浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第5节直线平面垂直的判定及其性质课件 37页

第 5 节　直线、平面垂直的判定及其性质 考试要求　 1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理； 2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1 . 直线与平面垂直 (1) 直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 α 内的 直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直 . 任意 (2) 判定定理与性质定理 两条相交直线 l ⊥ a l ⊥ b a ⊂ α 平行 a ⊥ α b ⊥ α b ⊂ α 2. 平面与平面垂直 (1) 平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直 . 直二面角 (2) 判定定理与性质定理 垂线 l ⊥ α l ⊂ β 交线 α ⊥ β α ∩ β ＝ a l ⊥ a l ⊂ β [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 垂直关系的转化 2. 直线与平面垂直的五个结论 (1) 若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线 . (2) 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 . (3) 垂直于同一条直线的两个平面平行 . (4) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 . (5) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l ⊥ α .( 　　 ) (2) 垂直于同一个平面的两平面平行 .( 　　 ) (3) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 .( 　　 ) (4) 若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线，则 α ⊥ β .( 　　 ) 解析　 (1) 直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则有 l ⊥ α 或 l 与 α 斜交或 l ⊂ α 或 l ∥ α ，故 (1) 错误 . (2) 垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故 (2) 错误 . (3) 若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故 (3) 错误 . (4) 若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的所有直线，则 α ⊥ β ，故 (4) 错误 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 2. (2020· 温州适应性测试 ) 设 m ， n 为直线， α ， β 为平面，则 m ⊥ α 的一个充分条件可以是 ( 　　 ) A. α ⊥ β ， α ∩ β ＝ n ， m ⊥ n B. α ∥ β ， m ⊥ β C. α ⊥ β ， m ∥ β D. n ⊂ α ， m ⊥ n 解析 　对于 A ，直线 m 与平面 α 可能平行、相交或直线 m 在平面 α 内， A 错误；对于 B ，由直线垂直于两平行平面中的一个，得该直线垂直于另一个平面， B 正确，对于 C ，直线 m 与平面 α 可能平行、相交或直线 m 在平面 α 内， C 错误；对于 D ，直线 m 与平面 α 可能平行、相交或直线 m 在平面 α 内， D 错误 . 综上所述，故选 B. 答案 　 B 3. (2016· 浙江卷 ) 已知互相垂直的平面 α ， β 交于直线 l ，若直线 m ， n 满足 m ∥ α ， n ⊥ β ，则 ( 　　 ) A. m ∥ l B. m ∥ n C. n ⊥ l D. m ⊥ n 解析 　因为 α ∩ β ＝ l ，所以 l ⊂ β ，又 n ⊥ β ，所以 n ⊥ l ，故选 C. 答案 　 C 4. 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为棱 CD 的中点，则 ( 　　 ) A. A 1 E ⊥ DC 1 B. A 1 E ⊥ BD C. A 1 E ⊥ BC 1 D. A 1 E ⊥ AC 解析　 如图， 由题设知 A 1 B 1 ⊥ 平面 BCC 1 B 1 且 BC 1 ⊂ 平面 BCC 1 B 1 ，从而 A 1 B 1 ⊥ BC 1 ，又 B 1 C ⊥ BC 1 ，且 A 1 B 1 ∩ B 1 C ＝ B 1 ，所以 BC 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 CD ，又 A 1 E ⊂ 平面 A 1 B 1 CD ，所以 A 1 E ⊥ BC 1 . 