高中数学 必修4平面向量2.4 平面向量的数量积 14页

1 §2.4 平面向量的数量积 2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一) 学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的 功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两 个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直． 知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图． 思考 1 如何计算这个力所做的功？ 答案 W＝|F||s|cosθ. 思考 2 力做功的大小与哪些量有关？ 答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． 梳理 条件 非零向量 a 与 b，a 与 b 的夹角为θ 结论 数量|a||b|cosθ叫做向量 a 与 b 的数量积(或内 积) 记法 向量 a 与 b 的数量积记作 a·b，即 a·b＝ |a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为 0 知识点二 平面向量数量积的几何意义 思考 1 什么叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影？什么叫做向量 a 在向量 b 方向上的投影？ 答案 如图所示，OA → ＝a，OB → ＝b，过 B作 BB1垂直于直线 OA，垂足为 B1，则 OB1＝|b|cosθ. |b|cosθ叫做向量 b 在 a 方向上的投影，|a|cosθ叫做向量 a 在 b 方向上的投影． 2 思考 2 向量 b 在向量 a 方向上的投影与向量 a 在向量 b 方向上的投影相同吗？ 答案 由投影的定义知，二者不一定相同． 梳理 (1)条件：向量 a 与 b 的夹角为θ. (2)投影 向量 b 在 a方向上的投影 |b|cos θ 向量 a 在 b方向上的投影 |a|cos θ (3)a·b 的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 知识点三 平面向量数量积的性质 思考 1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量． 思考 2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ 答案 由两个非零向量的夹角决定． 当 0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数． 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零． 当 90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数． 梳理 设向量 a 与 b 都是非零向量，它们的夹角为θ， (1)a⊥b⇔a·b＝0. (2)当 a∥b 时，a·b＝ |a||b|，a 与 b 同向， －|a||b|，a 与 b 反向. (3)a·a＝|a|2或|a|＝ a·a. (4)cosθ＝ a·b |a||b| . (5)|a·b|≤|a||b|. 1．向量数量积的运算结果是向量．( × ) 2．向量 a 在向量 b 上的投影一定是正数．( × ) 3 3．在等边△ABC 中，向量AB → 与向量BC → 夹角为 60°.( × ) 提示 向量AB → 与向量BC → 夹角为 120°. 类型一 求两向量的数量积 例 1 已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： (1)AB → ·AC → ；(2)AB → ·BC → ；(3)BC → ·AC → . 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 解 (1)∵AB → 与AC → 的夹角为 60°. ∴AB → ·AC → ＝|AB → ||AC → |cos60°＝1×1× 1 2 ＝ 1 2 . (2)∵AB → 与BC → 的夹角为 120°， ∴AB → ·BC → ＝|AB → ||BC → |cos120° ＝1×1× － 1 2 ＝－ 1 2 . (3)∵BC → 与AC → 的夹角为 60°， ∴BC → ·AC → ＝|BC → ||AC → |cos60°＝1×1× 1 2 ＝ 1 2 . 反思与感悟 求平面向量数量积的两个方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a·b＝|a||b|cosθ. 运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否 则，要通过平移使两向量符合以上条件． (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何 意义求 a·b. 跟踪训练 1 已知|a|＝4，|b|＝7，且向量 a与 b 的夹角为 120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)． 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 4 解 (2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6|a|2 ＋5a·b－6|b|2 ＝6×4 2 ＋5×4×7·cos120°－6×7 2 ＝－268. 类型二 求向量的模 例 2 已知|a|＝|b|＝5，向量 a 与 b 的夹角为 π 3 ，求|a＋b|，|a－b|. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 a·b＝|a||b|cosθ＝5×5× 1 2 ＝ 25 2 . |a＋b|＝ a＋b 2 ＝ |a|2＋2a·b＋|b|2 ＝ 25＋2× 25 2 ＋25＝5 3. |a－b|＝ a－b 2 ＝ |a|2 －2a·b＋|b|2 ＝ 25－2× 25 2 ＋25＝5. 引申探究 若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|. 