圆 C：(x－1)2＋y2＝5 相交于 A,B 两点,若点 A 恰好是线段 PB 的中点，则直 线 l 的方程为________． (已知弦的性质，求直线方程) 答案：x±3 y＋4＝0 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 10 页 共 20 页 **3.已知直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线交 x 轴于 C，D 两点，若 AB＝2 3，则 CD＝ ． (已知弦长，求直线方程及有关量的取值) 答案：4 ***4.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1：(x＋1)2＋(y－6)2＝25，圆 C2：(x－17)2＋(y－30)2＝r2.若圆 C2 上 存在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A，B，满足 PA＝2AB，则半径 r 的取值范围是 ________． (已知两弦长关系求参数范围问题) 答案：[5，55] 类型四：圆上点到直线或点的距离问题 一、 前测回顾 1.已知实数 x,y 满足 x2＋y2＝4， 则(x－3)2＋(y－4)2 的范围是 . 2.圆 C：x2＋(y－2)2＝R2(R＞0)上恰好存在 2 个点，它到直线 y＝ 3x－2 上的距离为 1，则 R 的取值范围 为 ． 答案：1. [9，49]; 2.1＜R＜3． 二、方法联想 圆上的点到直线的距离 (1)当直线与圆相离时， 圆上点到直线距离，在点 A 处取到最大值 d＋R，在点 B 取到最小值 d－R． (2)当直线与圆；在圆外时，圆上的点到点的最大距离是 d＋R，最小距离是 d－R． (1) 当点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是 d＋R，最小距离是 R－d. 圆上的点到点的距离 (1)当已知点在圆外时， 圆上点到已知点距离最大值 d＋R，最小值 d－R． (2) 当已知点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是 d＋R，最小距离是 R－d. 三、 方法应用 例 1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是直线 l：y＝x－2 上的动点，点 A,B 分别是圆 C1：(x＋3)2＋(y －1)2＝4 和圆 C2：x2＋(y－3)2＝1 上的两个动点，则 PA+PB 的最小值为 . 答案： 73－3. (考查点与圆的距离问题，点关于直线的对称问题) 例 2. 已知点 A(0，2)为圆 M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外一点，圆 M 上存在点 T 使得∠MAT＝45°， 则实数 a 的取值范围是________________． 答案： 3－1≤a＜1 解析：点 A(0，2)在圆 M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外，得 4－4a＞0，则 a＜1. 圆 M 上存在点 T 使得∠MAT＝45°，则AM 2 ≤r＝ 2a，即 AM≤2a，(a－2)2＋a2≤4a2(a＞0)，解得 3－1≤a. 综上，实数 a 的取值范围是 3－1≤a＜1. （考查了点与圆的位置关系，两点之间的距离，一元二次不等式解法等内容） 例 3.已知圆 C：(x－2)2＋y2＝4，线段 EF 在直线 l：y＝x＋1 上运动，点 P 为线段 EF 上任意一点，若圆 C 上存在两点 A，B，使得PA→·PB→≤0，则线段 EF 长度的最大值是________． 答案： 14 (考查直线与圆的位置关系，解三角形，向量的数量积，两点间距离) 四、 归类巩固 *1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 . C B A 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 11 页 共 20 页 答案：（－13，13） (已知圆上点到直线距离求参数范围) **2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，圆 C 与 y 轴交于点 O,B，其中 O 为原点．设 P 为直线 l:x＋y＋2＝0 上的动点，Q 为圆 C 上的动点，求 PB+PQ 的最小值及此时点 P 的坐标． 答案：PB+PQ 的最小值为 2 5,此时 P 点坐标为(－4 3，－2 3) 考查点圆距离与点线距离的综合问题 类型五：两圆的位置关系问题 一、 前测回顾 1.