2021版高考数学一轮复习单元评估检测五第十章文含解析北师大版 14页

- 1 - 单元评估检测(五) (第十章) (120 分钟　150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.直线 ax+y+7=0 与 4x+ay-3=0 平行,则 a 为 (　　) A.2 B.2 或-2 C.-2 D.- 【解析】选 B.由直线 ax+y+7=0 与 4x+ay-3=0 平行,可得 = ≠ ,解得 a=±2. 2.圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2-4x+4y-12=0 的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选 B.圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2-4x+4y-12=0 的公共弦所在直线的方程为 x-y+2=0,它与两 坐标轴分别交于(-2,0),(0,2),所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为 ×2×2=2. 3.已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是 y= x,它的一个焦点落在抛物线 y2=16x 的准线上,则双曲线的方程为 (　　) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【解析】选 C.双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是 y= x,可得 b= a, 它的一个焦点落在抛物线 y2=16x 的准线上,可得 c=4,即 16=a2+b2,a=2,b=2 . - 2 - 所求的双曲线方程为 - =1. 4.已知椭圆 E: + =1(a>b>0)经过点 A( ,0),B(0,3),则椭圆 E 的离心率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选 A.由椭圆 E: + =1(a>b>0),经过点 A( ,0),B(0,3),可得 a=3,b= , 所以 c= =2,其离心率 e= . 5.在△ABC 中,若 asin A+bsin B-csin C=0,则圆 C:x2+y2=1 与直线 l:ax+by+c=0 的位置关系是 (　　) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 【解析】选 A.因为 asin A+bsin B-csin C=0, 所以由正弦定理得 a2+b2-c2=0, 所以圆心 C(0,0)到直线 l:ax+by+c=0 的距离 d= =1=r,所以圆 C:x2+y2=1 与直线 l:ax+by+c=0 相切. 6.已知 F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,P 是 C 上的一点,若 PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则 C 的离心 率为 (　　) A.1- B.2- C. D. -1 【解析】选 D.在直角三角形 PF1F2 中,|F1F2|=2c,∠PF2F1=60°, 所以|PF1|= c,|PF2|=c, 又|PF1|+|PF2|=2a,所以 c+c=2a, - 3 - 解得 e= = = -1. 7.(2020·榆林模拟)已知 l 是双曲线 C: - =1 的一条渐近线,P 是 l 上的一点,F1,F2 分别 是 C 的左、右焦点,若 · =0,则点 P 到 x 轴的距离为 (　　) A. B. C.2 D. 【解析】选 C.由已知 F1(- ,0),F2( ,0),不妨设 l 的方程为 y= x,点 P(x0, x0), 由 · =(- -x0,- x0)·( -x0,- x0)=3 -6=0,得 x0=± ,所以点 P 到 x 轴的距离为 |x0|=2. 8.椭圆与双曲线共焦点 F1,F2,它们的交点 P 对两公共焦点 F1,F2 的张角为∠F1PF2=2θ,椭圆与 双曲线的离心率分别为 e1,e2,则(　　 ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 【解析】选 B.设椭圆的长轴长为 2a1,双曲线的实轴长为 2a2,并设 =m, =n,其中 m>n,焦距为 2c,在△PF1F2 中,由余弦定理得 m2+n2- 2mncos 2θ= , 由椭圆和双曲线的定义得 - 4 - 解得 代入 m2+n2-2mncos 2θ= , 得 + -2 cos 2θ=4c2, 即 + + cos 2θ=2c2, 所以 + =2c2, 即 2 sin2θ+2 cos2θ=2c2, 所以 + =1, 因此, + =1. 9.已知双曲线 -y2=1 的右焦点恰好是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且 M 为抛物线的准线与 x 轴的交点,N 为抛物线上的一点,且满足|NF|= |MN|,则点 F 到直线 MN 的距离为 (　　) A. B.1 C. D.2 【解析】选 D.双曲线 -y2=1 的右焦点为(2,0),抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 , - 5 - 则 2= ,解得 p=4,则抛物线方程为 y2=8x,准线方程为 x=-2,由点 N 向抛物线的准线作垂线,垂 足为 R,则由抛物线的定义,可得|NR|=|NF|= |MN|,从而可以得到∠NMR=60°,从而得到∠ NMF=30°,所以有点 F 到直线 MN 的距离为 d= 4sin 30°=2. 10.(2020·厦门模拟)已知抛物线 x2=4y,斜率为- 的直线交抛物线于 A,B 两点.若以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点 P,则点 P 到直线 AB 的距离为 (　　) A. B. C. D.2 【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 P , = , = , 根据题意得到 · =0. 设直线方程为 x=-2y+n,联立直线和抛物线方程得到 4y2-4(n+1) y+n2=0, 所以 · =- +(y1+1)(y2+1)=0, 化简得到-(y1+y2)2+5y1y2+y1+y2+1=0,根据根与系数的关系,将根的和与乘积代入化简得到 n=2. 此时直线为 x=-2y+2, - 6 - 点 P 坐标为 P =P(-(y1+y2)+2,-1)=P(-1,-1),根据点到直线的距离公式得到 d= = . 11.