解 a·b＝|a||b|cosθ＝5×5× 1 2 ＝ 25 2 ， |2a＋b|＝ 2a＋b 2 ＝ 4|a|2 ＋4a·b＋|b|2 ＝ 4×25＋4× 25 2 ＋25＝5 7. |a－2b|＝ a－2b 2 ＝ |a|2 －4a·b＋4|b|2 ＝ 25－4× 25 2 ＋4×25＝5 3. 反思与感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用 a2 ＝|a|2 ，即|a|＝ a2 ，勿忘记开方． 跟踪训练 2 已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 方法一 ∵|a－b|2 ＝(a－b)2 ＝a2 －2a·b＋b2 5 ＝1＋9－2a·b＝4，∴a·b＝3. ∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4. 方法二 ∵|a－b|2 ＝(a－b)2 ＝a2 －2a·b＋b2 ， |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2， ∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20. 又|a－b|＝2，∴|a＋b|2 ＝16，∴|a＋b|＝4. 类型三 求向量的夹角 例 3 (1)设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60°，求向量 a＝2m＋n 与 b＝2n－3m 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 ∵|n|＝|m|＝1 且 m 与 n 夹角是 60°， ∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1× 1 2 ＝ 1 2 . |a|＝|2m＋n|＝ 2m＋n 2 ＝ 4×1＋1＋4m·n ＝ 4×1＋1＋4× 1 2 ＝ 7， |b|＝|2n－3m|＝ 2n－3m 2 ＝ 4×1＋9×1－12m·n ＝ 4×1＋9×1－12× 1 2 ＝ 7， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2 ＝ 1 2 －6×1＋2×1＝－ 7 2 . 设 a 与 b 的夹角为θ， 则 cosθ＝ a·b |a||b| ＝ － 7 2 7× 7 ＝－ 1 2 . 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝ 2π 3 ，故 a与 b 的夹角为 2π 3 . (2)已知非零向量 a，b 满足|a|＝|b|＝|a＋b|，求 a 与 a＋b 的夹角及 a 与 a－b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 如图所示，在平面内取一点 O，作OA → ＝a，OB → ＝b，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB， 6 使|OA → |＝|OB → |， ∴四边形 OACB 为菱形，OC 平分∠AOB， 这时OC → ＝a＋b，BA → ＝a－b. 由于|a|＝|b|＝|a＋b|，即|OA → |＝|AC → |＝|OC → |， ∴∠AOC＝60°，即 a 与 a＋b 的夹角为 60°. ∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°， 又|OA → |＝|OB → |，∴∠OAB＝30°， 即 a与 a－b的夹角为 30°. 反思与感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式 cosθ＝ a·b |a||b| 求出夹角的余弦值，从而求 得夹角．可以直接求出 a·b 的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b 三者之间的关系，然后代入求解． (2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解． (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]． 跟踪训练 3 已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求 a 与 b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 ∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2 －2|b|2 ＋a·b＝－2. |a|＝|b|＝2，∴a·b＝2， 设 a与 b 的夹角为θ，∴cosθ＝ a·b |a||b| ＝ 1 2 ， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝ π 3 . 1．已知|a|＝1，|b|＝2，a 与 b 的夹角为 π 3 ，则 a·b 等于( ) A．1B．2C．3D．4 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 7 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 A 解析 a·b＝1×2×cos π 3 ＝1，故选 A. 2．在等腰直角三角形 ABC 中，若∠C＝90°，AC＝ 2，则BA → ·BC → 的值等于( ) A．－2B．2C．－2 2D．2 2 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 B 解析 BA → ·BC → ＝|BA → ||BC → |cos∠ABC＝2× 2×cos45°＝2. 3．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量 b 在 a 方向上的投影为( ) A．4B．－4C．2D．－2 考点 平面向量的投影 题点 求向量的投影 答案 D 解析 向量 b在 a 方向上的投影为 |b|cos〈a，b〉＝4×cos120°＝－2. 4．已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，则BD → ·CD → 等于( ) A．－ 3 2 a2 B．