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  • 2021-06-15 发布

2021届广西南宁市普通高中高三(上)10月摸底测试数学(文)试题及答案解析

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2021 届广西南宁市普通高中高三(上)10 月摸底测试数学(文)试 题 一、单选题 1.随着我国经济的不断发展,2018年年底某偏远地区农民人均年收入为 3000元,预计该地区今 后农民的人均年收入将以每年 6%的年平均增长率增长,那么 2025年年底该地区的农民人均年收入 为( ) A.3000 1.06 7  元 B. 73000 1.06 元 C.3000 1.06 8  元 D. 83000 1.06 2. 已知集合 A={-1,a},B={0,1},若 A∩B={0},则 A∪B=( ) A.{0,1} B.{-1,0} C.{-1,0,1} D.{-1,1,2} 3.化简 cos cos3 sin 3 sin       的结果为( ) A. tan B. tan 2 C. 1 tan D. 1 tan 2 4.设复数 z满足 2019(1 )i z i  ,则复数 z的虚部为( ) A. 1 2  B. 1 2 C. 1 2 i D. 1 2 i 5.已知α为锐角,且 7sinα=2cos2α,则 sin = A. B. C.㤵 D.㤵 6.直线 : 2 1 0l x my m    与圆 2 2: ( 2) 4C x y   交于 A B、两点,则当弦 AB最短时直线 l的 方程为( ) A. 2 4 1 0x y   B. 2 4 3 0x y   C. 2 4 1 0x y   D. 2 4 3 0x y   7.函数    2ln 2f x x x    的单调递减区间为( ) A.    , 2 1,    B. 1-2 - 2 ( , ) C. 1- 1 2 ( ,) D. 1 ( , ) 8.如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的( ) A.平均数不变,方差不变 B.平均数改变,方差改变 C.平均数不变,方差改变 D.平均数改变,方差不变 9.已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球O的球面上,PA 平面 ABC, 2PA AB BC   ,PB 与平面 PAC所成的角为30°,则球O的表面积为( ) A.6 B.8 C.12 D. 24 10.等比数列 na 的各项均为正数,已知向量  4 5,a a a  ,  7 6,b a a  ,且 4a b   ,则 2 1 2 2 2 10log log log (a a a   ) A.2 B.0 C. D. 22 log 5 11.若对于任意的 1 2, [ 2,0)x x   , 1 2x x ,有 1 2 1 2 1 2 2 2x xx e x e a x x      ( ) ( ) 恒成立,则 a的最 小值为( ) A. 2 1 e  B. 2 2 e  C. 2 3 e  D. 1 e  12.如图,设抛物线 2 2y px 的焦点为 F ,过 x轴上一定点 (2,0)D 作斜率为 2的直线 l与抛物线 相交于 ,A B两点,与 y轴交于点C,记 BCF 面积为 1S , ACF 面积为 2S ,若 1 2 1 4 S S  ,则抛物 线的标准方程为 A. 2 2y x B. 2 8y x C. 2 4y x D. 2y x 二、填空题 13.若双曲线 2 2 2 1 4 x y a   ( 0)a  的一条渐近线方程过 (1, )a ,则此双曲线的离心率为__________. 14.若 x y, 满足约束条件 1 0 { 2 0, 2 2 0, x y x y x y         , ,则 2z x y  的最大值为____________. 15.已知球O的体积为36 ,则球O的内接圆锥的体积的最大值为_____________. 16.已知数列 na 共 16 项,且 1 81, 4a a  ,记关于 x 的函数,    3 2 21 1 , 3n n nf x x a x a x n N      ,若  1 1 15nx a n   是函数  nf x 的极值点,且曲线  8y f x 在点   16 8 16,a f a 处的切线的斜率为 15,则满足条件的数列 na 的个数_____ . 三、解答题 17.