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- 2021-06-15 发布
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2021 届广西南宁市普通高中高三(上)10 月摸底测试数学(文)试
题
一、单选题
1.随着我国经济的不断发展,2018年年底某偏远地区农民人均年收入为 3000元,预计该地区今
后农民的人均年收入将以每年 6%的年平均增长率增长,那么 2025年年底该地区的农民人均年收入
为( )
A.3000 1.06 7 元 B. 73000 1.06 元 C.3000 1.06 8 元 D. 83000 1.06
2. 已知集合 A={-1,a},B={0,1},若 A∩B={0},则 A∪B=( )
A.{0,1} B.{-1,0} C.{-1,0,1} D.{-1,1,2}
3.化简
cos cos3
sin 3 sin
的结果为( )
A. tan B. tan 2
C.
1
tan
D.
1
tan 2
4.设复数 z满足 2019(1 )i z i ,则复数 z的虚部为( )
A.
1
2
B.
1
2
C.
1
2
i D.
1
2
i
5.已知α为锐角,且 7sinα=2cos2α,则 sin
=
A.
B.
C. 㤵
D. 㤵
6.直线 : 2 1 0l x my m 与圆 2 2: ( 2) 4C x y 交于 A B、两点,则当弦 AB最短时直线 l的
方程为( )
A. 2 4 1 0x y B. 2 4 3 0x y
C. 2 4 1 0x y D. 2 4 3 0x y
7.函数 2ln 2f x x x 的单调递减区间为( )
A. , 2 1, B.
1-2 -
2
( , ) C.
1- 1
2
( ,) D. 1 ( , )
8.如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的( )
A.平均数不变,方差不变 B.平均数改变,方差改变
C.平均数不变,方差改变 D.平均数改变,方差不变
9.已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球O的球面上,PA 平面 ABC, 2PA AB BC ,PB
与平面 PAC所成的角为30°,则球O的表面积为( )
A.6 B.8 C.12 D. 24
10.等比数列 na 的各项均为正数,已知向量 4 5,a a a
, 7 6,b a a
,且 4a b
,则
2 1 2 2 2 10log log log (a a a )
A. 2 B. 0 C. D. 22 log 5
11.若对于任意的 1 2, [ 2,0)x x , 1 2x x ,有
1 2
1 2
1 2
2 2x xx e x e a
x x
( ) ( )
恒成立,则 a的最
小值为( )
A. 2
1
e
B. 2
2
e
C. 2
3
e
D.
1
e
12.如图,设抛物线 2 2y px 的焦点为 F ,过 x轴上一定点 (2,0)D 作斜率为 2的直线 l与抛物线
相交于 ,A B两点,与 y轴交于点C,记 BCF 面积为 1S , ACF 面积为 2S ,若
1
2
1
4
S
S
,则抛物
线的标准方程为
A. 2 2y x B. 2 8y x C. 2 4y x D. 2y x
二、填空题
13.若双曲线
2 2
2 1
4
x y
a
( 0)a 的一条渐近线方程过 (1, )a ,则此双曲线的离心率为__________.
14.若 x y, 满足约束条件
1 0
{ 2 0,
2 2 0,
x y
x y
x y
,
,则 2z x y 的最大值为____________.
15.已知球O的体积为36 ,则球O的内接圆锥的体积的最大值为_____________.
16.已知数列 na 共 16 项,且 1 81, 4a a ,记关于 x 的函数,
3 2 21 1 ,
3n n nf x x a x a x n N ,若 1 1 15nx a n 是函数 nf x 的极值点,且曲线
8y f x 在点 16 8 16,a f a 处的切线的斜率为 15,则满足条件的数列 na 的个数_____ .
三、解答题
17.已知函数 3 3 1f x x a x , 4 1 2g x x x .
(1)求不等式 6g x 的解集;
(2)若存在 1 2,x x R ,使得 1f x 和 2g x 互为相反数,求 a的取值范围.
18.已知在等比数列 na 中, 1 2a ,且 1a , 2a , 3 2a 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 na 的通项公式;
(Ⅱ)若数列 nb 满足: 2
1 2logn n
n
b a
a
,求数列 nb 的前 n项和 nS .
19.
已知函数
(( 1) 3 3 )x a
a
f
x
x
, 0a 且 1a .
(1)试就实数 a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当 0x 时,函数在 0, 6 上单调递减,在 6, 上单调递增,求 a的值并写出函
数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线 l,使得 l为曲线C的对称轴?
若存在,求出直线 l的方程;若不存在,请说明理由.
20.如图所示,在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中,E F G H, , , 分别是 1 1 1 1AB AC AB AC, , , 的中点,
求证:(1) B C H G, , , 四点共面;
(2)平面 1EFA //平面 BCHG.
21.已知点 1, 2A 是椭圆
2 2
2 2 1( 0)y x a b
a b
上的一点,椭圆C的离心率与双曲线
2 2 1x y 的离心率互为倒数,斜率为 2直线 l交椭圆C于 B,D两点,且 A, B,D三点互
不重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若 1k , 2k ,分别为直线 AB, AD的斜率,求证: 1 2k k 为定值.
