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课时训练 18 简单的线性规划问题
一、求线性目标函数的最值
1.(2015 广东湛江高二期末,10)若实数 x,y 满足
-
+ 1 ≥ 0
,
+ ≥ 0
,
≤ 0
,
若 z=x+2y,则 z 的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
解析:作出不等式组对应的平面区域,
由 z=x+2y,得 y=-
1
2
x+
2
,平移直线 y=-
1
2
x+
2
,
由图象可知当直线经过点 A(0,1)时,直线 y=-
1
2
x+
2
的截距最大,此时 z 最大,代入目标函数得 z=2.
故选 B.
2.(2015 河南郑州高二期末,7)设变量 x,y 满足约束条件
+ ≥ 3
,
-
≥
-
1
,
2
-
≤ 3
,
则目标函数 z=2x+3y 的最小值为
( )
A.6 B.7
C.8 D.23
答案:B
解析:画出不等式
+ ≥ 3
,
-
≥
-
1
,
2
-
≤ 3
表示的可行域,如图,
让目标函数表示直线 y=-
2
3 +
3
在可行域上平移,知在点 B 处目标函数取到最小值,解方程组
+ = 3
,
2
-
= 3
, 得(2,1).
所以 zmin=4+3=7.故选 B.
3.设变量 x,y 满足约束条件
≥
,
+ 2 ≤ 2
,
≥
-
2
,
则 z=x-3y 的最小值为 .
答案:-8
解析:作出可行域如图阴影部分所示.
可知当 x-3y=z 经过点 A(-2,2)时,z 有最小值,此时 z 的最小值为-2-3×2=-8.
二、求非线性目标函数的最值
4.若实数 x,y 满足
-
+ 1 ≤ 0
,
> 0
, 则
的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(0,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案:C
解析:实数 x,y 满足
-
+ 1 ≤ 0
,
> 0
的相关区域如图中的阴影部分所示.
表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,
的取值范围为(1,+∞).
5.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组
2 + 3
-
6 ≤ 0
,
+
-
2 ≥ 0
,
≥ 0
所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值
是 .
答案:
2解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.
由图可知 OM 的最小值即为点 O 到直线 x+y-2=0 的距离,即 dmin=|-
2
|
2 = 2
.
三、求线性规划中的参数
6.x,y 满足约束条件
+
-
2 ≤ 0
,
-
2
-
2 ≤ 0
,
2
-
+ 2 ≥ 0
,
若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一...,则实数 a 的值为( )
A.
1
2
或 1 B.2 或
1
2C.2 或 1 D.2 或-1
答案:D
解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.
由 y=ax+z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距,故当 a>0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优
解不唯一,则 a=2,当 a<0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=-1.
7.(2015 山东潍坊四县联考,15)已知 a>0,x,y 满足
≥ 1
,
+ ≤ 3
,
≥
(
-
3
),
若 z=2x+y 的最小值为 1,则
a= .
答案:
1
2
解析:因为 a>0,作出不等式组
≥ 1
,
+ ≤ 3
,
≥
(
-
3
)
表示的平面区域,
得到如图的
△
ABC 及其内部,其中 A(1,2),B(1,-2a),C(3,0).
由 z=2x+y 得 y=-2x+z,
将直线 y=-2x 进行平移,可得当经过点 B 时,目标函数 z 达到最小值,此时 z=1,即 2-2a=1,解得 a=
1
2
.
8.当实数 x,y 满足
+ 2
-
4 ≤ 0
,
-
-
1 ≤ 0
,
≥ 1
时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .
答案:
1
,
3
2解析:画出可行域,如图中阴影部分所示,
设目标函数 z=ax+y,则 y=-ax+z,要使 1≤z≤4 恒成立,
则 a>0,数形结合知满足 1 ≤ 2 + 1 ≤ 4
,
1 ≤ ≤ 4
,
1 ≤ +
3
2 ≤ 4
即可,
解得 1≤a≤
3
2
,所以 a 的取值范围是
1
,
3
2
.
四、线性规划中的实际应用
9.(2015 河南南阳高二期中,20)某人上午 7:00 乘汽车以 v1 km/h(30≤v1≤100)匀速从 A 地出发到相距
300 km 的 B 地,在 B 地不作停留,然后骑摩托车以 v2 km/h(4≤v2≤20)匀速从 B 地出发到相距 50 km
的 C 地,计划在当天 16:00 至 21:00 到达 C 地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是 x,y 小时.如果已知
所需的经费 p=100+3(5-x)+2(8-y)元,那么 v1,v2 分别是多少时走的最经济,此时花费多少元?
解:由题意得,x=
300
1
,y=
50
2
,
∵30≤v1≤100,4≤v2≤20,
∴3≤x≤10,
5
2
≤y≤
25
2
.
由题设中的限制条件得 9≤x+y≤14,
于是得约束条件 9 ≤ + ≤ 14
,
3 ≤ ≤ 10
,
5
2 ≤ ≤
25
2
,
目标函数 p=100+3(5-x)+2(8-y)=131-3x-2y,作出可行域(如图),
设 z=3x+2y,当 y=-
3
2
x+
2
平移到过(10,4)点时在 y 轴上的截距最大,
此时 p 最小.
所以当 x=10,y=4,即 v1=30,v2=12.5 时,pmin=93 元.