已知函数   3 3 1f x x a x    ,   4 1 2g x x x    . (1)求不等式   6g x  的解集; (2)若存在 1 2,x x R ,使得  1f x 和  2g x 互为相反数,求 a的取值范围. 18.已知在等比数列 na 中, 1 2a  ,且 1a , 2a , 3 2a  成等差数列. (Ⅰ)求数列 na 的通项公式; (Ⅱ)若数列 nb 满足: 2 1 2logn n n b a a   ,求数列 nb 的前 n项和 nS . 19. 已知函数 (( 1) 3 3 )x a a f x x   , 0a  且 1a  . (1)试就实数 a的不同取值,写出该函数的单调增区间; (2)已知当 0x  时,函数在  0, 6 上单调递减,在  6, 上单调递增,求 a的值并写出函 数的解析式; (3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线 l,使得 l为曲线C的对称轴? 若存在,求出直线 l的方程;若不存在,请说明理由. 20.如图所示,在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中,E F G H, , , 分别是 1 1 1 1AB AC AB AC, , , 的中点, 求证:(1) B C H G, , , 四点共面; (2)平面 1EFA //平面 BCHG. 21.已知点  1, 2A 是椭圆 2 2 2 2 1( 0)y x a b a b     上的一点,椭圆C的离心率与双曲线 2 2 1x y  的离心率互为倒数,斜率为 2直线 l交椭圆C于 B,D两点,且 A, B,D三点互 不重合. (1)求椭圆C的方程; (2)若 1k , 2k ,分别为直线 AB, AD的斜率,求证: 1 2k k 为定值. 22.已知函数 ( ) lnaf x b x x   ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=x. (1)求函数 f(x)的单调区间及极值; (2)若∀x≥1,f(x)≤kx恒成立,求 k的取值范围. 23.某中学为了了解全校学生的阅读情况,在全校采用随机抽样的方法抽取了 60 名学生(其 中初中组和高中组各 30 名)进行问卷调查,并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了 统计,将每组学生去图书馆的次数分为 5组:          0,4 , 4,8 , 8,12 , 12,16 , 16,20 ,分别制 作了如图所示的频率分布表和频率分布直方图. 分组 人数 频率  0,4 3  4,8 9  8,12 9  12,16 0.2  16,20 0.1 (1)完成频率分布表,并求出频率分布直方图中a的值; (2)在抽取的 60 名学生中,从在一个月内去图书馆的次数不少于 16 次的学生中随机抽 取 3 人,并用 X 表示抽得的高中组的人数,求 X 的分布列和数学期望. 【答案与解析】 1.B 设经过 x年,该地区的农民人均年收人为 y元,可列出函数表达式 3000 1.06xy   ,从而可求解. 设经过 x年,该地区的农民人均年收人为 y元, 根据题意可得 3000 1.06xy   ,从 2018到 2025年共经过了 7年, 2025年年底该地区的农民人均年收入为 73000 1.06 元. 故选:B 本题考查了指数函数在生活中的应用,解题的关键是建立函数模型,属于基础题. 2.C 由 A∩B={0},得0 A ,所以 0a  , A∪B={-1,0,1}. 3.B 利用三倍角公式把 cos3 和sin3 展开式代入式子, 得到原式 3 3 cos (4cos 3cos ) (3sin 4sin ) sin            ,再利用二倍角公式以及同角三角函数间的基本关系进一 步化简即可. 3 2 3 cos cos3 cos (4cos 3cos ) 4cos sin tan 2 sin3 sin (3sin 4sin ) sin 2cos2 sin                           , 故选 B. 本题属于三角函数的化简求值问题,解答本题要掌握三倍角公式. 4.B 利用 i4=1,复数的运算法则、虚部的定义即可得出. ∵i4=1,∴i2019=(i4)504•i3=﹣i. ∴       1 1 1 1 1 1 2 2 i iiz i i i           i. ∴ 1 1 2 2 z i   ,其虚部为 1 2 . 