答案　 C 5. (2020· 北京顺义区二模 ) 已知 m ， n 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，则 ( 　　 ) A. 若 m ⊥ α ， α ⊥ β ，则 m ∥ β B. 若 m ∥ α ， n ⊥ α ，则 m ⊥ n C. 若 m ⊂ α ， n ⊂ α ， m ∥ β ， n ∥ β ，则 α ∥ β D. 若 m ∥ α ， n ∥ α ，则 m ∥ n 解析 　在如图 所示的正方体中依次判断各个选项； A 选项，面 ABCD ⊥ 面 ADD 1 A 1 ， AA 1 ⊥ 面 ABCD ，此时 AA 1 ⊂ 面 ADD 1 A 1 ，可知 A 错误； B 选项， m ∥ α ，则 α 内必存在直线，使得 m ∥ l ；又 n ⊥ α ，则 n ⊥ l ，可知 n ⊥ m ，可知 B 正确； C 选项，取 AA 1 和 DD 1 中点 E 和 F ，可知 A 1 D 1 ∥ 面 ABCD ， EF ∥ 面 ABCD ， A 1 D 1 ， EF ⊂ 面 ADD 1 A 1 ，此时面 ADD 1 A 1 ⊥ 面 ABCD ，可知 C 错误； D 选项， AA 1 ∥ 面 BCC 1 B 1 ， AD ∥ 面 BCC 1 B 1 ，此时 AA 1 ∩ AD ＝ A ，可知 D 错误 . 答案　 B 6. ( 必修 2P67 练习 2 改编 ) 在三棱锥 P － ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O ， (1) 若 PA ＝ PB ＝ PC ，则点 O 是 △ ABC 的 ________ 心 . (2) 若 PA ⊥ PB ， PB ⊥ PC ， PC ⊥ PA ，则点 O 是 △ ABC 的 ________ 心 . 所以 OA ＝ OB ＝ OC ，即 O 为 △ ABC 的外心 . 图 1 解析　 (1) 如图 1 ，连接 OA ， OB ， OC ， OP ， 在 Rt △ POA 、 Rt △ POB 和 Rt △ POC 中， PA ＝ PC ＝ PB ， (2) 如图 2 ， ∵ PC ⊥ PA ， PB ⊥ PC ， PA ∩ PB ＝ P ， 图 2 ∴ PC ⊥ 平面 PAB ， AB ⊂ 平面 PAB ， ∴ PC ⊥ AB ，又 AB ⊥ PO ， PO ∩ PC ＝ P ， ∴ AB ⊥ 平面 PGC ，又 CG ⊂ 平面 PGC ， ∴ AB ⊥ CG ， 即 CG 为 △ ABC 边 AB 的高 . 同理可证 BD ， AH 分别为 △ ABC 边 AC ， BC 上的高，即 O 为 △ ABC 的垂心 . 答案　 (1) 外　 (2) 垂 考点一　线面垂直的判定与性质 求证： (1) B 1 M ∥ 平面 A 1 BN ； (2) AD ⊥ 平面 A 1 BN . 证明　 (1) 连接 MN ，正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，四边形 AA 1 C 1 C 是平行四边形，因为点 M ， N 分别是棱 A 1 C 1 ， AC 的中点，所以 MN ∥ AA 1 且 MN ＝ AA 1 ，又正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中 AA 1 ∥ BB 1 且 AA 1 ＝ BB 1 ，所以 MN ∥ BB 1 且 MN ＝ BB 1 ，所以四边形 MNBB 1 是平行四边形，所以 B 1 M ∥ BN ，又 B 1 M ⊄平面 A 1 BN ， BN ⊂ 平面 A 1 BN ，所以 B 1 M ∥ 平面 A 1 BN . (2) 正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AA 1 ⊥ 平面 ABC ， BN ⊂ 平面 ABC ，所以 BN ⊥ AA 1 . 在正 △ ABC 中， N 是 AC 的中点， 所以 BN ⊥ AC ，又 AA 1 ， AC ⊂ 平面 AA 1 C 1 C ， AA 1 ∩ AC ＝ A ， 所以 BN ⊥ 平面 AA 1 C 1 C ，又 AD ⊂ 平面 AA 1 C 1 C ， 所以 AD ⊥ BN . 又 BN ∩ A 1 N ＝ N ， BN ， A 1 N ⊂ 平面 A 1 BN ，所以 AD ⊥ 平面 A 1 BN . 规律方法 　 (1) 证明直线和平面垂直的常用方法有： ① 判定定理； ② 垂直于平面的传递性 ( a ∥ b ， a ⊥ α ⇒ b ⊥ α ) ； ③ 面面平行的性质 ( a ⊥ α ， α ∥ β ⇒ a ⊥ β ) ； ④ 面面垂直的性质 ( α ⊥ β ， α ∩ β ＝ a ， l ⊥ a ， l ⊂ β ⇒ l ⊥ α ). (2) 证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 . 因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 . 