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  • 2021-06-12 发布

2014年重庆市高考数学试卷(文科)

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‎2014年重庆市高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)实部为﹣2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.(5分)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=(  )‎ A.5 B.8 C.10 D.14‎ ‎3.(5分)某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为(  )‎ A.100 B.150 C.200 D.250‎ ‎4.(5分)下列函数为偶函数的是(  )‎ A.f(x)=x﹣1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x﹣2﹣x D.f(x)=2x+2﹣x ‎5.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为(  )‎ A.10 B.17 C.19 D.36‎ ‎6.(5分)已知命题:p:对任意x∈R,总有|x|≥0,q:x=1是方程x+2=0的根;则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧¬q B.¬p∧q C.¬p∧¬q D.p∧q ‎7.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.12 B.18 C.24 D.30‎ ‎8.(5分)设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|﹣|PF2|)2=b2﹣3ab,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C.4 D.‎ ‎9.(5分)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(  )‎ A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)=,且g(x)=f(x)﹣mx﹣m在(﹣1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(﹣,﹣2]∪(0,] B.(﹣,﹣2]∪(0,] C.(﹣,﹣2]∪(0,] D.(﹣,﹣2]∪(0,]‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,把答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎11.(5分)已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B=  .‎ ‎12.(5分)已知向量与的夹角为60°,且=(﹣2,﹣6),||=,则•=  .‎ ‎13.(5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<‎ ‎)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则f()=  .‎ ‎14.(5分)已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为  .‎ ‎15.(5分)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为  (用数字作答).‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(13分)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.‎ ‎(Ⅰ)求an及Sn;‎ ‎(Ⅱ)设{bn}是首项为2的等比数列,公比为q满足q2﹣(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ ‎17.(13分)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:‎ ‎(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;‎ ‎(Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;‎ ‎(Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.‎ ‎18.(13分)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8.‎ ‎(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;‎ ‎(Ⅱ)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.‎ ‎19.(12分)已知函数f(x)=+﹣lnx﹣,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.‎ ‎(Ⅰ)求a的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值.‎ ‎20.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.‎ ‎(Ⅰ)证明:BC⊥平面POM;‎ ‎(Ⅱ)若MP⊥AP,求四棱锥P﹣ABMO的体积.‎ ‎21.(12分)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2014年重庆市高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2014•重庆)实部为﹣2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【分析】根据复数的几何意义,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:实部为﹣2,虚部为1的复数所对应的点的坐标为(﹣2,1),位于第二象限,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•重庆)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=(  )‎ A.5 B.8 C.10 D.14‎ ‎【分析】由题意可得a4=5,进而可得公差d=1,可得a7=a1+6d,代值计算即可.‎ ‎【解答】解:∵在等差数列{an}中a1=2,a3+a5=10,‎ ‎∴2a4=a3+a5=10,解得a4=5,‎ ‎∴公差d==1,‎ ‎∴a7=a1+6d=2+6=8‎ 故选:B ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•重庆)某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为(  )‎ A.100 B.150 C.200 D.250‎ ‎【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数,利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值.