故选 B. 本题考查了复数的周期性、复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题. 5.A 由已知得 sin2 sin 㤵 2 䁠 0,从而求出 sin和 cos的值,再由两角和的正弦公式即能求出结 果. ∵为锐角,且 sin 䁠 2cos2,∴sin 䁠 2 㤵 2sin2 , ∴sin2 sin 㤵 2 䁠 0,∴sin 䁠㤵 2(舍去)舍去 䁠 , ∴ㄠ 䁠 㤵 2 䁠 , ∴舍去 䁠 舍去ㄠ ㄠ舍去 䁠 2 2 䁠 ,故选 A. 本题主要考查三角函数值的求法,同角三角函数关系式,两角和正弦公式的合理运用,是中档题. 6.B 先求出直线经过定点 1( ,1) 2 P ,圆的圆心为  0,2C ,根据直线与圆的位置关系可知,当CP l 时 弦 AB最短,根据 1CP lk k   求出m的值,即可求出直线 l的方程. 解:由题得, (2 1) ( 1) 0x m y    , 2 1 0 1 0 x y      ,解得: 1 2 1 x y      , 所以直线 l过定点 1( ,1) 2 P , 圆 2 2: ( 2) 4C x y   的圆心为  0,2C ,半径为 2, 当CP l 时,弦 AB最短,此时 1CP lk k   , 由题得 2 1 210 2 CPk      , 1 2lk  , 所以 2 1 2m   , 4m   , 所以直线 l的方程为: 2 4 3 0x y   . 故选:B. 本题考查直线过定点问题,考查直线方程的求法,以及直线和圆的位置关系,考查分析推理和化简 运算能力. 7.C 分析:求出函数的定义域,利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可. 详解:由 2 2 0x x    可得 2 1x   ,设 2t 2x x    , 因为函数 2t 2x x    在 1- 1 2 ( ,)上递减, y lnt 递增, 所以函数  f x 的单调递减区间为 1- 1 2 ( ,),故选 C. 点睛:本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性,属于中档题.复合函数的单调性的判断 可以综合考查两个函数的单调性,因此也是命题的热点,判断复合函数单调性要注意把握两点:一 是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含 义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减). 8.D 解:按照平均值的定义和方差的定义可知,如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数 的平均数改变,方差不变。选 D 9.C 取 AC中点D,连接 ,BD PD,证明 BD 平面 PAC,故 DPB 为 PB与平面PAC所成的角为 30°,球心O在平面 ABC的投影为 ABC 的外心D,计算得到答案. 取 AC中点D,连接 ,BD PD, 2AB BC  ,则 BD AC . PA 平面 ABC, BD 平面 ABC,故 PA BD . PA AC A ,故 BD 平面 PAC,故 DPB 为 PB与平面PAC所成的角为 30°. 2 2PB  ,故 2BD  , 6PD  , 2 2AC  ,故 2 ABC    . 球心O在平面 ABC的投影为 ABC 的外心D, 根据OA OP 知, 1, , 1 2 OH AP AH HP OD AP    ,故 2 2 2 3R OD AD   , 故球的表面积为 24 12R  . 故选:C. 本题考查了三棱锥的外接球问题,确定球心O在平面 ABC的投影为 ABC 的外心D是解题的关 键,意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10.C 利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出. 向量 a=( 4a , 5a ),b  =( 7a , 6a ),且 a •b  =4, ∴ 4 7a a + 5 6a a =4, 由等比数列的性质可得: 1 10a a =……= 4 7a a = 5 6a a =2, 则 2 1 2 2 2 10log log loga a a    log2( 1 2a a • 10a )=  5 5 2 1 10 2log log 2 5a a   . 故选 C. 