已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0 和圆 C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若两圆相交，实数 m 的取值范围为 ． 2.已知圆 O1 ：x2 ＋y2 －4x－2y－4＝0，圆 O2 ：x2 ＋y2 －6x＋2y＋6＝0，则两圆的公共弦长度 为 ． 答案：1.－5＜m＜－2 或－1＜m＜2;2.4． 二、方法联想 两圆位置关系问题 位置关系 d 与 r1，r2 的关系 公切线条数 外离 d＞r1＋r2 4 外切 d＝r1＋r2 3 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 2 内切 d＝|r1－r2| 1 内含 0＜d＜|r1－r2| 0 两圆相交问题 (1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程． (2)两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦． 两圆相切问题 两圆相切时，两圆圆心的连线过两圆的切点． 三、方法应用 例 1. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 y＝x＋1 与 x 轴，y 轴分别交于 M,N 两点，点 P 在圆(x－a)2＋y2 ＝2 上运动，若∠MPN 恒为锐角，则实数 a 的取值范围是 . 答案：(－∞，－1－ 7)∪( 7－1，＋∞) (考查两圆的位置关系) 例 2.在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 为 x 轴正半轴上的两个动点，P(异于原点 O)为 y 轴上的一个定点．若 以 AB 为直径的圆与圆 x2＋(y－2)2＝1 相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段 OP 的长为________． 答案： 3 (考查两圆的位置关系，定值问题处理方法) 例 3.已知直线l ： 20xy与 x 轴交于点 A ，点 P 在直线 上，圆C ： 22( 2) 2xy   南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 12 页 共 20 页 上有且仅有一个点 B 满足 AB BP ，则点 P 的横坐标的取值集合为 ． 答案： 1 ,53  (考查两圆的内切外切关系，计算量较大，也可以两圆相减转化为线圆相切等) 四、归类巩固 *1. 若两点 A(1，0)，B(3，2 3)到直线 l 的距离均等于 1，则直线 l 的方程为 ． (转化为两圆位置关系看公切线条数或者研究直线与线段 A B 平行和过线段 A B 中点两种情况) 答案： 3x－y ＋2－ 3＝0 或 3x－y －2－ 3＝0 或 x－ 3y＋1＝0 或 x－2＝0. **2.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线 l：y＝kx＋3 与圆 C 相交于 A， B 两点，M 为弦 AB 上一动点，以 M 为圆心，2 为半径的圆与圆 C 总有公共点，则实数 k 的取值范围 为________． (已知两圆位置关系，求参数取值范围) 答案：[－3 4,＋∞) ***3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点 P 在直线 x＋ 3y－b＝ 0 上，过 P 分别作圆 O，O1 的切线，切点分别为 A，B，若满足 PB＝2PA 的点 P 有且只有两个，则实 数 b 的取值范围是________． (已知两圆切线长的关系，求参数取值范围) 答案： (－20 3 ,4) 综合应用篇 一、例题分析 例 1．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 上一点 P（0， 2）到椭圆 C 的右焦点的距离为 6． *（1）求椭圆 C 的方程； ***（2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l1，l2，且 l1 交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 l2 交圆 Q 于 C，D 两点， 且 M 为 CD 的中点，求△ MAB 的面积的取值范围． 解：(1)x2 8＋y2 4＝1 (2) 记△ MAB 的面积为 S， 当直线 l1 的斜率不存在时，可求得 S＝4. 