山东省青岛市2020届高三上学期期末考试 数学 12页

高三教学质量检测 数学试题 ‎2020．01‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．‎ ‎2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．‎ ‎3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．‎ 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知复数在复平面内对应的点分别为 A． B． C． D．‎ ‎2．设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．向量满足，则向量的夹角为 A． B． C． D． ‎ ‎4．已知数列 中，．若为等差数列，则 A． B． C． D．‎ ‎·12·‎ ‎5．已知点在抛物线上，点M到抛物线C的焦点的距离是 A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎6．在中，，则 A． B． C． D．‎ ‎7．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，，则双曲线C的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎8．已知奇函数是R上增函数，则 A. B．‎ C. D. ‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分。‎ ‎9．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是：‎ A．直线BC与平面所成的角等于 B．点C到面的距离为 C．两条异面直线所成的角为 D．三棱柱外接球半径为 ‎10．要得到的图象，只要将图象怎样变化得到?‎ ‎·12·‎ A．将的图象轴方向向左平移个单位 B．的图象轴方向向右平移个单位 C．先作轴对称图象，再将图象轴方向向右平移个单位 D．先作关于x轴对称图象，再将图象轴方向向左平移个单位 ‎11．已知集合，若对于，使得成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；；；．其中是“互垂点集”集合的为 A． B． C． D．‎ ‎12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet，1805～l859)在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 其中R为实数集，Q为有理数集．则关于函数有如下四个命题：‎ A．函数是偶函数 B．恒成立 C．任取一个不为零的有理数T，对任意的恒成立 D．不存在三个点，使得△ABC为等腰直角三角形其中真命题的个数是__________________．‎ 第II卷(非选择题 共90分)‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知直线相交于A，B两点(O为坐标原点)，且为等 ‎·12·‎ 腰直角三角形，则实数的值为__________；‎ ‎14．已知直线与曲线相切，则a的值为_________；‎ l5．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足 (表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的__________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到__________年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)(本题第一空2分，第二空3分)‎ ‎16．已知的顶点A∈平面，点B，C在平面异侧，且，若AB，AC与所成的角分别为，则线段BC长度的取值范围为___________．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ l7．(本小题满分10分)‎ 已知 ‎(I)求函数的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎(II)求函数在区间的取值范围．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 在，分别为内角A，B，C的对边，且，若 ‎．‎ ‎(I)求cosA ‎(Ⅱ)求的面积S．‎ ‎·12·‎ ‎19．(本小题满分l2分)‎ 设数列的前项和为，已知．‎ ‎(I)证明：为等比数列，求出的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若，求的前项和，并判断是否存在正整数使得成立?若存在求出所有值；若不存在说明理由．‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ ‎《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵中，．‎ ‎(I)求证：四棱锥为阳马；‎ ‎(Ⅱ)若，当鳖膈体积最大时，求锐二面角的余弦值．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率，点在C上．‎ ‎(I)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；‎ ‎·12·‎ ‎(Ⅱ)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线使得 与椭圆C与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长为定值．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数的导函数．‎ ‎(I)求证：上存在唯一零点；‎ ‎(Ⅱ)求证：有且仅有两个不同的零点 ‎·12·‎ 高三数学试题参考答案 2020.01‎ 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C C C A D D B ABD ABC BD CD 二、 填空题 ‎13. 14. 15. ， 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解: (Ⅰ) 由题意，化简得 ‎ ‎ 所以 函数的最小正周期. ………………………………………3分 ‎ 的减区间为 由 得 所以 函数的单调递增区间为. ······················6分 ‎（Ⅱ）因为，所以. ‎ 所以.‎ 所以 函数在区间上的取值范围是.····························10分 ‎18. 解:由题意得 由余弦定理得:‎ 由正弦定理得 ‎·12·‎ 所以 中, ············································································6分 ‎(Ⅱ)由余弦定理得 解得或····················································································9分 ‎,‎ 由得或······················································12分 ‎19. 解: (Ⅰ) ‎ 为等比数列··················································2分 ‎，公比为 ‎，，当时，，也满足此式 ‎···························································5分 ‎(Ⅱ) ‎ 两式相减得：‎ ‎··························································9分 代入得·····································10分 令，在成立，‎ 为增函数；·····························································11分 有，所以不在正整数使得成立.················12分 ‎·12·‎ ‎20. 解：(Ⅰ) 底面，面 ‎································2分 又，‎ 面，····························4分 又四边形为矩形 四棱锥为阳马······················5分 ‎(Ⅱ) ,，‎ 又底面，‎ 当且仅当时，取最大值···················7分 ‎ A A1‎ A B C A C1‎ x y Z ‎，底面 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系·····8分 ‎,,‎ ‎,,‎ 设面的一个法向量 由得····························9分 同理得······································10分 二面角的余弦值为·······················12分 ‎·12·‎ ‎21. 解：(Ⅰ)由条件可得: ‎ 解得 所以椭圆的方程为，··············································3分 卫星圆的方程为 ················································4分 ‎ ‎（II）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，‎ 因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，‎ 当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，‎ 此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是 或，即为或，‎ ‎ ‎ 线段应为“卫星圆”的直径，·····························7分 ‎② 当都有斜率时，设点，其中，‎ 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,‎ 则，消去得到，·····9分 ‎····································10分 ‎ ·································11分 所以，满足条件的两直线垂直. ‎ ‎ 线段应为“卫星圆”的直径， ‎ ‎·12·‎ 综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，‎ 所以线段准圆的直径，为定值················12分 ‎22. 解:（1）设， ‎ 当时， 2分 所以在上单调递减， 3分 又因为 ‎ 所以在上有唯一的零点，所以命题得证 6分 ‎（2）1°由（1）知：当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减； 7分 所以在上存在唯一的极大值点 ‎ 所以 8分 又因为 ‎ 所以在上恰有一个零点 9分 又因为 ‎ 所以在上也恰有一个零点 9分 ‎2°当时，，‎ 设，‎ 所以在上单调递减，所以 所以当时，恒成立 所以在上没有零点. 10分 ‎·12·‎ ‎3°当时，‎ 设， ‎ 所以在上单调递减，所以 ‎ 所以当时，恒成立 所以在上没有零点. ‎ 综上，有且仅有两个零点． 12分 ‎·12·‎