本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质,考查推理能力与计算能力,属于中 档题. 11.C 由原不等式恒成立可转化为        1 2 1 22 2x xx e a x e a     恒成立,构造函数 ( ) ( 2)( )xf x x e a   ,根据函数在[ 2,0) 上单调递减求参数 a的取值范围即可求解. 由题意,不妨设 1 2 0x x  , 则 1 2 1 2 1 2 2 2x xx e x e a x x      ( ) ( ) 可变为 1 2 1 2 1 22 2 ( )x xx e x e a x x    ( ) ( ) , 即    1 2 1 2 1 22 2 2 2x xx e x e a x x        ( ) ( ) 整理得:        1 2 1 22 2x xx e a x e a     所以函数 ( ) ( 2)( )xf x x e a   在[ 2,0) 上为减函数,  ( ) 1xf x e x a   Q , 令 ( ) 0f x „ , 得 ( 1)xe x a „ 设 (( )) 1xg e xx  , 则 max( )a g x… 因为 ( ) 0xg x xe   , 所以 (( )) 1xg e xx  在[ 2,0) 上为减函数, 即 max 2 3( ) ( 2)g x g e     所以 2 3a e … ,即 a的最小值为 2 3 e  . 故选:C 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值,利用导数解决不等式恒成立问题,考查了转化 思想,属于难题. 12.C 根据斜率与定点,求得直线方程,联立抛物线方程,并解得直线与抛物线的两个交点横坐标;根据 三角形面积比值,转化为两个交点的横坐标比值,进而求得参数 p的值. 因为直线斜率为 2,经过定点  2,0D 所以直线方程为  2 2y x  ,即 2 4 0x y   作 BM y 轴, AN y 轴 因为 1 2 1 4 S S  ,即 1 4 CB CA  ,所以 1 4 BM AN  联立方程 2 2 4 0 2 x y y px      ,化简得  22 8 8 0x p x    根据一元二次方程的求根公式,得 28 16 4 p p p x     所以 2 2 1 2 8 16 8 16 , , , 4 4 p p p p p p A y B y                      因为 1 4 BM AN  ,所以 2 2 8 16 1 48 16 p p p p p p        化简得 2 16 36 0p p   ,即   18 2 0p p   因为 0p  ,所以 2p  即, 2 4y x 所以选 C 本题考查了直线与抛物线的位置关系,并根据方程思想求得参数值,计算量较为复杂,属于难题. 13. 3 . 根据双曲线渐近线方程过点 (1, )a ,将点代入渐近线方程即可求得 a,即可求得离心率。 双曲线的渐近线方程为 2by x x a a     因为渐近线方程过点 (1, )a ,即渐近线方程 2y x a  过 (1, )a 代入可求得 2a  或 2a   (舍) 则 2 2 6c a b   所以离心率 6 3 2 ce a    本题考查了双曲线的标准方程及其性质的应用,渐近线方程和离心率的简单求法,属于基础题。 14. 5 2 试题分析:作出可行域,如下图: 由图像可知,目标函数 2z x y  ,在点 处,取得最大值,此时最大值为 . 考点:简单的线性规划. 【方法点睛】一般地,在解决简单线性规划问题时,如果目标函数 z Ax By  ,首先,作直线 Ay x B   ,并将其在可行区域内进行平移;当 0B  时,直线 Ay x B   在可行域内平移时截距越 高,目标函数值越大,截距越低,目标函数值越小;当 0B  时,直线 Ay x B   在可行域内平移 时截距越低,目标函数值越大,截距越高,目标函数值越小. 15. 32 3  分析:首先根据题中所给的球的体积求得球的半径的大小,之后利用对应几何体的轴截面,找出内 接圆锥的底面圆的半径,圆锥的高和球的半径之间满足的等量关系式,将圆锥的体积转化为高的函 数,借助于均值不等式求得最大值. 详解:设球的半径为 R,则有 34 36 3 R  ,整理得 3 27R  ,即 3R  ,设给球的内接圆锥的底 面圆的半径为 r,高为 h,则有 2 (6 )r h h  ,而该圆锥的体积 21 1 4 1 1(6 ) (6 ) 3 3 3 2 2 V r h h h h h h h           ,利用均值不等式可得当 1 1 6 2 2 h h h   的 时候,即 4h  时取得最大值,且最大值为 34 322 3 3    . 