当直线 l1 的斜率存在时，设为 k(k≠0),则 l1:y＝kx＋ 2，l2:y＝－1 kx＋ 2 设 A(x1，y1)， B(x2，y2) 由 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 13 页 共 20 页   x2 8＋y2 4＝1 y＝kx＋ 2 得(1＋2k2)x2＋4 2kx－4＝0 ，则 x1＋x2＝－ 4 2k 1＋2k2，x1x2＝－ 4 1＋2k2 ， AB＝ 1＋k2|x1－x2|＝4 (1＋k2)(4k2＋1) 2k2＋1 又圆心 Q(2， 2)到 l2 的距离 d1＝ 2 1＋k2 ＜ 2 ，得 k2＞1 又 MP⊥AB，QM⊥CD，所以 M 点到 AB 的距离等于 Q 点到 AB 的距离，设为 d2，即 d2＝|2k－ 2＋ 2| 1＋k2 ＝ 2|k| 1＋k2 所以△MAB 面积 S＝1 2|AB|d2＝4|k| 4k2＋1 2k2＋1 ＝4 k2(4k2＋1) (2k2＋1)2 令 t＝2k2＋1∈(3，＋∞)，，则1 t∈(0，1 3)，S＝4 2t2－3t＋1 2t2 ＝4 1 2(1 t－3 2)2－1 8∈(4 5 3 ，4)， 综上， MAB 面积的取值范围为(4 5 3 ，4]. 〖教学建议〗 （1）问题归类与方法： 1.相交弦问题 直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法. ○1 圆心角θ、弦长 L、半径 R 和弦心距 d 中三个量可以建立关系式． 如：(L 2)2＋d2＝R 2，d＝Rcos θ 2 ，L 2＝Rsin θ 2 ． ○2 相交弦的垂直平分线过圆心． 2.直线与椭圆的位置关系 3.换元法求函数的最值 （2）方法选择与优化：本题计算面积时求高的方法不同，导致解题的繁简程度不同，答案中巧妙的运 用圆的几何性质避开求 M 点坐标，也可以利用勾股定理求高 22,MQPM PQ MQ 即是点 Q 到 PD 的 距离，此题也可以设直线 PD 的斜率为 k，简化 PM 的形式. 例 2．在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知 A1、A2、B1、B2 是椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的四个顶点， △A1B1B2 是一个边长为 2 的等边三角形，其外接圆为圆 M. * (1) 求椭圆 C 及圆 M 的方程； (2) 若点 D 是圆 M 劣弧A1B2 ︵ 上一动点(点 D 异于端点 A1、B2)，直线 B1D 分别交线段 A1B2、椭圆 C 于 点 E、G，直线 B2G 与 A1B1 交于点 F. * * * (ⅰ) 求GB1 EB1 的最大值； * * (ⅱ) 试问：E、F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 14 页 共 20 页 解：(1) 由题意知，B2(0，1)，A1(－ 3，0)， 所以 b＝1，a＝ 3， 所以椭圆 C 的方程为x2 3 ＋y2＝1. 易得圆心 M   － 3 3 ，0 ，A1M＝2 3 3 ， 所以圆 M 的方程为   x＋ 3 3 2 ＋y2＝4 3. (2) 设直线 B1D 的方程为 y＝kx－1   k＜－ 3 3 ， 与直线 A1B2 的方程 y＝ 3 3 x＋1 联立，解得点 E( 2 3 3k－1， 3k＋1 3k－1)， 联立  y＝kx－1， x2 3 ＋y2＝1，消去 y 并整理，得 (1＋3k2)x2－6kx＝0， 解得点 G 6k 3k2＋1，3k2－1 3k2＋1 ， (ⅰ) GB1 EB1 ＝|xG| |xE|＝ | 6k 3k2＋1| | 2 3 3k－1| ＝3k2－ 3k 3k2＋1 ＝1－ 3k＋1 3k2＋1 ＝1＋ 1 －（ 3k＋1）＋ 2 －（ 3k＋1）＋2 ≤1＋ 1 2 2＋2＝ 2＋1 2 ， 当且仅当 k＝－ 6＋ 3 3 时，取“＝”， 所以GB1 EB1 的最大值为 2＋1 2 . (ⅱ) 直线 B2G 的方程为 y＝ 3k2－1 3k2＋1－1 6k 3k2＋1 x＋1＝－ 1 3kx＋1， 与直线 A1B1 的方程 y＝－ 3 3 x－1 联立，解得点 F( －6k 3k－1， 3k＋1 3k－1)， 所以 E、F 两点的横坐标之和为 2 3 3k－1＋ －6k 3k－1＝－2 3. 故 E、F 两点的横坐标之和为定值，该定值为－2 3. 〖教学建议〗 （1） 问题归类与方法： 1.求圆的方程 方法 1：三点代入圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，求解 D、E、F． 方法 2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心． 方法 3：直角三角形外接圆的直径为斜边． 2.联立两直线方程求交点坐标 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 15 页 共 20 页 3.共线或平行的弦长比转化为坐标之比 4.利用基本不等式求函数最值 （2）方法选择与优化：（1）问中求圆的方程方法 1 与 2 都可以，考虑到正三角形直接求重心即圆心， 得圆标准方程比较快些，本问椭圆易错成“a＝2”； （2）问中斜率 k 的范围易错，以斜率 k 为自变量时，利用基本不等式求函数最值，或者导数法.