‎ ‎【解答】解:分层抽样的抽取比例为=,‎ 总体个数为3500+1500=5000,‎ ‎∴样本容量n=5000×=100.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•重庆)下列函数为偶函数的是(  )‎ A.f(x)=x﹣1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x﹣2﹣x D.f(x)=2x+2﹣x ‎【分析】根据偶函数的定义,依次分析选项,先分析函数的定义域,再分析f(﹣x)=f(x)是否成立,即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,依次分析选项:‎ A、f(x)=x﹣1,其定义域为R,f(﹣x)=﹣x﹣1,f(﹣x)≠f(x),不是偶函数,不符合题意;‎ B、f(x)=x2+x,其定义域为R,f(﹣x)=x2﹣x,f(﹣x)≠f(x),不是偶函数,不符合题意;‎ C、f(x)=2x﹣2﹣x,其定义域为R,f(﹣x)=2﹣x﹣2x,f(﹣x)=﹣f(x),是奇函数不是偶函数,不符合题意;‎ D、f(x)=2x+2﹣x,其定义域为R,f(﹣x)=2﹣x+2x,f(﹣x)=f(x),是偶函数,符合题意;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•重庆)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为(  )‎ A.10 B.17 C.19 D.36‎ ‎【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件k<10,跳出循环体,计算输出S的值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:第一次循环S=2,k=2×2﹣1=3;‎ 第二次循环S=2+3=5,k=2×3﹣1=5;‎ 第三次循环S=5+5=10,k=2×5﹣1=9;‎ 第四次循环S=10+9=19,k=2×9﹣1=17,‎ 不满足条件k<10,跳出循环体,输出S=19.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•重庆)已知命题:p:对任意x∈R,总有|x|≥0,q:x=1是方程x+2=0的根;则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧¬q B.¬p∧q C.¬p∧¬q D.p∧q ‎【分析】判定命题p,q的真假,利用复合命题的真假关系即可得到结论.‎ ‎【解答】解:根据绝对值的性质可知,对任意x∈R,总有|x|≥0成立,即p为真命题,‎ 当x=1时,x+2=3≠0,即x=1不是方程x+2=0的根,即q为假命题,‎ 则p∧¬q,为真命题,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.12 B.18 C.24 D.30‎ ‎【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高,判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据,把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算.‎ ‎【解答】解:由三视图知:几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图:‎ 三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3,‎ 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形,‎ ‎∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•重庆)设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|﹣|PF2|)2=b2﹣3ab,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C.4 D.‎ ‎【分析】根据(|PF1|﹣|PF2|)2=b2﹣3ab,由双曲线的定义可得(2a)‎ ‎2=b2﹣3ab,求得a=,c==b,即可求出双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:∵(|PF1|﹣|PF2|)2=b2﹣3ab,‎ ‎∴由双曲线的定义可得(2a)2=b2﹣3ab,‎ ‎∴4a2+3ab﹣b2=0,‎ ‎∴a=,‎ ‎∴c==b,‎ ‎∴e==.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•重庆)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(  )‎ A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4‎ ‎【分析】利用对数的运算法则可得>0,a>4,再利用基本不等式即可得出 ‎【解答】解:∵3a+4b>0,ab>0,‎ ‎∴a>0.b>0‎ ‎∵log4(3a+4b)=log2,‎ ‎∴log4(3a+4b)=log4(ab)‎ ‎∴3a+4b=ab,a≠4,a>0.b>0‎ ‎∴>0,‎ ‎∴a>4,‎ 则a+b=a+=a+=a+3+=(a﹣4)++7+7=4+7,当且仅当a=4+2取等号.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•重庆)已知函数f(x)=‎ ‎,且g(x)=f(x)﹣mx﹣m在(﹣1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(﹣,﹣2]∪(0,] B.(﹣,﹣2]∪(0,] C.(﹣,﹣2]∪(0,] D.(﹣,﹣2]∪(0,]‎ ‎【分析】由g(x)=f(x)﹣mx﹣m=0,即f(x)=m(x+1),作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由g(x)=f(x)﹣mx﹣m=0,即f(x)=m(x+1),‎ 分别作出函数f(x)和y=h(x)=m(x+1)的图象如图:‎ 由图象可知f(1)=1,h(x)表示过定点A(﹣1,0)的直线,‎ 当h(x)过(1,1)时,m=此时两个函数有两个交点,此时满足条件的m的取值范围是0<m≤,‎ 当h(x)过(0,﹣2)时,h(0)=﹣2,解得m=﹣2,此时两个函数有两个交点,‎ 当h(x)与f(x)相切时,两个函数只有一个交点,‎ 此时,‎ 即m(x+1)2+3(x+1)﹣1=0,‎ 当m=0时,x=,只有1解,‎ 当m≠0,由△=9+4m=0得m=﹣,此时直线和f(x)相切,‎ ‎∴要使函数有两个零点,‎ 则﹣<m≤﹣2或0<m≤,‎ 故选:A ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,把答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎11.(5分)(2014•重庆)已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B= {3,5,13} .‎ ‎【分析】根据题意,分析集合A、B的公共元素,由交集的意义即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},‎ A、B公共元素为3、5、13,‎ 则A∩B={3,5,13},‎ 故答案为:{3,5,13}.