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- 2021-06-15 发布
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课时规范练 19 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
基础巩固组
1.将函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平
行移动 个单位长度,所得图象的函数解析式是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
2.已知函数 f(x)=cos (ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点 对称
B.关于直线 x= 对称
C.关于点 对称
D.关于直线 x= 对称
3.(2017 湖南邵阳一模,文 6)若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,
所得的图象关于 y 轴对称,则φ的最小值是( )
A. B. C. D.
4.
如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin +k.据此函数可知,这段
时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
5.(2017 天津,文 7)设函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若 f =2,f =0,且
f(x)的最小正周期大于 2π,则( )
A.ω= ,φ=
B.ω= ,φ=-
C.ω= ,φ=-
D.ω= ,φ= 〚导学号 24190738〛
6.若函数 f(x)=2sin 2x 的图象向右平移φ 个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若对满
足|f(x1)-g(x2)|=4 的 x1,x2,有|x1-x2|的最小值为 ,则φ=( )
A. B. C. D.
7.
已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则 y=f 取得最小值时 x 的
集合为( )
A.
B.
C.
D. 〚导学号 24190739〛
8.函数 y=sin x- cos x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象至少向右平移 个单位长度得
到.
9.
已知函数 y=g(x)的图象由 f(x)=sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数
的部分图象如图所示,则φ= .
10.(2017 北京,文 16)已知函数 f(x)= cos -2sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)求证:当 x∈ 时,f(x)≥- .
〚导学号 24190740〛
综合提升组
11.(2017 辽宁大连一模,文 11)若关于 x 的方程 2sin =m 在 上有两个不等实根,则 m 的
取值范围是( )
A.(1, ) B.[0,2]
C.[1,2) D.[1, ]
12.已知函数 f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点 对称,若将函数 f(x)的图象向右平移 m(m>0)个
单位长度后得到一个偶函数的图象,则实数 m 的最小值为 .
13.已知函数 y=3sin .
(1)用五点法作出函数的图象;
(2)说明此图象是由 y=sin x 的图象经过怎么样的变化得到的.
〚导学号 24190741〛
创新应用组
14.已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin ,则下面结论正确的是( )
A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得
到曲线 C2
B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得
到曲线 C2
C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到
曲线 C2
D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得
到曲线 C2〚导学号 24190742〛
15.如图所示,某地夏天 8—14 时用电量变化曲线近似满足函数式 y=Asin(ωx+φ)+b,ω>0,φ∈
(0,π).
(1)求这期间的最大用电量及最小用电量;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
答案:
1.B 由题意,y=sin x 的图象进行伸缩变换后得到 y=sin x 的图象,再进行平移后所得图象的函数
为 y=sin =sin .故选 B.
2.D 由题意知ω=2,函数 f(x)的对称轴满足 2x+ =kπ(k∈Z),解得 x= (k∈Z),当 k=1 时,x= ,
故选 D.
3.C 函数 f(x)=sin 2x+cos 2x= sin 的图象向左平移φ个单位长度,所得函数
y= sin 的图象关于 y 轴对称,
则有 2φ+ =kπ+ ,k∈Z.
解得φ= kπ+ ,k∈Z.
由φ>0,则当 k=0 时,φ的最小值为 .故选 C.
4.C 因为 sin ∈[-1,1],所以函数 y=3sin +k 的最小值为 k-3,最大值为 k+3.
由题图可知函数最小值为 k-3=2,解得 k=5.
所以 y 的最大值为 k+3=5+3=8,故选 C.
5.A 由题意可知, >2π, ,
所以 ≤ω<1.所以排除 C,D.
当ω= 时,f =2sin =2sin =2,
所以 sin =1.
所以 +φ= +2kπ,即φ= +2kπ(k∈Z).
因为|φ|<π,所以φ= .故选 A.
6.C 由函数 f(x)=2sin 2x 的图象向右平移φ 个单位长度后得到函数 g(x)=2sin[2(x-
φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4 的 x1,x2,有|x1-x2|的最小值为 -φ.故 -φ= ,即φ= .
7.B 根据所给图象,周期 T=4× =π,故π= ,即ω=2,因此 f(x)=sin(2x+φ).
又图象经过 ,代入有 2× +φ=kπ(k∈Z),
再由|φ|< ,得φ=- ,
故 f =sin ,当 2x+ =- +2kπ(k∈Z),即 x=- +kπ(k∈Z)时,y=f 取得最小值.
8. 因为 y=sin x- cos x=2sin ,所以函数 y=sin x- cos x 的图象可由函数 y=2sin x
的图象至少向右平移 个单位长度得到.
9. 函数 f(x)=sin 2x 的图象在 y 轴右侧的第一个对称轴为 2x= ,则 x= .
x= 关于 x= 对称的直线为 x= ,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为 x= 的点平移到
x= ,则φ= .
10.(1)解 f(x)= cos 2x+ sin 2x-sin 2x
= sin 2x+ cos 2x
=sin .
所以 f(x)的最小正周期 T= =π.
(2)证明 因为- ≤x≤ ,
所以- ≤2x+ .
所以 sin
≥sin =- .
所以当 x∈ 时,f(x)≥- .
11.C 方程 2sin =m 可化为 sin ,当 x∈ 时,2x+ ,
画出函数 y=f(x)=sin 在 x∈ 上的图象如图所示.
由题意,得 <1,即 1≤m<2,∴m 的取值范围是[1,2),故选 C.
12. ∵函数的图象关于点 对称,∴2× +φ=kπ+ ,k∈Z,
解得φ=kπ- ,k∈Z,
∴f(x)=cos ,k∈Z.
∵f(x)的图象平移后得函数 y=cos (k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-
=k1π(k∈Z,k1∈Z),m= .
∵m>0,∴m 的最小正值为 ,此时 k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).
13.解 (1)列表:
x
x- 0 π
π
2
π
3sin
0 3 0 -3 0
描点、连线,如图所示.
(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.
先把 y=sin x 的图象上所有点向右平移 个单位长度,得到 y=sin 的图象,再把
y=sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin 的图象,
最后将 y=sin 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),就得到
y=3sin 的图象.
(方法二)“先伸缩,后平移”
先把 y=sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin x 的图象,
再把 y=sin x 图象上所有的点向右平移 个单位长度,得到 y=sin =sin 的图象,最
后将 y=sin 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),就得到
y=3sin 的图象.
14.D 曲线 C1 的方程可化为 y=cos x=sin ,把曲线 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐
标不变,得曲线 y=sin =sin 2 ,为得到曲线 C2:y=sin 2 ,需再把得到的曲线向左
平移 个单位长度.
15.解 (1)由图象,知这期间的最大用电量为 50 万千瓦时,最小用电量为 30 万千瓦时.
(2)A= (50-30)=10,b= (50+30)=40,
T= =2×(14-8)=12,
所以ω= ,
所以 y=10sin +40.
把 x=8,y=30 代入上式,得φ= .所以所求解析式为 y=10sin +40,x∈[8,14].
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