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- 2021-06-15 发布
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2.1.2(3)指数函数(教学设计)
内容:复合函数的单调性
教学目标
1. 理解指数函数的单调性的应用
2.理解掌握复合函数的单调性。
教学重点与难点:
重点:复合函数的单调性。
难点:函数值域的求解。
教学过程:
一、复习回顾,新课引入:
问 1:对于指数函数 xay ,你认为需要注意哪些方面?
答:(1)底数 a 的取值有范围限制: 0a 且 1a ;
(2)有些函数貌似指数函数,实际上却不是.例如 kay x ( 0a 且 1a , 0k ), xkay ( 0a 且 1a ,
1k ).
有些函数看起来不像是指数函数,实际上却是.例如 xay ( 0a 且 1a ).
形如 xkay ( 0a 且 1a , 0k )的函数是一种指数型函数,上节课我们遇到的 xpNy )1( ( Nx )
模型,就是此类型.
(3)指数函数 xay 从大的来说按照底数分为两类: 10 a 和 1a .不要混淆这两类函数的性质.
(4)函数 xay 的图象与 xay ( 0a 且 1a )的图象关于 y 轴对称,这是因为点 ),( yx 与点 ),( yx 关于 y
轴对称.根据这种对称性就可以通过函数 xay 的图象得到 xay 的图象.
(5)利用指数函数的概念和性质比较大小,解决的方法主要是:抓底看增减进行比较.对于一般的字母底数要运
用分类讨论的思想解决问题.
二、师生互动,新课讲解:
例 1(课本 P57 例 8)截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么经过
20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?
变式训练 1:(课本 P59 习题 2.1 A 组 NO:6)一种产品的产量原来是 a,在今后 m 年内,计划使产 量平均每年比
上一年增加 p%,写出产量 y 随年数 x 变化的函数解析式。
例 2 求函数
xx
y
22
2
1
的单调区间,并证明
解:设 21 xx
则
)2)((22
2
2
1
2
121212
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
xxxxxxxx
xx
xx
y
y
∵ 21 xx ∴ 012 xx
当 1,, 21 xx 时, 0221 xx 这时 0)2)(( 1212 xxxx
即 1
1
2
y
y ∴ 12 yy ,函数单调递增
当 ,1, 21 xx 时, 0221 xx 这时 0)2)(( 1212 xxxx
即 1
1
2
y
y ∴ 12 yy ,函数单调递减
∴函数 y 在 1, 上单调递增,在 ,1 上单调递减。
解法二、(用复合函数的单调性):
设: xxu 22 则:
u
y
2
1
对任意的 211 xx ,有 21 uu ,又∵
u
y
2
1 是减函数
∴ 21 yy ∴
xx
y
22
2
1
在 ),1[ 是减函数
对任意的 121 xx ,有 21 uu ,又∵
u
y
2
1 是减函数
∴ 21 yy ∴
xx
y
22
2
1
在 ),1[ 是增函数
归纳:复合函数的单调性:(同增异减)
u=g(x) y=f(u) Y=f(g(x))
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
变式训练 2:根据复合函数的单调性,求下列函数的单调区间
(1) 2 22x xy ;(2) 31( )5
xy ;(3) 2 21( )2
x xy
例 3:求下列函数的值域:
(1) 2 21( )2
x xy ;(2) 2 22x xy
变式训练 3:求函数 3
1
)2
1( xy 的定义域与值域。
解:要使函数有意义,必须 03 x 即 3x
∵ 03
1 x
∴ 1)2
1()2
1( 03
1
xy
又∵ 0y ∴值域为 ),1()1,0(
三、课堂小结,巩固反思:
1、函数模型的建立。
2、复合函数的单调性
u=g(x) y=f(u) Y=f(g(x))
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
四、布置作业:
A 组:
1. 函数 y= 2 21( )2
x x 的值域是 ( )
A.R B.(0,+∞) C.(2,+∞) D.
1
2
,+∞
答案 D 解析 ∵-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,∴
1
2 -x2+2x≥1
2
,故选 D.
2、(tb0113813)求函数 y=(
3
1 ) 182 2 xx 的单调区间。
解:减区间: ( , 2] ,增区间:[-2,+ )
3、 求函数 2 4 12x xy 的单调区间。
B 组:
1、(课本 P59 习题 2.1 B 组 NO:3)
2、求函数 f(x)=3 x2-5x+4的定义域、值域及其单调区间.
思维启迪:对于和指数函数的图像、性质有关的问题,可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手.
(1)答案 D
解析 由 f(x)=ax-b 的图像可以观察出函数 f(x)=ax-b 在定义域上单调递减,所以 01,∴由复合函数的单调性,可知 f(x)=3 x2-5x+4在(-∞,1]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数.
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