点睛:该题所考查的是有关几何体的内接问题,在解题的过程中,直角三角形中摄影定理在寻求 ,r h 的关系时起着关键性的作用,还有就是在求最大值的时候,也可以应用导数来完成. 16.1176 由题   2 22 1n n nf x x a x a     ,,  1 1 15nx a n   是函数  nf x 的极值点,即    2 22 1 1 1 12 1 0, 1, 1n n n n n n n na a a a a a a a                  1 2 2 3 7 8 1 8... 3a a a a a a a a          又 1 2 2 3 7 8, ...a a a a a a      故这七项中必有 2项取 1,5项取-1,,即 2 7C 中方法,又曲线  8y f x 在点   16 8 16,a f a 处的切线的斜率为15.,即  216 8 16 8 1616, 4, 0a a a a a      或 16 8a  ,      8 9 9 10 15 16 8 16... 4a a a a a a a a         (或-4),故这八项中必有 2项取 -1,6项取 1,(这八项中必有 6项取-1,2项取 1),故满足条件的数列 na 共有 2 8C (或 6 8C 中方法, 所以方法总数为 2 2 7 8 1176C C  个 即答案为 1176. 17.(1) 7 9, 3 5      (2) 11 1, 12 4     (1)利用零点分类讨论方法求解不等式解集即可; (2)由存在 1x R ,存在 2x R ,使得    1 2f x g x  成立,可以转化为      , ,y y f x x R y y g x x R        ,利用绝对值的性质、函数的最值,通过解绝 对值不等式求出 a的取值范围. (1) 2x  时, 4 1 2 6x x    ,解得 5 3 x  ,不合题意; 1 2 4 x  时, 4 1 2 6x x    ,解得 9 5 x  , 1 4 x  时,1 4 2 6x x    ,解得 7 3 x   . 综上,不等式的解集是 7 9, 3 5      . (2)因为存在 1x R ,存在 2x R ,使得    1 2f x g x  成立, 所以      , ,y y f x x R y y g x x R        . 又      3 3 1 3 3 3 1 3 1f x x a x x a x a          , 而   3 1, 2 15 3, 2 4 13 1, 4 x x g x x x x x              ,故  g x 的最小值是 7 4  , 可知  max 7 4 g x  ,所以 73 1 4 a   ,解得 11 1 12 4 a   . 所以实数 a的取值范围为 11 1, 12 4     . 本题考查了解绝对值不等式,考查了存在性问题,考查了绝对值的性质,考查了数学运算能力. 18.(Ⅰ) 2nna  (Ⅱ) 2 11 2n n n   (Ⅰ)设等比数列 na 的公比为q,再根据 1a , 2a , 3 2a  成等差数列求解即可. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 2nna  ,代入有 1 2 2 n nb n      ,再分组利用等比和等差数列的求和公式求 解即可. (Ⅰ)设等比数列 na 的公比为q, ∵ 1a , 2a , 3 2a  成等差数列, 2 1 32 2a a a    , 3 2 2 2nn aq a a      (Ⅱ) 2 2 1 1 12log 2log 2 2 2 2 n n n n n n b a n a                  , 2 31 1 1 12 4 6 ... 2 2 2 2 2 n nS n                                                     2 31 1 1 1+ .. 2 4 ... 2 2 2 2 2 n n                         2 1 11 2 2 11 11 21 2 n n n n n n                      . 本题主要考查了等差数列的基本量求解以及等差等比数列求和公式,属于基础题. 