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•重庆)已知向量与的夹角为60°,且=(﹣2,﹣6),||=,则•= 10 .‎ ‎【分析】利用向量的模、夹角形式的数量积公式,求出即可 ‎【解答】解:∵=(﹣2,﹣6),‎ ‎∴,‎ ‎∴=2=10.‎ 故答案为:10.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•重庆)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则f()=  .‎ ‎【分析】哟条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得sin(2ωx+φ﹣ω)=sinx,可得2ω=1,且 φ﹣ω=2kπ,k∈z,由此求得ω、φ的值,可得f(x)的解析式,从而求得f()的值.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,可得函数y=sin(2ωx+φ)的图象.‎ 再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω(x﹣)+φ)]‎ ‎=sin(2ωx+φ﹣ω)=sinx的图象,‎ ‎∴2ω=1,且 φ﹣ω=2kπ,k∈Z,‎ ‎∴ω=,φ=+2kπ,∴f(x)=sin(x+),‎ ‎∴f()=sin(+)=sin=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•重庆)已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为 0或6 .‎ ‎【分析】根据圆的标准方程,求出圆心和半径,根据点到直线的距离公式即可得到结论.‎ ‎【解答】解:圆的标准方程为(x+1)2+(y﹣2)2=9,圆心C(﹣1,2),半径r=3,‎ ‎∵AC⊥BC,‎ ‎∴圆心C到直线AB的距离d=,‎ 即d==,‎ 即|a﹣3|=3,‎ 解得a=0或a=6,‎ 故答案为:0或6.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•重庆)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为  (用数字作答).‎ ‎【分析】设小张到校的时间为x,小王到校的时间为y.(x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,则小张比小王至少早5分钟到校事件A={(x,y)|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,由图根据几何概率模型的规则求解即可.‎ ‎【解答】解:设小张到校的时间为x,小王到校的时间为y.(x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,对应的面积S=20×20=400,‎ 则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,则符合题意的区域为△ABC,联立得C(45,50),联立得B(30,35),则S△ABC=×15×15,由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(13分)(2014•重庆)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.‎ ‎(Ⅰ)求an及Sn;‎ ‎(Ⅱ)设{bn}是首项为2的等比数列,公比为q满足q2﹣(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ ‎【分析】(Ⅰ)直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案;‎ ‎(Ⅱ)求出a4和S4,代入q2﹣(a4+1)q+S4=0求出等比数列的公比,然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵{an}是首项为1,公差为2的等差数列,‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1.‎ ‎;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,a4=7,S4=16.‎ ‎∵q2﹣(a4+1)q+S4=0,即q2﹣8q+16=0,‎ ‎∴(q﹣4)2=0,即q=4.‎ 又∵{bn}是首项为2的等比数列,‎ ‎∴.‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎17.(13分)(2014•重庆)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:‎ ‎(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;‎ ‎(Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;‎ ‎(Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图求出a的值;‎ ‎(Ⅱ)由图可知,成绩在[50,60)和[60,70)的频率分别为0.1和0.15,用样本容量20乘以对应的频率,即得对应区间内的人数,从而求出所求.‎ ‎(Ⅲ)分别列出满足[50,70)的基本事件,再找到在[60,70)的事件个数,根据古典概率公式计算即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)根据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得a=0.005.‎ ‎(Ⅱ)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2,‎ 成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.‎ ‎(Ⅲ)记成绩落在[50,60)中的2人为A,B,成绩落在[60,70)中的3人为C,D,E,则成绩在[50,70)的学生任选2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个,‎ 其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有CD,CE,DE共3个,‎ 故所求概率为P=.‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)(2014•重庆)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8.‎ ‎(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;‎ ‎(Ⅱ)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由a+b+c=8,根据a=2,b=求出c的长,利用余弦定理表示出cosC,将三边长代入求出cosC的值即可;‎ ‎(Ⅱ)已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形,再利用正弦定理得到a+b=3c,与a+b+c=8联立求出a+b的值,利用三角形的面积公式列出关系式,代入S=sinC求出ab的值,联立即可求出a与b的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵a=2,b=,且a+b+c=8,‎ ‎∴c=8﹣(a+b)=,‎ ‎∴由余弦定理得:cosC===﹣;‎ ‎(Ⅱ)由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得:sinA•+sinB•=2sinC,‎ 整理得:sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC,‎ ‎∵sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,‎ ‎∴sinA+sinB=3sinC,‎ 利用正弦定理化简得:a+b=3c,‎ ‎∵a+b+c=8,‎ ‎∴a+b=6①,‎ ‎∵S=absinC=sinC,‎ ‎∴ab=9②,‎ 联立①②解得:a=b=3.