2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第11章 11 13页

www.ks5u.com ‎11.4　空间中的垂直关系 ‎11.4.1　‎直线与平面垂直 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.了解直线与直线所成角及直线与平面垂直的定义．(重点)‎ ‎2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点)‎ ‎3．掌握线面垂直的性质定理，并能应用．(重点)‎ ‎4．会求直线与平面所成角及空间中的距离．(难点)‎ ‎1.通过直线与平面垂直的定义学习，培养直观想象的数学核心素养．‎ ‎2．借助线面垂直的判定定理与性质定理，提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养.‎ ‎　‎ ‎2020年6月17日‎15时19分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭，搭载高分九号03星成功送入预定轨道，发射取得圆满成功．若将火箭视为直线，搭载在发射塔上的火箭跟地面就是垂直关系．‎ 思考：(1)空间中如何判定两条直线是否垂直？‎ ‎(2)能否根据直线与直线的垂直，判定直线与平面的垂直？‎ ‎1．直线与直线所成角 一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．‎ 规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°，两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角．特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m.‎ 思考1：空间中两直线所成角θ的范围是什么？‎ ‎[提示]　0°≤θ≤90°.‎ ‎2．直线与平面垂直的定义 文字语言 图形语言 符号语言 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 l⊥α⇔‎ ‎∀m⊂α，‎ l⊥m ‎3.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 ⇒l⊥α 思考2：一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？‎ ‎[提示]　相交或平行或直线在平面内．‎ ‎4．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 符号语言 ⇒l∥m 图形语言 ‎[拓展]　‎ 直线与平面垂直的其他性质和结论 ‎(1)一条直线与一个平面垂直，这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．‎ ‎(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．‎ ‎(3)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．‎ ‎(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直．‎ ‎(5)如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线垂直．‎ ‎(6)如果平面外一条直线垂直于该平面的一条垂线，那么这条直线平行于这个平面．‎ ‎5．直线与平面所成的角 ‎(1)斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA．‎ ‎(2)斜足：斜线和平面的交点，图中点A．‎ ‎(3)射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO.‎ ‎(4)直线与平面所成的角：‎ ‎①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．‎ ‎②规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．‎ ‎(5)取值范围：0°≤θ≤90°.‎ ‎6．空间中的距离 空间中点面距离、线面距离、面面距离的关系：‎ 注：教材例4的结论称为三垂线定理，这是证明线线异面垂直的重要方法，除此之外有逆定理可证线线的相交垂直．‎ ‎[拓展]‎ 三垂线逆定理 如果一个平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． (　　)‎ ‎(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行． (　　)‎ ‎(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． (　　)‎ ‎[提示]　由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)√‎ ‎2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 A　[由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．]‎ ‎3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)‎ A．60° B．45°‎ C．30° D．120°‎ A　[由题意知，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，‎ BO＝AB，所以∠ABO＝60°.]‎ ‎4．如图，设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________．‎ 垂直　[因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又PB＝PD，‎ 所以PO⊥BD．所以PO⊥平面ABCD．]‎ 线面垂直的定义及线线角、线面角的求解 ‎【例1】　(1)下列说法中正确的个数是(　　)‎ ‎①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；‎ ‎②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；‎ ‎③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；‎ ‎④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎(2)在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎(3)如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，直线BC1与平面A1B‎1C1D1所成的角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．135°‎ ‎(1)D　(2)C　(3)B　[(1)由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．‎ ‎(2)因为A1B∥D‎1C，所以异面直线A1B与AD1所成的角为 ‎∠AD‎1C，‎ 因为△AD‎1C为等边三角形，‎ 所以∠AD‎1C＝60°.‎ ‎(3)在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，BB1⊥平面A1B‎1C1D1，BC1在平面A1B‎1C1D1中的射影为B‎1C1，所以∠BC1B1即为直线BC1与平面A1B‎1C1D1所成的角，在等腰直角三角形BB‎1C1中∠BC1B1＝45°.]‎ ‎1．理解线面垂直判定定理要注意的两个问题 ‎(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．‎ ‎(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点，是无关紧要的．‎ ‎2．求异面直线所成角的步骤 ‎(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．‎ ‎(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．‎ ‎(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．‎ ‎3．求斜线与平面所成角的步骤 ‎(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．‎ ‎(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．‎ ‎(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．