高中数学人教a必修5学业分层测评21基本不等式：ab≤a＋b2word版含解析 7页

学业分层测评（二十一） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．已知 x>0，y>0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则a＋b2 cd 的最小值是( ) A．0 B．1 C．2 D．4 【解析】 a＋b2 cd ＝x＋y2 xy ≥4xy xy ＝4，当且仅当 x＝y 时等号成立． 【答案】 D 2．设 x>0，则 y＝3－3x－1 x 的最大值是( ) A．3 B．3－2 2 C．3－2 3 D．－1 【解析】 y＝3－3x－1 x ＝3－ 3x＋1 x ≤3－2 3x·1 x ＝3－2 3， 当且仅当 3x＝1 x ，即 x＝ 3 3 时取等号． 【答案】 C 3．下列函数中，最小值为 4 的函数是( ) A．y＝x＋4 x B．y＝sin x＋ 4 sin x C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81 【解析】 A、D 不能保证是两正数之和，sin x 取不到 2，只有 C 项满足两 项均为正，当且仅当 x＝ln 2 时等号成立． 【答案】 C 4．已知 m＝a＋ 1 a－2(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则 m，n 之间的大小关系是 ( ) A．m>n B．m2，∴a－2>0. 又∵m＝a＋ 1 a－2 ＝(a－2)＋ 1 a－2 ＋2≥2 a－2× 1 a－2 ＋2＝4(当且仅当 a －2＝ 1 a－2 ，即 a＝3 时，“＝”成立)． 即 m∈[4，＋∞)，由 b≠0 得 b2≠0， ∴2－b2<2，∴22－b2<4，即 n<4. ∴n∈(0,4)，综上易知 m>n. 【答案】 A 5．已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( ) A．3 B．4 C.9 2 D.11 2 【解析】 ∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝ 8－x 2x＋2 >0. ∴00， x x2＋3x＋1 ≤a 恒成立，则 a 的取值范围是________． 【解析】 因为 x>0，所以 x＋1 x ≥2. 当且仅当 x＝1 时取等号，所以有 x x2＋3x＋1 ＝ 1 x＋1 x ＋3 ≤ 1 2＋3 ＝1 5 ， 即 x x2＋3x＋1 的最大值为1 5 ， 故 a≥1 5. 【答案】 1 5 ，＋∞ 8．设 a>0，b>0，给出下列不等式： ①a2＋1>a； ② a＋1 a b＋1 b ≥4； ③(a＋b) 1 a ＋1 b ≥4； ④a2＋9>6a. 其中恒成立的是________(填序号)． 【解析】 由于 a2＋1－a＝ a－1 2 2＋3 4>0，故①恒成立； 由于 a＋1 a ≥2，b＋1 b ≥2. ∴ a＋1 a b＋1 b ≥4，故②恒成立； 由于 a＋b≥2 ab，1 a ＋1 b ≥2 1 ab ， 故(a＋b)· 1 a ＋1 b ≥4，故③恒成立；当 a＝3 时，a2＋9＝6a，故④不能恒成立． 【答案】 ①②③ 三、解答题 9．(1)已知 x<3，求 f(x)＝ 4 x－3 ＋x 的最大值； (2)已知 x，y∈R＋，且 x＋y＝4，求1 x ＋3 y 的最小值. 【导学号：05920079】 【解】 (1)∵x<3，∴x－3<0， ∴f(x)＝ 4 x－3 ＋x＝ 4 x－3 ＋(x－3)＋3 ＝－ 4 3－x ＋3－x ＋3 ≤－2 4 3－x·3－x＋3＝－1， 当且仅当 4 3－x ＝3－x，即 x＝1 时取等号， ∴f(x)的最大值为－1. (2)法一 ∵x，y∈R＋， ∴(x＋y) 1 x ＋3 y ＝4＋ y x ＋3x y ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3x y ，即 x＝2( 3－1)，y＝2(3－ 3)时取“＝”号． 又 x＋y＝4，∴1 x ＋3 y ≥1＋ 3 2 ， 故1 x ＋3 y 的最小值为 1＋ 3 2 . 法二 ∵x，y∈R＋，且 x＋y＝4， ∴1 x ＋3 y ＝x＋y 4x ＋3x＋y 4y ＝1＋ y 4x ＋3x 4y ≥1＋2 y 4x·3x 4y ＝1＋ 3 2 . 当且仅当 y 4x ＝3x 4y ，即 x＝2( 3－1)，y＝2(3－ 3)时取“＝”号． ∴1 x ＋3 y 的最小值为 1＋ 3 2 . 10．某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约 为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元，问这种汽车 使用多少年时，它的年平均费用最少？ 【解】 设使用 x 年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列． 因此，汽车使用 x 年总的维修费用为 0.2＋0.2x 2 x 万元． 设汽车的年平均费用为 y 万元，则有 y＝ 10＋0.9x＋0.2＋0.2x 2 x x ＝10＋x＋0.1x2 x ＝1＋10 x ＋ x 10 ≥1＋2 10 x · x 10 ＝3. 当且仅当10 x ＝ x 10 ，即 x＝10 时，y 取最小值． 即这种汽车使用 10 年时，年平均费用最少． [能力提升] 1．(2015·湖南高考)若实数 a，b 满足1 a ＋2 b ＝ ab，则 ab 的最小值为( ) A. 2 B．2 C．2 2 D．4 【解析】 由1 a ＋2 b ＝ ab知 a>0，b>0，所以 ab＝1 a ＋2 b ≥2 2 ab ，即 ab≥2 2， 当且仅当 1 a ＝2 b ， 1 a ＋2 b ＝ ab 即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”，所以 ab 的最小 值为 2 2. 【答案】 C 2．若 lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，则 xy 的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解】 由 lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)， 得 x>0， y>0， 3xy＝x＋y＋1， 因为 x>0，y>0，所以 3xy＝x＋y＋1≥2 xy＋1， 所以 3xy－2 xy－1≥0， 即 3( xy)2－2 xy－1≥0， 所以(3 xy＋1)( xy－1)≥0， 所以 xy≥1，所以 xy≥1， 当且仅当 x＝y＝1 时，等号成立， 所以 xy 的最小值为 1. 【答案】 A 3．设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xy z 取得最大值时2 x ＋1 y － 2 z 的最大值为________． 【解析】 xy z ＝ xy x2－3xy＋4y2 ＝ 1 x y ＋4y x －3 ≤ 1 4－3 ＝1 当且仅当 x＝2y 时等式成立，此时 z＝2y2，2 x ＋1 y －2 z ＝－1 y2 ＋2 y ＝－ 1 y －1 2＋ 1≤1，当且仅当 y＝1 时等号成立，故所求的最大值为 1. 【答案】 1 4．已知函数 f(x)＝lg x(x∈R＋)，若 x1，x2∈R＋，判断1 2[f(x1)＋f(x2)]与 f x1＋x2 2 的大小并加以证明． 【解】 1 2[f(x1)＋f(x2)]≤f x1＋x2 2 . 证明：f(x1)＋f(x2) ＝lg x1＋lg x2＝lg(x1·x2)， f x1＋x2 2 ＝lg x1＋x2 2 . ∵x1，x2∈R＋，∴x1＋x2 2 ≥ x1·x2， ∴lg x1·x2≤lg x1＋x2 2 ， 即 1 2lg(x1·x2)≤lg x1＋x2 2 ， ∴1 2(lg x1＋lg x2)≤lg x1＋x2 2 . 故1 2[f(x1)＋f(x2)]≤f x1＋x2 2 .