－ 3 4 a2 C. 3 4 a2 D. 3 2 a2 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 D 解析 如图所示，由题意，得 BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°. ∴BD → ·CD → ＝(BC → ＋CD → )·CD → ＝BC → ·CD → ＋CD →2 8 ＝a·a·cos60°＋a2 ＝ 3 2 a2 . 5．已知向量 a，b 的夹角为 60°，且|a|＝2，|b|＝1，若 c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d； (2)|c＋2d|. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 (1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b ＝2×4－2×1＋3×2×1× 1 2 ＝9. (2)|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b ＝16×4＋9×1＋24×2×1× 1 2 ＝97， ∴|c＋2d|＝ 97. 1．两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当 a≠0， b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当 a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为 0(当 a ＝0 或 b＝0或θ＝90°时)． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是 有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 3．求投影有两种方法 (1)b 在 a 方向上的投影为|b|cosθ(θ为 a，b 的夹角)，a 在 b 方向上的投影为|a|cosθ. (2)b 在 a 方向上的投影为 a·b |a| ，a 在 b 方向上的投影为 a·b |b| . 4．两非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝ a2 . 一、选择题 1．(2017·辽宁大连二十中高一月考)设非零向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c， 则 a与 b 的夹角θ为( ) A．150°B．120°C．60°D．30° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 B 9 解析 由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2⇒2a·b ＝－|a|2 ⇒2|a|·|b|·cosθ＝－|a|2 ⇒cosθ＝－ 1 2 ⇒θ＝120°. 2．已知|a|＝3，|b|＝4，且 a与 b 的夹角θ＝150°，则 a·b 等于( ) A．－6B．6C．－6 3D．6 3 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 C 3．已知 a，b 方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于( ) A．16B．256C．8D．64 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 A 解析 ∵|2a＋3b|2 ＝4a2 ＋9b2 ＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16. 4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( ) A．－4B．4C．－2D．2 考点 平面向量的投影 题点 求向量的投影 答案 A 解析 根据投影的定义，设 a，b 的夹角为θ，可得向量 a 在 b方向上的投影是|a|cosθ＝ a·b |b| ＝－4，故选 A. 5．已知平面上三点 A，B，C，满足|AB → |＝3，|BC → |＝4，|CA → |＝5，则AB → ·BC → ＋BC → ·CA → ＋CA → ·AB → 的值等于( ) A．－7B．7C．25D．－25 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 D 解析 由条件知∠ABC＝90°， 所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A) ＝－20cosC－15cosA ＝－20× 4 5 －15× 3 5 ＝－16－9＝－25. 6．设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b 等于( ) 10 A．1B．2C．3D．5 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 A 解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，① |a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，② 由①－②得 4a·b＝4，∴a·b＝1. 7．在△ABC 中，AB＝6，O 为△ABC 的外心，则AO → ·AB → 等于( ) A. 6B．6C．12D．18 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 D 解析 如图，过点 O 作 OD⊥AB 于 D， 可知 AD＝ 1 2 AB＝3， 则AO → ·AB → ＝(AD → ＋DO → )·AB → ＝AD → ·AB → ＋DO → ·AB → ＝3×6＋0＝18，故选 D. 二、填空题 8．(2017·全国Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 2 3 解析 方法一 |a＋2b|＝ a＋2b 2 ＝ a2＋4a·b＋4b2 ＝ 2 2 ＋4×2×1×cos60°＋4×1 2 ＝ 12＝2 3. 方法二(数形结合法) 由|a|＝|2b|＝2 知，以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC → |. 