19.(1)当 0a  时,函数 ( )f x 的单调增区间为  ( 1),0a a  , 0, ( 1)a a  ;当0 1a  时, 函数 ( )f x 的单调增区间为  ,0 ,  0,  ;当 1a  时,函数 ( )f x 的单调增区间为  , ( 1)a a   ,  ( 1),a a   ;(2) 3a  , 2( ) , 03 3 3 xf x x x   ;(3) 3y x , 3 3 y x  . (1)根据复合函数的单调性与对勾函数的单调性级即可;(2)根据(1)的结论即可求解;(3)设 直线 l的方程  0y kx k  , ,( )P p q   与 ,( )P p q 曲线C上关于直线 l,结合直线的斜率公式、 中点坐标公式及曲线C的方程即可求解. (1)①当 0a  时,函数 ( )f x 的单调增区间为  ( 1),0a a  ,  0, ( 1)a a  ; ②当0 1a  时,函数 ( )f x 的单调增区间为  ,0 ,  0,  ; ③当 1a  时,函数 ( )f x 的单调增区间为  , ( 1)a a   ,  ( 1),a a   . (2)由题设及(1)中③知 ( 1) 6a a   ,且 1a  ,解得 3a  , 因此函数解析式为 2( ) , 03 3 3 xf x x x   . (3)假设存在经过原点的直线 l为曲线C的对称轴, 显然 ,x y轴不是曲线C的对称轴,故可设 l:  0y kx k  . 设 ,( )P p q 为曲线C上的任意一点, ,( )P p q   与 ,( )P p q 关于直线 l对称, 且 ,p p q q   ,则P也在曲线C上, 由此得 2 2 q q p pk      , 1q q p p k     , 且 2 3 3 pq p   , 2 3 3 pq p      , 整理得 2 3 1k k   ,解得 3k  或 3 3 k   . 所以存在经过原点的直线 3y x 及 3 3 y x  为曲线C的对称轴. 本题考查函数的单调性,直线与曲线交点的对称性.求函数单调区间常用方法:1、定义法;2、根 据基本函数单调性;3、根据复合函数单调性;4、导数法;5、图像法. 20.(1)证明见解析;(2)证明见解析. (1)利用三角形中位线的性质,证明 1 1/ /GH BC ,从而可得 / /GH BC,即可证明 B,C,H , G四点共面; (2)证明平面 1EFA 中有两条直线 1AE、 EF 分别与平面 BCHG中的两条直线 BG、 BC平行, 即可得到平面 1EFA //平面 BCHG. (1) G H , 分别是 1 1 1 1A B AC, 的中点, GH 是 1 1 1A B C△ 的中位线, 则 1 1/ /GH BC , 又 1 1 / / / /BC BC GH BC , , B C H G , , , 四点共面. (2) E F , 分别为 AB AC, 的中点, / /EF BC , EF  平面 BCHG BC , 平面 BCHG, EF 平面 BCHG, 又G E, 分别是 1 1AB AB, 的中点, 1 1A B AB , 1AG EB  , 四边形 1A EBG是平行四边形, 1 / /A E GB , 1A E  平面 BCHG GB , 平面 BCHG, 1 / /AE 平面 BCHG, 又 1A E EF E = , 平面 1EFA //平面 BCHG, 本题考查平面的基本性质,考查面面平行,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 21.(1) 2 2 1 4 2 y x   ;(2)证明见解析. (1)设椭圆的焦距为 2c,根据题中条件,得出椭圆的离心率 2 2 ce a   ,再由点  1, 2A 代入 椭圆方程,根据 2 2 2 a b c ,即可求出 , ,a b c,从而可得椭圆方程; (2)设直线 BD的方程为 2y x m  ,根据题意得 0m  ,设  1 1,B x y ,  2 2,D x y ,联立直 线与椭圆方程,根据韦达定理,结合斜率计算公式,直接计算 1 2k k ,即可得出结果. (1)设椭圆的焦距为 2c,由双曲线方程 2 2 1x y  易得双曲线的离心率为 2, 则椭圆的离心率 2 2 ce a   , 将  1, 2A 代入 2 2 2 2 1y x a b   ,得 2 2 2 1 1 a b   , 又 2 2 2 a b c ,解得 2 2 a b c     , 所以椭圆 C的方程 2 2 1 4 2 y x   ; (2)证明:设直线 