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  • 2021-06-15 发布

高中数学人教a必修5学业分层测评21基本不等式:ab≤a+b2word版含解析

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学业分层测评(二十一) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则a+b2 cd 的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】 a+b2 cd =x+y2 xy ≥4xy xy =4,当且仅当 x=y 时等号成立. 【答案】 D 2.设 x>0,则 y=3-3x-1 x 的最大值是( ) A.3 B.3-2 2 C.3-2 3 D.-1 【解析】 y=3-3x-1 x =3- 3x+1 x ≤3-2 3x·1 x =3-2 3, 当且仅当 3x=1 x ,即 x= 3 3 时取等号. 【答案】 C 3.下列函数中,最小值为 4 的函数是( ) A.y=x+4 x B.y=sin x+ 4 sin x C.y=ex+4e-x D.y=log3x+logx81 【解析】 A、D 不能保证是两正数之和,sin x 取不到 2,只有 C 项满足两 项均为正,当且仅当 x=ln 2 时等号成立. 【答案】 C 4.已知 m=a+ 1 a-2(a>2),n=22-b2(b≠0),则 m,n 之间的大小关系是 ( ) A.m>n B.m2,∴a-2>0. 又∵m=a+ 1 a-2 =(a-2)+ 1 a-2 +2≥2 a-2× 1 a-2 +2=4(当且仅当 a -2= 1 a-2 ,即 a=3 时,“=”成立). 即 m∈[4,+∞),由 b≠0 得 b2≠0, ∴2-b2<2,∴22-b2<4,即 n<4. ∴n∈(0,4),综上易知 m>n. 【答案】 A 5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( ) A.3 B.4 C.9 2 D.11 2 【解析】 ∵x+2y+2xy=8,∴y= 8-x 2x+2 >0. ∴00, x x2+3x+1 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. 【解析】 因为 x>0,所以 x+1 x ≥2. 当且仅当 x=1 时取等号,所以有 x x2+3x+1 = 1 x+1 x +3 ≤ 1 2+3 =1 5 , 即 x x2+3x+1 的最大值为1 5 , 故 a≥1 5. 【答案】 1 5 ,+∞ 8.设 a>0,b>0,给出下列不等式: ①a2+1>a; ② a+1 a b+1 b ≥4; ③(a+b) 1 a +1 b ≥4; ④a2+9>6a. 其中恒成立的是________(填序号). 【解析】 由于 a2+1-a= a-1 2 2+3 4>0,故①恒成立; 由于 a+1 a ≥2,b+1 b ≥2. ∴ a+1 a b+1 b ≥4,故②恒成立; 由于 a+b≥2 ab,1 a +1 b ≥2 1 ab , 故(a+b)· 1 a +1 b ≥4,故③恒成立;当 a=3 时,a2+9=6a,故④不能恒成立. 【答案】 ①②③ 三、解答题 9.(1)已知 x<3,求 f(x)= 4 x-3 +x 的最大值; (2)已知 x,y∈R+,且 x+y=4,求1 x +3 y 的最小值. 【导学号:05920079】 【解】 (1)∵x<3,∴x-3<0, ∴f(x)= 4 x-3 +x= 4 x-3 +(x-3)+3 =- 4 3-x +3-x +3 ≤-2 4 3-x·3-x+3=-1, 当且仅当 4 3-x =3-x,即 x=1 时取等号, ∴f(x)的最大值为-1. (2)法一 ∵x,y∈R+, ∴(x+y) 1 x +3 y =4+ y x +3x y ≥4+2 3. 当且仅当y x =3x y ,即 x=2( 3-1),y=2(3- 3)时取“=”号. 又 x+y=4,∴1 x +3 y ≥1+ 3 2 , 故1 x +3 y 的最小值为 1+ 3 2 . 法二 ∵x,y∈R+,且 x+y=4, ∴1 x +3 y =x+y 4x +3x+y 4y =1+ y 4x +3x 4y ≥1+2 y 4x·3x 4y =1+ 3 2 . 当且仅当 y 4x =3x 4y ,即 x=2( 3-1),y=2(3- 3)时取“=”号. ∴1 x +3 y 的最小值为 1+ 3 2 . 10.某种汽车,购车费用是 10 万元,每年使用保险费、养路费、汽油费约 为 0.9 万元,年维修费第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元,问这种汽车 使用多少年时,它的年平均费用最少? 【解】 设使用 x 年平均费用最少.由条件知,汽车每年维修费用构成以 0.2 万元为首项,0.2 万元为公差的等差数列. 因此,汽车使用 x 年总的维修费用为 0.2+0.2x 2 x 万元. 设汽车的年平均费用为 y 万元,则有 y= 10+0.9x+0.2+0.2x 2 x x =10+x+0.1x2 x =1+10 x + x 10 ≥1+2 10 x · x 10 =3. 当且仅当10 x = x 10 ,即 x=10 时,y 取最小值. 即这种汽车使用 10 年时,年平均费用最少. [能力提升] 1.(2015·湖南高考)若实数 a,b 满足1 a +2 b = ab,则 ab 的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4 【解析】 由1 a +2 b = ab知 a>0,b>0,所以 ab=1 a +2 b ≥2 2 ab ,即 ab≥2 2, 当且仅当 1 a =2 b , 1 a +2 b = ab 即 a=4 2,b=2 4 2时取“=”,所以 ab 的最小 值为 2 2. 【答案】 C 2.若 lg(3x)+lgy=lg(x+y+1),则 xy 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解】 由 lg(3x)+lgy=lg(x+y+1), 得 x>0, y>0, 3xy=x+y+1, 因为 x>0,y>0,所以 3xy=x+y+1≥2 xy+1, 所以 3xy-2 xy-1≥0, 即 3( xy)2-2 xy-1≥0, 所以(3 xy+1)( xy-1)≥0, 所以 xy≥1,所以 xy≥1, 当且仅当 x=y=1 时,等号成立, 所以 xy 的最小值为 1. 【答案】 A 3.设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当xy z 取得最大值时2 x +1 y - 2 z 的最大值为________. 【解析】 xy z = xy x2-3xy+4y2 = 1 x y +4y x -3 ≤ 1 4-3 =1 当且仅当 x=2y 时等式成立,此时 z=2y2,2 x +1 y -2 z =-1 y2 +2 y =- 1 y -1 2+ 1≤1,当且仅当 y=1 时等号成立,故所求的最大值为 1. 【答案】 1 4.已知函数 f(x)=lg x(x∈R+),若 x1,x2∈R+,判断1 2[f(x1)+f(x2)]与 f x1+x2 2 的大小并加以证明. 【解】 1 2[f(x1)+f(x2)]≤f x1+x2 2 . 证明:f(x1)+f(x2) =lg x1+lg x2=lg(x1·x2), f x1+x2 2 =lg x1+x2 2 . ∵x1,x2∈R+,∴x1+x2 2 ≥ x1·x2, ∴lg x1·x2≤lg x1+x2 2 , 即 1 2lg(x1·x2)≤lg x1+x2 2 , ∴1 2(lg x1+lg x2)≤lg x1+x2 2 . 故1 2[f(x1)+f(x2)]≤f x1+x2 2 .