如图所示,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光 线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线 C 的方程为 x2+4y2=4,其左、 右焦点分别是 F1,F2,直线 l 与椭圆 C 切于点 P,且|PF1|=1,过点 P 且与直线 l 垂直的直线 l′ 与椭圆长轴交于点 M,则|F1M|∶|F2M|= (　　) A. ∶ B.1∶ C.1∶3 D.1∶ 【解析】选 C.由椭圆的光学性质得到直线 l′平分 ∠F1PF2, 因为 = = = , 由|PF1|=1,|PF1|+|PF2|=4 得到|PF2|=3, 故|F1M|∶|F2M|=1∶3. 12.已知双曲线 -y2=1 的右焦点是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,直线 y=kx+m 与抛物线交于 A,B 两个不同的点,点 M(2,2)是 AB 的中点,则△OAB(O 为坐标原点)的面积是 (　　) 世纪金榜导学号 A.4 B.3 C. D.2 - 7 - 【解析】选 D.双曲线 -y2=1 中 a= ,b=1, c= =2,右焦点为(2,0),则抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为(2,0),即 2= ,解得 p=4,即抛 物线方程为 y2=8x, 联立直线 y=kx+m 得 k2x2+(2km-8)x+m2=0, 判别式 Δ=(2km-8)2-4k2m2>0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),可得 x1+x2= , 由点 M(2,2)是 AB 的中点,得 =4,2=2k+m, 解得 k=2,m=-2,满足判别式大于 0, 所以 x1+x2=4,x1x2=1, 弦长|AB|= · = × =2 ,点 O 到直线 2x-y-2=0 的距离 d= = ,△OAB(O 为坐标原点)的面积是 d·|AB|= × ×2 =2 . 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.圆(x+1)2+y2=5 关于直线 y=x 对称的圆的标准方程为　　　　. 【解析】圆(x+1)2+y2=5 的圆心坐标为(-1,0),它关于直线 y=x 的对称点坐标为(0,-1), 即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为 x2+(y+1)2=5. 答案:x2+(y+1)2=5 14.抛物线 y2=8x 的焦点为 F,点 A(6,3),P 为抛物线上一点,且 P 不在直线 AF 上,则△PAF 周长 的最小值为　　　　. 【解析】如图, - 8 - l=C△PAF=|PA|+|PF|+|AF| =|PA|+|PQ|+|AF|≥|AQ|+|AF|, 当且仅当 A,P,Q 共线时,等号成立. 此时|AQ|=xA+2=8,|AF|= =5, 所以 l≥8+5=13. 答案:13 15.已知双曲线 - =1(a>0,b>0),过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段,两条垂线段 的和为 a,则双曲线的离心率为　　　　. 【解析】令双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦点为(c,0),渐近线为 y=± x,即 bx±ay=0, 垂线段的长度即焦点到准线的距离,即 =b,故由题意可得 a=2b, 所以双曲线的离心率满足 e2= = = , 即 e= . 答案: 16.点 M 是椭圆 + =1(a>b>0)上的点,以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F,圆 M 与 y 轴相交于 P,Q,若△PQM 是锐角三角形,则椭圆离心率的取值范围是　　　　　　　. 世纪 金榜导学号 【解析】因为圆 M 与 x 轴相切于焦点 F, - 9 - 所以圆心与 F 的连线必垂直于 x 轴,不妨设 M(c,y), 因为 M 在椭圆上,则 y=± , 所以圆的半径为 , 由题意|y|>c> |y| 所以 c2< <2c2, 所以 e2<(1-e2)2<2e2, 所以 b>0,y≥0)和部分 抛物线 C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 所在椭圆的离心率为 . 世纪金榜导学号 - 12 - (1)求 a,b 的值. (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(P,Q,A,B 中任意两点均不重合),若 AP⊥AQ,求直 线 l 的方程. 【解析】(1)因为 y=-x2+1(y≤0),所以 y=0,即 x=±1,因此 A(-1,0),B(1,0),代入椭圆方程中, 得 b=1,由 = 以及 a2-c2=b2=1,可得 a= , 所以 a= ,b=1. (2)由(1)可求出横轴上方的椭圆方程为:y2+2x2=2(y>0), 由题意可知:过点 B 的直线 l 存在斜率且不能为零,故设直线方程为 x=my+1(m≠0),代入椭圆 C1 得: y2+4my=0,故可得点 P 的坐标为: ,显然 m<0,同理 将 x=my+1(m≠0)代入抛物线 C2 方程中,得 m2y2+y+2my=0,故可求得 Q 的坐标为: ,因为 AP⊥AQ, 所以 · = · - · =0,8m+2=0,解得 m=- ,符合 m<0,故直线 l 的方程为:4x+y-4=0. 22.(12 分)(2020·吉林模拟)已知点 D(0,-2),过点 D 作抛物线 C1:x2=2py(p>0)的切线 l,切点 A 在第二象限. 世纪金榜导学号 - 13 - (1)求切点 A 的纵坐标. (2)有一离心率为 的椭圆 + =1(a>b>0)恰好经过切点 A,设切线 l 与椭圆的另一交点为 点 B,记切线 l,OA,OB 的斜率分别为 k,k1,k2,若 k1+k2=4k,求椭圆的方程. 【解析】(1)设切点 A(x0,y0),则有 y0= , 由切线 l 的斜率为 k= , 得 l 的方程为 y= x- , 又点 D(0,-2)在 l 上,所以 2= ,即 y0=2, 所以点 A 的纵坐标为 2. (2)由(1)得 A(-2 ,2),切线斜率 k=- , 设 B(x1,y1),切线方程为 y=kx-2, 由 e= 得 = ,又 c2=a2-b2,所以 a2=4b2. 所以椭圆方程为 + =1 且过 A(-2 ,2), 所以 b2=p+4.由 得(1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0, - 14 - 所以 又因为 k1+k2=4k, 即 + = =2k- =2k- =4k, 解得 b2=8,所以 a2=4b2=32, 所以椭圆方程为 + =1.