也可以 借助椭圆参数方程设 G( 3cosα，sinα)(π 2 ＜α＜π) , 上面的方法中的 k＝kGB1 ＝sinα＋1 3cosα ，最后GB1 EB1 ＝ sinα－cosα＋1 2 ＝ 2sin(α－π 4 )＋1 2 形式比较简洁,此法也可以参考. 例 3.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E:x2 2＋y2＝1 ，如图，动直线l ： 1 3 2y k x交椭圆 E 于 ,AB两 点，C 是椭圆 E 上一点，直线OC 的斜率为 2k ，且 12 2 4kk  ， M 是线段OC 延长线上一点，且 : 2:3MC AB  ， M 的半径为 MC ， ,OS OT 是 的两条切线，切点分别为 ,ST.求 SOT 的最大值， 并求取得最大值时直线l 的斜率. 解：设 A(x1，y1)， B(x2，y2) ，联立方程    x2 2＋y2＝1 y＝k1x－ 3 2 得(4k21＋2)x2－4 3k1x－1＝0，由题意知△＞0，且 x1＋x2＝2 3k1 2k21＋1， x1x2＝－ 1 2(2k21＋1) ， 所以|AB|＝ 1＋k21|x1－x2|＝ 2 1＋k21 1＋8k21 2k21＋1 . 由题意可知圆 M 的半径 r 为 r＝2 2 3 1＋k12 1＋8k12 2k12＋1 由题设知 k1k2＝ 2 4 ，所以 k2＝ 2 4k1 因此直线 OC 的方程为 y＝ 2 4k1 x. 联立方程    x2 2＋y2＝1 y＝ 2 4k1 x 得 x2＝ 8k21 1＋4k21 ，y2＝ 1 1＋4k21 ，因此|OC|＝ x2＋y2＝ 1＋8k21 1＋4k21 . 由题 sin∠SOM＝ r r＋OC＝ 1 1＋OC r 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 16 页 共 20 页 OC r ＝ OC 2 3AB ＝ 1＋8k21 1＋4k21 ·3 2 1 2 1＋k21 1＋8k21 2k21＋1 ＝3 2 2k21＋1 4k21＋1 2k21＋2 ≥3 2 2k21＋1 (4k21＋1)＋(2k21＋2) 2 ＝3 2×2 3＝1 当且仅当 4k21＋1＝2k21＋2 即 k1＝± 2 2 取等 当OC r ＝1 时，(sin∠SOM)max＝1 2 ，y＝sinx 在(0，π 2 ) 上单调增，(∠SOT)max＝π 6 (∠SOT)max＝π 3 综上∠SOT 最大值为π 3 ，取得最大值时直线l 的斜率为± 2 2 . 〖教学建议〗 （1）问题归类与方法： 1.相切问题 如图，当圆外一点引两条切线时，在 Rt△PAC 中. PC 为∠APB 的平分线，且垂直平分线段 AB． 2. 直线与二次曲线的弦长公式. 3.利用换元法或基本不等式法等求函数最值. （2）方法选择与优化：求 函数 最值 时 可以 通过换元法令 t＝1＋2k 21 (t＞1) 最终 化为OC r ＝3 2 1 －(1 t－1 2)2＋9 4 此方法比较基本.当然也可以分子分母展开后利用分离常数法求最值。 例 4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆方程为 x2 4＋y2＝1，圆 C：（ x－1）2＋y2＝r2． *（1）求椭圆上动点 P 与圆心 C 距离的最小值； ***（2）如图，直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，且与圆 C 相切于点 M，若满足 M 为线段 AB 中点的 直线 l 有 4 条，求半径 r 的取值范围． 解：（1）PCmin＝ 6 3 （2） 当 AB 的斜率不存在与圆 C 相切时，M 在 x 轴上，故满足条 件的直线有两条； P A B C 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 17 页 共 20 页 当 AB 的斜率存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0) 由   x12 4 ＋y12＝1 x22 4 ＋y22＝1 两式相减得y1－y2 x1－x2 ·y1＋y2 x1＋x2 ＝－1 4 即 kAB·y0 x0 ＝－1 4,由题可知直线 MC 的斜率肯定存在，且 kMC＝ y0 x0－1， 又 MC⊥AB ,则 kAB＝－x0－1 y0 ，所以－x0－1 y0 ·y0 x0 ＝－1 4，x0＝4 3 ，因为 M 在椭圆内部，则x02 4 ＋y02＜1 ，0＜y20＜5 9 ，所以 r2＝(x0－1)2＋y02＝1 9＋y02∈(1 9，2 3) ，故半径 r∈(1 3， 6 3 ) . 〖教学建议〗 （1）问题归类与方法： 1.