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  • 2021-06-15 发布

人教A版高中数学2-1-2指数函数(3)教案新人教版必修1

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2.1.2(3)指数函数(教学设计) 内容:复合函数的单调性 教学目标 1. 理解指数函数的单调性的应用 2.理解掌握复合函数的单调性。 教学重点与难点: 重点:复合函数的单调性。 难点:函数值域的求解。 教学过程: 一、复习回顾,新课引入: 问 1:对于指数函数 xay  ,你认为需要注意哪些方面? 答:(1)底数 a 的取值有范围限制: 0a 且 1a ; (2)有些函数貌似指数函数,实际上却不是.例如 kay x  ( 0a 且 1a , 0k ), xkay  ( 0a 且 1a , 1k ). 有些函数看起来不像是指数函数,实际上却是.例如 xay  ( 0a 且 1a ). 形如 xkay  ( 0a 且 1a , 0k )的函数是一种指数型函数,上节课我们遇到的 xpNy )1(  ( Nx  ) 模型,就是此类型. (3)指数函数 xay  从大的来说按照底数分为两类: 10  a 和 1a .不要混淆这两类函数的性质. (4)函数 xay  的图象与 xay  ( 0a 且 1a )的图象关于 y 轴对称,这是因为点 ),( yx 与点 ),( yx 关于 y 轴对称.根据这种对称性就可以通过函数 xay  的图象得到 xay  的图象. (5)利用指数函数的概念和性质比较大小,解决的方法主要是:抓底看增减进行比较.对于一般的字母底数要运 用分类讨论的思想解决问题. 二、师生互动,新课讲解: 例 1(课本 P57 例 8)截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 变式训练 1:(课本 P59 习题 2.1 A 组 NO:6)一种产品的产量原来是 a,在今后 m 年内,计划使产 量平均每年比 上一年增加 p%,写出产量 y 随年数 x 变化的函数解析式。 例 2 求函数 xx y 22 2 1       的单调区间,并证明 解:设 21 xx  则 )2)((22 2 2 1 2 121212 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1                        xxxxxxxx xx xx y y ∵ 21 xx  ∴ 012  xx 当  1,, 21 xx 时, 0221  xx 这时 0)2)(( 1212  xxxx 即 1 1 2  y y ∴ 12 yy  ,函数单调递增 当   ,1, 21 xx 时, 0221  xx 这时 0)2)(( 1212  xxxx 即 1 1 2  y y ∴ 12 yy  ,函数单调递减 ∴函数 y 在  1, 上单调递增,在  ,1 上单调递减。 解法二、(用复合函数的单调性): 设: xxu 22  则: u y      2 1 对任意的 211 xx  ,有 21 uu  ,又∵ u y      2 1 是减函数 ∴ 21 yy  ∴ xx y 22 2 1       在 ),1[  是减函数 对任意的 121  xx ,有 21 uu  ,又∵ u y      2 1 是减函数 ∴ 21 yy  ∴ xx y 22 2 1       在 ),1[  是增函数 归纳:复合函数的单调性:(同增异减) u=g(x) y=f(u) Y=f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 变式训练 2:根据复合函数的单调性,求下列函数的单调区间 (1) 2 22x xy  ;(2) 31( )5 xy   ;(3) 2 21( )2 x xy   例 3:求下列函数的值域: (1) 2 21( )2 x xy  ;(2) 2 22x xy  变式训练 3:求函数 3 1 )2 1(  xy 的定义域与值域。 解:要使函数有意义,必须 03 x 即 3x ∵ 03 1 x ∴ 1)2 1()2 1( 03 1  xy 又∵ 0y ∴值域为 ),1()1,0(  三、课堂小结,巩固反思: 1、函数模型的建立。 2、复合函数的单调性 u=g(x) y=f(u) Y=f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 四、布置作业: A 组: 1. 函数 y= 2 21( )2 x x  的值域是 ( ) A.R B.(0,+∞) C.(2,+∞) D. 1 2 ,+∞ 答案 D 解析 ∵-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,∴ 1 2 -x2+2x≥1 2 ,故选 D. 2、(tb0113813)求函数 y=( 3 1 ) 182 2  xx 的单调区间。 解:减区间: ( , 2]  ,增区间:[-2,+ ) 3、 求函数 2 4 12x xy   的单调区间。 B 组: 1、(课本 P59 习题 2.1 B 组 NO:3) 2、求函数 f(x)=3 x2-5x+4的定义域、值域及其单调区间. 思维启迪:对于和指数函数的图像、性质有关的问题,可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手. (1)答案 D 解析 由 f(x)=ax-b 的图像可以观察出函数 f(x)=ax-b 在定义域上单调递减,所以 01,∴由复合函数的单调性,可知 f(x)=3 x2-5x+4在(-∞,1]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数.