又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2 3. 11 9．设 e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为 60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________. 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 － 9 2 10．(2017·四川绵阳南山中学高一月考)已知在△ABC 中，AB＝AC＝4，AB → ·AC → ＝8，则△ABC 的形状是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 等边三角形 解析 AB → ·AC → ＝|AB → ||AC → |cos∠BAC， 即 8＝4×4cos∠BAC，于是 cos∠BAC＝ 1 2 ， 因为 0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°. 又 AB＝AC，故△ABC 是等边三角形． 11．在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠BAD＝60°，E 为 CD 的中点，若AC → ·BE → ＝1，则 AB 的 长为________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 1 2 解析 如图，由题意可知，AC → ＝AB → ＋AD → ，BE → ＝－ 1 2 AB → ＋AD → . 因为AC → ·BE → ＝1， 所以(AB → ＋AD → )· － 1 2 AB → ＋AD → ＝1， 即 AD →2 ＋ 1 2 AB → ·AD → － 1 2 AB → 2＝1.① 12 因为|AD → |＝1，∠BAD＝60°， 所以①式可化为 1＋ 1 4 |AB → |－ 1 2 |AB → | 2 ＝1. 解得|AB → |＝0(舍去)或|AB → |＝ 1 2 ， 所以 AB 的长为 1 2 . 12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.则向量 a 在向量 a＋b 方向上的投影为 ________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 10 13 13 解析 (2a－3b)·(2a＋b)＝4a2 －3b2 －4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得 a·b＝－6， ∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，∴|a＋b|＝ 13，设 a 与 a＋b的夹角为θ，a·(a ＋b)＝a2 ＋a·b＝10， ∴cosθ＝ 10 4× 13 ＝ 5 2 13 ，则 a 在 a＋b 方向上的投影为|a|cosθ＝4× 5 2 13 ＝ 10 13 13 . 三、解答题 13．如图，在▱ ABCD 中，AB → ＝a，AD → ＝b，CE → ＝ 1 3 CB → ，CF → ＝ 2 3 CD → . (1)用 a，b 表示EF → ； (2)若|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，分别求|EF → |和AC → ·FE → 的值． 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 解 (1)EF → ＝CF → －CE → ＝ 2 3 CD → － 1 3 CB → ＝－ 2 3 AB → ＋ 1 3 AD → ＝－ 2 3 a＋ 1 3 b. (2)因为|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°， 所以|EF → |2＝ 1 3 b－ 2 3 a 2 13 ＝ 1 9 |b|2 － 4 9 a·b＋ 4 9 |a|2 ＝ 16 9 － 4 9 ×1×4×cos60°＋ 4 9 ＝ 4 3 . 所以|EF → |＝ 2 3 3 . AC → ·FE → ＝(a＋b)· 2 3 a－ 1 3 b ＝ 2 3 |a|2＋ 1 3 a·b－ 1 3 |b|2 ＝ 2 3 ＋ 1 3 ×1×4×cos60°－ 16 3 ＝－4. 四、探究与拓展 14．已知向量 a，b 满足|a|＝1，a 与 b 的夹角为 π 3 ，若对一切实数 x，|xa＋2b|≥|a＋b|恒 成立，则|b|的取值范围为( ) A．[2，＋∞) B．[－1,1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1) 考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 求向量的数量积的最值 答案 C 解析 对不等式|xa＋2b|≥|a＋b|两边平方得，(xa＋2b)2 ≥(a＋b)2 ，所以 x2 ·|a|2 ＋4a·bx ＋4|b|2≥|a|2＋2a·b＋|b|2，又 a 与 b 的夹角为 π 3 ，且|a|＝1，则有 a·b＝|a|·|b|·cos π 3 ＝ 1 2 |b|，所以有 x2＋4x· 1 2 |b|＋4|b|2≥1＋|b|＋|b|2，即 x2＋2|b|x＋3|b|2－1－|b|≥0，此 式对一切实数 x 恒成立，所以有Δ＝4|b|2 －4(3|b|2 －1－|b|)≤0，即有 2|b|2 －|b|－1≥0， 所以(2|b|＋1)(|b|－1)≥0，所以 2|b|＋1≥0， |b|－1≥0 或 2|b|＋1≤0， |b|－1≤0， 所以|b|≥1 或|b|≤ － 1 2 (舍去)，故选 C. 15．已知 a，b 是单位向量，a·b＝0，若向量 c 满足|c－b－a|＝1，则|c|的取值范围为( ) A．[ 2－1， 2＋1] B．[ 2－1， 2＋2] C．[1， 2＋1] D．[1， 2＋2] 考点 平面向量数量积的运算性质和最值 题点 求向量的数量积的最值 14 答案 A 解析 如图所示， 令OA → ＝a，OB → ＝b，OD → ＝a＋b，OC → ＝c，则|OD → |＝ 2. 又|c－b－a|＝1，所以点 C 在以点 D为圆心、半径为 1 的圆上，易知当点 C 与 O，D共线时， |OC → |取到最值，最大值为 2＋1，最小值为 2－1，所以|c|的取值范围为[ 2－1， 2＋1]．故 选 A.