求证： PA ⊥ CD . 证明 　因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC ⊥ CB . 由余弦定理得 CD 2 ＝ DB 2 ＋ BC 2 － 2 DB · BC cos 30° ＝ 3 ， 所以 CD 2 ＋ DB 2 ＝ BC 2 ，即 CD ⊥ AB . 因为 PD ⊥ 平面 ABC ， CD ⊂ 平面 ABC ， 所以 PD ⊥ CD ，由 PD ∩ AB ＝ D 得， CD ⊥ 平面 PAB ， 又 PA ⊂ 平面 PAB ，所以 PA ⊥ CD . 考点二　面面垂直的判定与性质 【例 2 】 (2018· 江苏卷 ) 在平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 ＝ AB ， AB 1 ⊥ B 1 C 1 . 求证： (1) AB ∥ 平面 A 1 B 1 C ； (2) 平面 ABB 1 A 1 ⊥ 平面 A 1 BC . 证明 　 (1) 在平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ∥ A 1 B 1 . 因为 AB ⊄ 平面 A 1 B 1 C ， A 1 B 1 ⊂ 平面 A 1 B 1 C ，所以 AB ∥ 平面 A 1 B 1 C . (2) 在平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，四边形 ABB 1 A 1 为平行四边形 . 又因为 AA 1 ＝ AB ，所以四边形 ABB 1 A 1 为菱形， 因此 AB 1 ⊥ A 1 B . 又因为 AB 1 ⊥ B 1 C 1 ， BC ∥ B 1 C 1 ，所以 AB 1 ⊥ BC . 又因为 A 1 B ∩ BC ＝ B ， A 1 B ⊂ 平面 A 1 BC ， BC ⊂ 平面 A 1 BC ， 所以 AB 1 ⊥ 平面 A 1 BC . 因为 AB 1 ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ， 所以平面 ABB 1 A 1 ⊥ 平面 A 1 BC . 规律方法　 (1) 证明平面和平面垂直的方法： ① 面面垂直的定义； ② 面面垂直的判定定理 . (2) 已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 . 【训练 2 】 如图，在三棱锥 A － BCD 中， AB ⊥ AD ， BC ⊥ BD ，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，点 E ， F ( E 与 A ， D 不重合 ) 分别在棱 AD ， BD 上，且 EF ⊥ AD . 求证： (1) EF ∥ 平面 ABC ； (2) AD ⊥ AC . 证明　 (1) 在平面 ABD 内， AB ⊥ AD ， EF ⊥ AD ，则 AB ∥ EF . ∵ AB ⊂ 平面 ABC ， EF ⊄ 平面 ABC ， ∴ EF ∥ 平面 ABC . (2) ∵ BC ⊥ BD ，平面 ABD ∩ 平面 BCD ＝ BD ，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ， BC ⊂ 平面 BCD ， ∴ BC ⊥ 平面 ABD . ∵ AD ⊂ 平面 ABD ， ∴ BC ⊥ AD . 又 AB ⊥ AD ， BC ， AB ⊂ 平面 ABC ， BC ∩ AB ＝ B ， ∴ AD ⊥ 平面 ABC ，又因为 AC ⊂ 平面 ABC ， ∴ AD ⊥ AC . 考点三　平行与垂直的综合问题 角度 1 　多面体中平行与垂直关系的证明 【例 3 － 1 】 (2018· 北京卷 ) 如图，在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， PA ⊥ PD ， PA ＝ PD ， E ， F 分别为 AD ， PB 的中点 . 多维探究 (1) 求证： PE ⊥ BC ； (2) 求证：平面 PAB ⊥ 平面 PCD ； (3) 求证： EF ∥ 平面 PCD . 证明　 (1) 因为 PA ＝ PD ， E 为 AD 的中点，所以 PE ⊥ AD . 因为底面 ABCD 为矩形，所以 BC ∥ AD . 所以 PE ⊥ BC . (2) 因为底面 ABCD 为矩形，所以 AB ⊥ AD . 又因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， AB ⊂ 平面 ABCD ， 所以 AB ⊥ 平面 PAD . 又 PD ⊂ 平面 PAD ，所以 AB ⊥ PD . 又因为 PA ⊥ PD ，且 PA ∩ AB ＝ A ， 所以 PD ⊥ 平面 PAB . 又 PD ⊂ 平面 PCD ， 所以平面 PAB ⊥ 平面 PCD . (3) 如图，取 PC 中点 G ，连接 FG ， DG . 因为 F ， G 分别为 PB ， PC 的中点， 所以 DE ∥ FG ， DE ＝ FG . 所以四边形 DEFG 为平行四边形 . 所以 EF ∥ DG . 