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•重庆)已知函数f(x)=+﹣lnx﹣,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.‎ ‎(Ⅰ)求a的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x可得f′(1)=﹣2,可求出a的值;‎ ‎(Ⅱ)根据(I)可得函数的解析式和导函数的解析式,分析导函数的符号,进而可得函数f(x)的单调区间与极值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=+﹣lnx﹣,‎ ‎∴f′(x)=﹣﹣,‎ ‎∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.‎ ‎∴f′(1)=﹣a﹣1=﹣2,‎ 解得:a=.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)=+﹣lnx﹣,‎ f′(x)=﹣﹣=(x>0),‎ 令f′(x)=0,‎ 解得x=5,或x=﹣1(舍),‎ ‎∵当x∈(0,5)时,f′(x)<0,当x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,‎ 故函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞);‎ 单调递减区间为(0,5);‎ 当x=5时,函数取极小值﹣ln5.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2014•重庆)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.‎ ‎(Ⅰ)证明:BC⊥平面POM;‎ ‎(Ⅱ)若MP⊥AP,求四棱锥P﹣ABMO的体积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)连接OB,根据底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=,结合菱形的性质,余弦定理,勾股定理,可得OM⊥BC及PO⊥BC,进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM;‎ ‎(Ⅱ)设PO=a,利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值,及四棱锥P﹣ABMO的底面积S,代入棱锥体积公式,可得答案.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,‎ 故O为底面ABCD的中心,连接OB,则AO⊥OB,‎ ‎∵AB=2,∠BAD=,‎ ‎∴OB=AB•sin∠BAO=2sin()=1,‎ 又∵BM=,∠OBM=,‎ ‎∴在△OBM中,OM2=OB2+BM2﹣2OB•BM•cos∠OBM=,‎ 即OB2=OM2+BM2,即OM⊥BM,‎ ‎∴OM⊥BC,‎ 又∵PO⊥底面ABCD,BC⊂底面ABCD,‎ ‎∴PO⊥BC,‎ 又∵OM∩PO=O,OM,PO⊂平面POM,‎ ‎∴BC⊥平面POM;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:OA=AB•cos∠BAO=2cos()=,‎ 设PO=a,由PO⊥底面ABCD可得:△POA为直角三角形,‎ 故PA2=PO2+OA2=a2+3,‎ 由△POM也为直角三角形得:‎ PM2=PO2+OM2=a2+,‎ 连接AM,‎ 在△ABM中,AM2=AB2+BM2﹣2AB•BM•cos∠ABM==,‎ 由MP⊥AP可知:△APM为直角三角形,‎ 则AM2=PA2+PM2,即a2+3+a2+=,‎ 解得a=,即PO=,‎ 此时四棱锥P﹣ABMO的底面积S=S△AOB+S△BOM=•AO•OB+•BM•OM=,‎ ‎∴四棱锥P﹣ABMO的体积V=S•PO=‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2014•重庆)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),依题意,可求得c=1,易求得|DF1|==,|DF2|=,从而可得2a=2,于是可求得椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,依题意,利用圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,由F1P1⊥F2P2,得x1=﹣或x1=0,分类讨论即可求得圆心及半径,从而可得圆的方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),其中c2=a2﹣b2,‎ 由=2,得|DF1|==c,‎ 从而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.‎ 从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2,得=+=,‎ 因此|DF2|=,‎ 所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2﹣c2=1,‎ 因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1;‎ ‎(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,‎ y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,‎ 由(Ⅰ)知F1(﹣1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(﹣x1﹣1,y1),再由F1P1⊥F2P2,得﹣+=0,‎ 由椭圆方程得1﹣=,即3+4x1=0,解得x1=﹣或x1=0.‎ 当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在;‎ 当x1=﹣时,过P1,P2,分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C,设C(0,y0)‎ 由F1P1,F2P2是圆C的切线,知CP1⊥F1P1,得•=﹣1,而|y1|=|x1+1|=,‎ 故y0=,‎ 故圆C的半径|CP1|==.‎ 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x2+=.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:maths;lincy;清风慕竹;danbo7801;刘长柏;whgcn;caoqz;sxs123;sllwyn;豫汝王世崇;wfy814(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日