直线与圆相切问题 方法 1：利用 d＝r；方法 2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直． 2.直线与椭圆有两交点位置关系判断 方法 1：联立方程组利用△＞0 ；方法 2：弦中点在椭圆内部. （2）方法选择与优化：中点弦问题转化为点差法解决，也可以用设直线 AB 为 y＝kx＋m 联立椭圆得(1 ＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0(*) ，利用韦达定理得 M(－ 4km 4k2＋1， m 4k2＋1) ，由 MC⊥AB 得 m＝－4k2＋1 3k 由 (*)△＞0 得 m2＜4k2＋1 ，将 m＝－4k2＋1 3k 代入解得 k2＞1 5 ，所以 r＝ |k＋m| k2＋1 ＝1 3 1＋1 k2∈(1 3， 6 3 ) . 二、反馈巩固 *1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的圆心在第一象限，圆 C 与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，且 与直线 x－y＋1＝0 相切，则圆 C 的半径为________． 答案： 2 (考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系) *2．设 m∈R，过定点 A 的动直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y－m＋3＝0 交于点 P(x，y)， 则 PA·PB 的最大值是________． 答案：5 (考查直线过定点问题，基本不等式求最值) **3．在平面直角坐标系xOy 中，圆 C：x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2 上至少存在一点，使得以该点为 圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 ． 答案：4 3 (考查圆与圆的位置关系，点到直线的距离) *4．过点 P(1，3)向圆 x2＋y2＝2 的作两条切线 PA，PB，A，B 为切点，则∠APB 的正切值等于________． 答案：4 3 (考查直线与圆相切的性质，切线长的计算，二倍角的正切公式) *5．已知直线 x＋3y－7＝0，kx－y－2＝0 和 x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，则实数 k＝________． 答案：3 (考查两直线位置关系，圆的几何性质) 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 18 页 共 20 页 *6．设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和圆(x－6)2＋y2＝8 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 ． 答案：9 2 (考查圆的几何性质，解析几何中的最值问题) *7．过圆 x2＋y2＝4 内一点 P(1,1)作两条相互垂直的弦 AC，BD，当 AC＝BD 时，四边形 ABCD 的面积为 ________． 答案：6 (考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离) ***8．设集合 A＝{(x，y)|m 2≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若 A∩B≠， 则实数 m 的取值范围是___________． 答案：[1 2，2＋ 2] (考查集合的含义，直线与圆的位置关系，不等式表示的平面区域及综合分析问题的 能力) **9．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点 P 在以点 C 为圆心，且与直线 BD 相切的圆内运动，设AP→＝αAD→＋βAB→（α，β∈R），则 α+β 的取值范围是 答案：(1，5 3) （考查建系法解决向量问题，圆的标准方程，线性规划解决线性问题等等，本题也可以用向量的等和线解 决范围 α+β 问题） ***10.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C:x2＋y2＝r2，点 A(3，0)，B(0，4)，若点 P 为线段 AB 上的任意点， 在圆 C 上均存在两点 M、N，使得PM→＝MN →，则半径 r 的取值范围 ▲ 答案：[4 3，12 5 ) （考查圆的定比分点问题，垂径定理，勾股定理，方程组有解，不等式恒成立问题） 11．