(建议用时:30 分钟)
1.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数
多个,则 m 的值为( )
A.-
7
20
B.
7
20
C.
1
2
D.
7
20
或
1
2答案:B
解析:观察平面区域可知直线 y=-mx+z 与直线 AC 重合,则
22
5 =
-
+
,
3 =
-
5 +
,
解得 m=
7
20
.
2.设变量 x,y 满足约束条件
3 +
-
6 ≥ 0
,
-
-
2 ≤ 0
,
-
3 ≤ 0
,
则目标函数 z=y-2x 的最小值为( )
A.-7 B.-4
C.1 D.2
答案:A
解析:作约束条件
3 +
-
6 ≥ 0
,
-
-
2 ≤ 0
,
-
3 ≤ 0
所表示的可行域,如图所示,z=y-2x 可化为 y=2x+z,z 表示直线在 y 轴
上的截距,截距越大 z 越大,作直线 l0:y=2x,平移 l0,当 l0 过点 A(5,3)时,z 取最小值,且为-7,选 A.
3.若 A 为不等式组
≤ 0
,
≥ 0
,
-
≤ 2
表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的
那部分区域的面积为( )
A.
3
4
B.1 C.
7
4
D.2
答案:C
解析:如图所示,区域 A 表示的平面区域为
△
OBC 内部及其边界组成的图形,当 a 从-2 连续变化到 1 时
扫过的区域为四边形 ODEC 所围成的区域.
S 四边形 ODEC=S
△
OBC-S
△
BDE=2-
1
4 =
7
4
.
4.如果点 P 在平面区域
2
-
+ 2 ≥ 0
,
-
2 + 1 ≤ 0
,
+
-
2 ≤ 0
上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2=1 上,那么|PQ|的最小值为( )
A.
5
-1 B.
4
5
-1
C.2
2
-1 D.
2
-1
答案:A
解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点 P 到点 Q 的最小距离为点(-1,0)到点
(0,-2)的距离减去半径 1,|PQ|min=
1
2
+ 2
2
-1=
5
-1.
5.已知 x,y 满足条件
≥ 0
,
≤
,
2 + + ≤ 0
(k 为常数),若目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,则 k=( )
A.-16 B.-6 C.-
8
3
D.6
答案:B
解析:由 z=x+3y 得 y=-
1
3
x+
3
.
先作出
≥ 0
,
≤
的图象,
因为目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,所以 x+3y=8 与直线 y=x 的交点为 C,解得 C(2,2),代入直线
2x+y+k=0,得 k=-6,选 B.
6.若变量 x,y 满足约束条件
≤ 1
,
+ ≥ 0
,
-
-
2 ≤ 0
,
则 z=x-2y 的最大值为 .
答案:3
解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由 z=x-2y,得 y=
2
2
,当直线 y=
2
2
在 y 轴上的截距最
小时,z 取得最大值.由图知,当直线通过点 A 时,在 y 轴上的截距最小,
由
+ = 0
,
-
-
2 = 0
,解得 A(1,-1).
所以 zmax=1-2×(-1)=3.
7.记不等式组
≥ 0
,
+ 3 ≥ 4
,
3 + ≤ 4
所表示的平面区域为 D,若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则 a 的取值范围
是 .
答案:
1
2
,
4解析:作出如图所示的可行域,且 A(0,4),B(1,1).
又∵直线 y=a(x+1)过点 C(-1,0),而 kBC=
1
2
,kAC=4.
从而直线 y=a(x+1)与 D 有公共点时,a∈
1
2
,
4
.
8.已知变量 x,y 满足
2
-
≤ 0
,
-
3 + 5 ≥ 0
,则 z=x+y-2 的最大值为 .
答案:1
解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,
由图知,目标函数 z=x+y-2 在点 A 处取最大值.又 A(1,2),∴zmax=1+2-2=1.
9.设 z=2y-2x+4,式中 x,y 满足
0 ≤ ≤ 1
,
0 ≤ ≤ 2
,
2
-
≥ 1
,
求 z 的最大值和最小值.
解:作出满足条件
0 ≤ ≤ 1
,
0 ≤ ≤ 2
,
2
-
≥ 1
的可行域如图:
作直线 l:2y-2x=t,当 l 过点 A(0,2)时,zmax=2×2-2×0+4=8.
当 l 过点 B(1,1)时,zmin=2×1-2×1+4=4.
所以,z 的最大值为 8,最小值为 4.
10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 min 的广告,广告总费用不超过 9 万元.甲、
乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/min 和 200 元/min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的
每分钟广告,能给公司带来的收益分别是 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台
的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是 x min,y min,总收益为 z 万元,由题意得:
+ ≤ 300
,
500 + 200 ≤ 90 000
,
≥ 0
,
≥ 0
,
目标函数为 z=3 000x+2 000y.
作出二元一次不等式组 + ≤ 300
,
5 + 2 ≤ 900
,
≥ 0
,
≥ 0
所表示的区域,即可行域,如图:
作直线 l,即 3 000x+2 000y=0,即 3x+2y=0.平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过点 M 时,目标函数
取得最大值.
由
+ = 300
,
5 + 2 = 900
,解得
= 100
,
= 200
,
即 M(100,200).
则 zmax=3 000x+2 000y=700 000(元),
即该公司在甲电视台做 100 min 广告,在乙电视台做 200 min 广告,公司收益最大,最大收益是 70
万元.
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