BD的方程为 2y x m  , 又 A, B,D三点不重合,∴ 0m  , 设  1 1,B x y ,  2 2,D x y , 则由 2 2 2 1 4 2 y x m y x         消去 y ,整理得 2 24 2 2 4 0x mx m    , 所以 1 2 2 2 x x m   , 2 1 2 4 4 mx x   , 28 64 0m     ,则 2 2 2 2m   , 设直线 AB, AD的斜率分别为 1k , 2k , 则 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 y y x m x mk k x x x x                  2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 422 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 4 2 2 21 4 2 4 m mm mm x x x x x x m m mm                    所 以 1 2 0k k  ,即直线 AB, AD的斜率之和为定值. 本题主要考查求椭圆的方程,考查椭圆中的定值问题,涉及双曲线的离心率,属于常考题型. 22.(1)单调增区间为 1 , 2      ,单调减区间为 10, 2       ,   =2 2ln 2f x  极小值 ,无极大值.(2) k≥1. (1)可由切线方程求得 a与 b的值,再还原函数的导数,通过分类讨论得出函数的增减性 (2)可通过分离参数与构造函数的方法将参数问题转化为恒成立问题,利用导数进行求解 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),   2 bx af x x   , 故 f′(1)=b-a=1, 又 f(1)=a,点(1,a)在直线 y=x上, ∴a=1,则 b=2. ∴   1 2lnf x x x   且,   2 2 1xf x x   , 当 10 2 x  时,f′(x)<0,当 1 2 x  时,f′(x)>0. 故函数 f(x)的单调增区间为 1 , 2      ,单调减区间为 10, 2       ,   1= 2 2ln 2 2 f x f       极小值 ,无极大值. (2)由题意知, 2 ( ) 2 ln 1 ( 1)f x xk x x x x   … … 恒成立, 令 2 2ln 1( ) ( 1)xg x x x x   … , 则 2 3 3 2 2ln 2 2( ln 1)( ) ( 1)x x x xg x x x x x         , 令 h(x)=x-xlnx-1(x≥1), 则 h′(x)=-lnx(x≥1), 当 x≥1时,h′(x)≤0,h(x)在[1,+∞)上为减函数, 故 h(x)≤h(1)=0,故 g′(x)≤0, ∴g(x)在[1,+∞)上为减函数, 故 g(x)的最大值为 g(1)=1,∴k≥1. 分离参数是解决参数问题常用方法,适用于新构造函数能很快求出增减性,判断最值的情况。 23.(1)见解析;(2)见解析. 试题分析:(1)根据频率分布直方图中矩形和面积为 1 可求 a的值; (2)抽得的高中组的人数 X 服从超几何分布,利用超几何分布的原理列分布列求期望即可. 试题解析: (1)频率分布表如图所示: 分组 人数 频率  0,4 3 0.1  4,8 9 0.3  8,12 9 0.3  12,16 6 0.2  16,20 3 0.1 由频率分布直方图知  2 0.025 2 0.050 4 1a      ,解得 0.1a  . (2)由频率分布表知,初中组一个月内去图书馆的次数不少于 16 次的学生有 3人,高中组一个月 内去图书馆的次数不少于 16 次的学生的频率为0.025 4 0.1  ,所以,人数为0.1 30 3  人, 所以 X 的可能取值为 0,1,2,3, 于是     0 3 1 2 3 3 3 3 3 3 6 6 1 90 , 1 20 20 C C C CP X P X C C       ,     2 1 3 0 3 3 3 3 3 3 6 6 9 12 , 3 20 20 C C C CP X P X C C       , 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 所以   1 9 9 1 30 1 2 3 20 20 20 20 2 E X          .