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- 2021-06-12 发布
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课时分层作业(十五) 等比数列的前n项和
(建议用时:40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则Sn等于( )
A. B.
C. D.
D [Sn==.]
2.已知{an}是等比数列,a3=1,a6=,则a1a2+a2a3+…+anan+1等于( )
【导学号:91432221】
A.16(1-4-n) B.16(1-2-n)
C.(1-4-n) D.(1-2-n)
C [∵a3=1,a6=,∴q=,∴a1=4,
∴a1a2+a2a3+…+anan+1=(1-4-n).]
3.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a1a5=1,S3=7,则S5等于( )
A. B.
C. D.
B [∵{an}是由正数组成的等比数列,且a1a5=1,
∴a1·a1q4=1,
又a1,q>0,∴a1q2=1,即a3=1,S3=7=++1,
∴6q2-q-1=0,解得q=,
∴a1==4,S5==.]
4.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是前n项和,且9S3=S6,则数列
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的前5项和等于( )
【导学号:91432222】
A.或5 B.或5
C. D.
C [设数列{an}的公比为q,显然q≠1,由已知得=,解得q=2(q=1舍去),∴数列是以1为首项,为公比的等比数列,前5项和为=.]
5.已知等比数列{an}中,an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为( )
A.3n-1 B.3(3n-1)
C. D.
D [∵an=2×3n-1,则数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列,由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项,以9为公比的等比数列,则前n项和为Sn==.]
二、填空题
6.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=________.
32 [设{an}的首项为a1,公比为q,则
解得所以a8=×27=25=32.]
7.设数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=________.
【导学号:91432223】
15 [法一:a1+|a2|+a3+|a4|=1+|1×(-2)|+1×(-2)2+|1×(-2)3|=15.
法二:因为a1+|a2|+a3+|a4|=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|,数列{|an|}是首项为1,公比为2的等比数列,故所求代数式的值为=15.]
8.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.
6 [∵a1=2,an+1=2an,
∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
又∵Sn=126,∴=126,∴n=6.]
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三、解答题
9.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=3,求Sn.
【导学号:91432224】
[解] (1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),
由于a1≠0,故2q2+q=0.
又q≠0,从而q=-.
(2)由已知可得a1-a12=3,
故a1=4.
从而Sn==.
10.已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N*).
(1)求an与bn;
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
[解] (1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N*).
由题意知:
当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.
当n≥2时,bn=bn+1-bn.
整理得=,
所以bn=n(n∈N*).
(2)由(1)知anbn=n·2n,
因此Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,
2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,
所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1.
故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*).
[冲A挑战练]
1.在等比数列{an}中,a1+a2+…+an=2n-1(n∈N*),则a+a+…+a等于( )
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A.(2n-1)2 B.(2n-1)2
C.4n-1 D.(4n-1)
D [a1+a2+…+an=2n-1,即Sn=2n-1,则Sn-1=2n-1-1(n≥2),则an=2n-2n-1=2n-1(n≥2),又a1=1也符合上式,所以an=2n-1,a=4n-1,所以a+a+…+a=(4n-1).]
2.如图251,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,则前n个内切圆的面积和为( )
【导学号:91432225】
图251
A. B.π
C.2π D.3π
B [根据条件,第一个内切圆的半径为×3=,面积为π,第二个内切圆的半径为,面积为π,…,这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为π,公比为,故面积之和为=π.]
3.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是________.
192 [设最下面一层灯的盏数为a1,则公比q=,n=7,由=381,
解得a1=192.]
4.等差数列{an}中,公差d≠0,a=a1a4,若a1,a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比数列,则kn=________.
3n+1 [由题意得(a1+d)2=a1(a1+3d),
- 5 -
∴a1=d,∴q===3.
∴akn=9a1×3n-1=kna1,
∴kn=9×3n-1=3n+1.]
5.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【导学号:91432226】
[解] (1)由题意有
即
解得或
故或
(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,
于是Tn=1+++++…+,①
Tn=++++…++.②
①-②可得
Tn=2+++…+-=3-,
故Tn=6-.
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