2020高中数学 第三章 三角恒等变换 阶段复习课 第4课 三角恒等变换学案 新人教A版必修4 8页

第四课　三角恒等变换 ‎[核心速填]‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin_αcosβ±cos_αsin_β.‎ cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β.‎ tan(α±β)＝.‎ ‎2．倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ tan 2α＝.‎ ‎3．半角公式 sin＝±.‎ cos＝±.‎ tan＝±＝＝.‎ ‎4．辅助角公式 ‎(1)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎(2)与特殊角有关的几个结论：‎ sin α±cos α＝sin，‎ sin α±cos α＝2sin，‎ sin α±cos α＝2sin.‎ ‎[体系构建]‎ 8‎ ‎[题型探究]‎ 三角函数式求值 ‎　(1)已知sin＝－，则cos＝(　　)‎ A．－　　 B．－ C． D． ‎(2)4cos 50°－tan 40°等于(　　)‎ A． B． C． D．2－1‎ ‎(3)已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.‎ ‎ (1)C　(2)C　　[(1)cos＝cos ‎＝1－2sin2 ‎＝1－2×2‎ ‎＝.‎ ‎(2)4cos 50°－tan 40°‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ 8‎ ‎＝＝.‎ ‎(3)tan α＝tan[(α－β)＋β]‎ ‎＝＝＞0.‎ 而α∈(0，π)，故α∈.‎ ‎∵tan β＝－，0＜β＜π，∴＜β＜π，‎ ‎∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝＞0，‎ ‎∴－π＜α－β＜－，‎ ‎∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．‎ ‎∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]‎ ‎＝＝1，‎ ‎∴2α－β＝－.]‎ ‎[规律方法]　三角函数求值主要有三种类型，即：‎ (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.‎ (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.‎ (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．若α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝‎ ‎(　　) 【导学号：84352353】‎ A． B．－ C．－ D．或－ 8‎ C　[∵α，β∈，∴α＋β∈，β－∈，‎ ‎∴cos(α＋β)＝＝＝，‎ cos＝－＝－＝－，‎ 则cos＝cos ‎＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ‎＝×＋×＝－.]‎ ‎2．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tan Atan B＝________.‎ 　[因为3cos2＋5sin2＝4，‎ 所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝0，‎ 所以cos Acos B＋sin Asin B－cos Acos B＋sin Asin B＝0，‎ 即cos Acos B＝4sin Asin B，‎ 所以tan Atan B＝.]‎ 三角函数式化简 ‎　化简(1)；‎ ‎(2)·.‎ ‎ [解]　(1)原式＝ ‎＝＝＝cos 2x.‎ 8‎ ‎(2)原式＝·＝· ‎＝·＝.‎ ‎[规律方法]　三角函数式化简的基本技巧 ‎(1)sin α，cos α→凑倍角公式．‎ ‎(2)1±cos α→升幂公式．‎ ‎(3)asin α＋bcos α→辅助角公式asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)，其中tan φ＝或asin α＋bcos α＝·cos(α－φ)，其中tan φ＝.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．化简：(180°<α<360°)．‎ ‎[解]　原式 ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos <0，‎ ‎∴原式＝＝cos α.‎ 8‎ 三角恒等式的证明 ‎　求证：tan2x＋＝. ‎ ‎ [证明]　左边＝＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝＝右边．‎ 原式得证．‎ ‎[规律方法]　三角恒等式的证明问题的类型及策略 (1)不附加条件的恒等式证明.‎ 通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡.‎ (2)条件恒等式的证明.‎ 这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎4．已知sin(2α＋β)＝5sin β，求证：2tan(α＋β)＝3tan α.‎ ‎[证明]　由条件得sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]，‎ 两边分别展开得 sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ‎＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α，‎ 8‎ 整理得：‎ ‎4sin(α＋β)cos α＝6cos(α＋β)sin α，‎ 两边同除以2cos(α＋β)cos α得：‎ ‎2tan(α＋β)＝3tan α.‎ 三角恒等变换的综合应用 ‎　已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. ‎ ‎ [解]　(1)因为a∥b，‎ 所以3sin x＝－cos x，又cos x≠0，‎ 所以tan x＝－，因为x∈[0，π]，‎ 所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝3cos x－sin x ‎＝－2sin.‎ 因为x∈[0，π]，所以x－∈，‎ 所以－≤sin≤1，‎ 所以－2≤f(x)≤3，‎ 当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；‎ 当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－2.‎ ‎[规律方法]　三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.‎ (1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.‎ (2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.‎ (3)有时会以向量为背景出题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识.‎ 8‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎5．已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的单调递减区间．‎ ‎[解]　(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，‎ 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．‎ 因为f(x)＝ ‎＝2cos x(sin x－cos x)‎ ‎＝sin 2x－cos 2x－1‎ ‎＝sin－1，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)函数y＝sin x的单调递减区间为(k∈Z)．‎ 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ 8‎