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，3)，直线 l：y＝2x－4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上． * (1)若圆心 C 也在直线 y＝x－1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； ** (2)若圆 C 上存在点 M，使 MA＝2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围． 答案：(1)y＝3 或 3x＋4y－12＝0； (2)a 的取值范围为[0，12 5 ]． x y A l O B 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 19 页 共 20 页 (考查直线与圆相切问题，求轨迹方程问题，两曲线交点问题及圆与圆位置关系问题) 12． 已知以点 A(－1，2)为圆心的圆与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相切．过点 B(－2，0)的动直线 l 与圆 A 相交 于 M，N 两点，Q 是 MN 的中点，直线 l 与 l1 相交于点 P． *(1)求圆 A 的方程； *(2)当 MN＝2 19时，求直线 l 的方程； ** (3)BQ→ ·BP→是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 答案：(1) (x＋1)2＋(y－2)2＝20； (2) x＝－2 或 3x－4y＋6＝0； (3) BQ→ ·BP→为定值－5． (考查求圆的方程，割线方程，弦长问题及定值问题) 13.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的下顶点为 B，点 M．N 是椭圆上 异于点 B 的动点，直线 BM，BN 分别与 x 轴交于点 P，Q，且点 Q 是线段 OP 的中点．当点 N 运动到 点( 3， 3 2 )处时，点 Q 的坐标为(2 3 3 ，0)． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 MN 交 y 轴于点 D，当点 M，N 均在 y 轴右侧，且→ DN＝2 → NM时，求直线 BM 的方程． 解：（1）由 N( 3， 3 2 )，Q(2 3 3 ，0)，得直线 NQ 的方程为 y＝3 2x－ 3． 令 x＝0，得点 B 的坐标为(0，－ 3)． 所以椭圆的方程为x2 a2＋y2 3＝1 ． 将点 N 的坐标( 3， 3 2 )代入，得( 3)2 a2 ＋ ( 3 2 )2 3 ＝1，解得 a2＝4． 所以椭圆 C 的标准方程为x2 4＋y2 3＝1． （2）方法一：设直线 BM 的斜率为 k(k＞0)，则直线 BM 的方程为 y＝kx－ 3． 在 y＝kx－ 3中，令 y＝0，得 xP＝ 3 k ，而点 Q 是线段 OP 的中点，所以 xQ＝ 3 2k． 所以直线 BN 的斜率 kBN＝kBQ＝0－(－ 3) 3 2k－0 ＝2k． x y O B N M P Q D (第 13 题) 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 20 页 共 20 页 联立  y＝kx－ 3， x2 4＋y2 3＝1 ，消去 y，得(3＋4k2)x2－8 3kx＝0，解得 xM＝ 8 3k 3＋4k2 ． 用 2k 代 k，得 xN＝ 16 3k 3＋16k2 ． 又→ DN＝2 → NM，所以 xN＝2(xM－xN)，得 2xM＝3xN． 故 2 8 3k 3＋4k2＝3 16 3k 3＋16k2，又 k＞0，解得 k＝ 6 2 ． 所以直线 BM 的方程为 y＝ 6 2 x－ 3． 方法二：设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 由 B(0，－ 3)，得直线 BM 的方程为 y＝ y1＋ 3 x1 x－ 3， 令 y＝0，得 xP＝ 3x1 y1＋ 3． 同理，得 xQ＝ 3x2 y2＋ 3． 而点 Q 是线段 OP 的中点，所以 xP＝2xQ，故 3x1 y1＋ 3＝2 3x2 y2＋ 3． 又→ DN＝2 → NM，所以 x2＝2(x1－x2)，得 x2＝2 3x1＞0，从而 1 y1＋ 3＝ 4 3 y2＋ 3， 解得 y2＝4 3y1＋ 3 3 ． 将  x2＝2 3x1， y2＝4 3y1＋ 3 3 ， 代入到椭圆 C 的方程中，得x12 9 ＋(4y1＋ 3)2 27 ＝1． 又 x12＝4(1－y12 3 )，所以 4(1－y12 3 ) 9 ＋(4y1＋ 3)2 27 ＝1， 即 3y12＋2y1－ 3＝0， 解得 y1＝－ 3（舍）或 y1＝ 3 3 ．又 x1＞0，所以点 M 的坐标为 M(4 2 3 ， 3 3 )． 故直线 BM 的方程为 y＝ 6 2 x－ 3．