又因为 EF ⊄ 平面 PCD ， DG ⊂ 平面 PCD ， 所以 EF ∥ 平面 PCD . 规律方法　 (1) 三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化 . (2) 垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用 . 角度 2 　平行垂直中探索性问题 【例 3 － 2 】 如图所示，平面 ABCD ⊥ 平面 BCE ，四边形 ABCD 为矩形， BC ＝ CE ，点 F 为 CE 的中点 . (1) 证明： AE ∥ 平面 BDF . (2) 点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P ，使得 PM ⊥ BE ？若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由 . (1) 证明 　 连接 AC 交 BD 于 O ，连接 OF ，如图 ① . ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ O 为 AC 的中点，又 F 为 EC 的中点， ∴ OF 为 △ ACE 的中位线， ∴ OF ∥ AE ，又 OF ⊂ 平面 BDF ， AE ⊄ 平面 BDF ， ∴ AE ∥ 平面 BDF . (2) 解 　当 P 为 AE 中点时，有 PM ⊥ BE ， 证明如下：取 BE 中点 H ，连接 DP ， PH ， CH ， ∵ P 为 AE 的中点， H 为 BE 的中点， ∴ PH ∥ AB ，又 AB ∥ CD ， ∴ PH ∥ CD ， ∴ P ， H ， C ， D 四点共面 . ∵ 平面 ABCD ⊥ 平面 BCE ，平面 ABCD ∩ 平面 BCE ＝ BC ， CD ⊂ 平面 ABCD ， CD ⊥ BC . ∴ CD ⊥ 平面 BCE ，又 BE ⊂ 平面 BCE ， ∴ CD ⊥ BE ， ∵ BC ＝ CE ， H 为 BE 的中点， ∴ CH ⊥ BE ，又 CD ∩ CH ＝ C ， ∴ BE ⊥ 平面 DPHC ，又 PM ⊂ 平面 DPHC ， ∴ BE ⊥ PM ，即 PM ⊥ BE . 规律方法　 (1) 求条件探索性问题的主要途径： ① 先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； ② 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性 . (2) 涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点 . 【训练 3 】 (1) ( 角度 1)(2019· 江苏卷 ) 如图，在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， D ， E 分别为 BC ， AC 的中点， AB ＝ BC . 求证： ① A 1 B 1 ∥ 平面 DEC 1 ； ② BE ⊥ C 1 E . ① 证明：平面 AMD ⊥ 平面 BMC ； ② 在线段 AM 上是否存在点 P ，使得 MC ∥ 平面 PBD ？说明理由 . (1) 证明 　 ① 因为 D ， E 分别为 BC ， AC 的中点，所以 ED ∥ AB . 在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AB ∥ A 1 B 1 ，所以 A 1 B 1 ∥ ED . 又因为 ED ⊂ 平面 DEC 1 ， A 1 B 1 ⊄ 平面 DEC 1 ，所以 A 1 B 1 ∥ 平面 DEC 1 . ② 因为 AB ＝ BC ， E 为 AC 的中点，所以 BE ⊥ AC . 因为三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 是直棱柱，所以 C 1 C ⊥ 平面 ABC . 又因为 BE ⊂ 平面 ABC ，所以 C 1 C ⊥ BE . 因为 C 1 C ⊂ 平面 A 1 ACC 1 ， AC ⊂ 平面 A 1 ACC 1 ， C 1 C ∩ AC ＝ C ， 所以 BE ⊥ 平面 A 1 ACC 1 . 因为 C 1 E ⊂ 平面 A 1 ACC 1 ，所以 BE ⊥ C 1 E . (2) ① 证明　 由题设知，平面 CMD ⊥ 平面 ABCD ，交线为 CD . 因为 BC ⊥ CD ， BC ⊂ 平面 ABCD ， 所以 BC ⊥ 平面 CMD ，又 DM ⊂ 平面 CMD ，故 BC ⊥ DM . 又 BC ∩ CM ＝ C ，所以 DM ⊥ 平面 BMC . 而 DM ⊂ 平面 AMD ，故平面 AMD ⊥ 平面 BMC . ② 解　 当 P 为 AM 的中点时， MC ∥ 平面 PBD . 证明如下：如图，连接 AC ， BD ， AC 交 BD 于 O . 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点 . 连接 OP ， 因为 P 为 AM 中点，所以 MC ∥ OP . MC ⊄ 平面 PBD ， OP ⊂ 平面 PBD ， 所以 MC ∥ 平面 PBD .