‎ ‎(1)下列说法中错误的个数是(　　)‎ ‎①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α；‎ ‎②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交；‎ ‎③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直；‎ ‎④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直．‎ A．0　　 B．‎1　‎　　　C．2　　　　D．3‎ ‎(2)如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．‎ ‎(1)C　　(2)45°　[(1)①错误．若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内都有可能；‎ ‎②错误．若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能；③④正确．‎ ‎(2)因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角，又PA＝AB，所以∠PBA＝45°.]‎ 线面垂直判定定理的应用 ‎【例2】　如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.‎ ‎(1)求证：PC⊥平面AEF；‎ ‎(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD．‎ ‎[思路探究]　PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC，利用直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线．‎ ‎[证明]　(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BC．‎ 又AB⊥BC，PA∩AB＝A，‎ 所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，‎ 所以AE⊥BC．‎ 又AE⊥PB，PB∩BC＝B，‎ 所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，‎ 所以AE⊥PC．‎ 又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，‎ 所以PC⊥平面AEF.‎ ‎(2)由(1)知PC⊥平面AEF，‎ 所以PC⊥AG，‎ 同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，‎ 所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，‎ 所以AG⊥平面PCD，‎ 因为PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD．‎ ‎1．若本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.‎ ‎[证明]　因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，‎ 因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，‎ 所以BD⊥平面PAC，FH⊂平面PAC，‎ 所以BD⊥FH.‎ ‎2．若本例中若PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.‎ ‎[证明]　因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，‎ 所以DC⊥PA, ‎ 又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A，‎ 所以DC⊥平面PAD，又AG⊂平面PAD，‎ 所以AG⊥DC，‎ 因为PA＝AD，G是PD的中点，‎ 所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D，‎ 所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，‎ 又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A，‎ 所以PC⊥平面AFG.‎ 证明线面垂直的方法 ‎(1)线线垂直证明线面垂直 ‎①定义法(不常用)．‎ ‎②判定定理最常用(有时作辅助线)．‎ ‎(2)平行转化法(利用推论)‎ ‎①a∥b，a⊥α⇒b⊥α.‎ ‎②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.‎ 线面垂直性质定理的应用 ‎[探究问题]‎ 将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．‎ ‎1．折痕AD与桌面一定垂直吗？‎ ‎[提示]　不一定．‎ ‎2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？‎ ‎[提示]　当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．‎ ‎【例3】　如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，M是AB上一点，N是A‎1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.‎ ‎[思路探究]　两直线垂直于同一平面⇒两直线平行. ‎ ‎[证明]　因为四边形ADD‎1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD‎1A1，所以CD⊥AD1.‎ 因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.‎ 本例中条件不变，求证：M是AB中点．‎ ‎[证明]　连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．‎ 所以ONCDAB，‎ 所以ON∥AM.‎ 又因为由本例可知MN∥OA，‎ 所以四边形AMNO为平行四边形，‎ 所以ON＝AM.因为ON＝AB，‎ 所以AM＝AB，‎ 所以M是AB的中点．‎ 平行关系与垂直关系之间的相互转化 知识：‎ 重视线线垂直和线面垂直的互相转化 在解决直线与平面垂直问题的过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．‎ 方法：‎ ‎1．直线和平面垂直的判定方法 ‎(1)利用线面垂直的定义．‎ ‎(2)利用线面垂直的判定定理．‎ ‎(3)利用下面两个结论．‎ ‎①若a∥b，a⊥α，则b⊥α.②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.‎ ‎2．研究两条异面直线所成角的几种常用方法 ‎(1)过一条直线上的点，作另一条直线的平行线．‎ ‎(2)当异面直线依附于某几何体，且直接过一条直线上的点作另一条直线的平行线有困难时，可利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移，使它们相交于该特殊点．‎ ‎(3)通过构造辅助平面、辅助几何体(补形平移法——利用已知的图形，补作一个特殊的几何体，以便找到平行线)来平移直线．‎ ‎3．求线面角的常用方法 ‎(1)直接法(一作(或找)二证三计算)．‎ ‎(2)转移法(找过点与面平行的线或面)．‎ ‎1．下列条件中，能使直线m⊥α的是(　　)‎ A．m⊥b，m⊥c，b⊂α，c⊂α ‎ B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α ‎ D．m∥b，b⊥α D　[对于A，缺b与c相交；对于B，还可能得出m∥α，m与α相交或m⊂α；对于C，可能有m∥α或m⊂α或m与α相交．]‎ ‎2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行 B　[圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．]‎ ‎3．(一题两空)如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中AB1与平面ADD‎1A1所成的角等于________，AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．‎ ‎45°　0°　[∠B1AA1为AB1与平面ADD‎1A1所成的角，‎ 即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.]‎ ‎4．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.‎ ‎[证明]　如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，‎ 即△PEC是等腰三角形．‎ 又F是PC的中点，‎ ‎∴EF⊥PC．‎ 又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，‎ ‎∴BF⊥PC．又BF∩EF＝F，‎ ‎∴PC⊥平面BEF.‎