22.已知函数 ( ) lnaf x b x
x
,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=x.
(1)求函数 f(x)的单调区间及极值;
(2)若∀x≥1,f(x)≤kx恒成立,求 k的取值范围.
23.某中学为了了解全校学生的阅读情况,在全校采用随机抽样的方法抽取了 60 名学生(其
中初中组和高中组各 30 名)进行问卷调查,并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了
统计,将每组学生去图书馆的次数分为 5组: 0,4 , 4,8 , 8,12 , 12,16 , 16,20 ,分别制
作了如图所示的频率分布表和频率分布直方图.
分组 人数 频率
0,4 3
4,8 9
8,12 9
12,16 0.2
16,20 0.1
(1)完成频率分布表,并求出频率分布直方图中a的值;
(2)在抽取的 60 名学生中,从在一个月内去图书馆的次数不少于 16 次的学生中随机抽
取 3 人,并用 X 表示抽得的高中组的人数,求 X 的分布列和数学期望.
【答案与解析】
1.B
设经过 x年,该地区的农民人均年收人为 y元,可列出函数表达式 3000 1.06xy ,从而可求解.
设经过 x年,该地区的农民人均年收人为 y元,
根据题意可得 3000 1.06xy ,从 2018到 2025年共经过了 7年,
2025年年底该地区的农民人均年收入为 73000 1.06 元.
故选:B
本题考查了指数函数在生活中的应用,解题的关键是建立函数模型,属于基础题.
2.C
由 A∩B={0},得0 A ,所以 0a , A∪B={-1,0,1}.
3.B
利用三倍角公式把 cos3 和sin3 展开式代入式子,
得到原式
3
3
cos (4cos 3cos )
(3sin 4sin ) sin
,再利用二倍角公式以及同角三角函数间的基本关系进一
步化简即可.
3 2
3
cos cos3 cos (4cos 3cos ) 4cos sin tan 2
sin3 sin (3sin 4sin ) sin 2cos2 sin
,
故选 B.
本题属于三角函数的化简求值问题,解答本题要掌握三倍角公式.
4.B
利用 i4=1,复数的运算法则、虚部的定义即可得出.
∵i4=1,∴i2019=(i4)504•i3=﹣i.
∴
1 1 1
1 1 1 2 2
i iiz
i i i
i.
∴
1 1
2 2
z i ,其虚部为
1
2
.
故选 B.
本题考查了复数的周期性、复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题.
5.A
由已知得 sin2 sin 㤵 2 䁠 0,从而求出 sin 和 cos 的值,再由两角和的正弦公式即能求出结
果.
∵ 为锐角,且 sin 䁠 2cos2 ,∴ sin 䁠 2 㤵 2sin2 ,
∴ sin2 sin 㤵 2 䁠 0,∴sin 䁠㤵 2(舍去) 舍去 䁠
,
∴ ㄠ 䁠 㤵
2 䁠
,
∴ 舍去
䁠 舍去 ㄠ
ㄠ 舍去
䁠
2
2
䁠
,故选 A.
本题主要考查三角函数值的求法,同角三角函数关系式,两角和正弦公式的合理运用,是中档题.
6.B
先求出直线经过定点
1( ,1)
2
P ,圆的圆心为 0,2C ,根据直线与圆的位置关系可知,当CP l 时
弦 AB最短,根据 1CP lk k 求出m的值,即可求出直线 l的方程.
解:由题得, (2 1) ( 1) 0x m y ,
2 1 0
1 0
x
y
,解得:
1
2
1
x
y
,
所以直线 l过定点
1( ,1)
2
P ,
圆 2 2: ( 2) 4C x y 的圆心为 0,2C ,半径为 2,
当CP l 时,弦 AB最短,此时 1CP lk k ,
由题得
2 1 210
2
CPk
,
1
2lk ,
所以
2 1
2m
, 4m ,
所以直线 l的方程为: 2 4 3 0x y .
故选:B.
本题考查直线过定点问题,考查直线方程的求法,以及直线和圆的位置关系,考查分析推理和化简
运算能力.
7.C
分析:求出函数的定义域,利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可.
详解:由 2 2 0x x 可得 2 1x ,设 2t 2x x ,
因为函数 2t 2x x 在
1- 1
2
( ,)上递减, y lnt 递增,
所以函数 f x 的单调递减区间为
1- 1
2
( ,),故选 C.
点睛:本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性,属于中档题.复合函数的单调性的判断
可以综合考查两个函数的单调性,因此也是命题的热点,判断复合函数单调性要注意把握两点:一
是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含
义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减).
8.D
解:按照平均值的定义和方差的定义可知,如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数
的平均数改变,方差不变。选 D
9.C
取 AC中点D,连接 ,BD PD,证明 BD 平面 PAC,故 DPB 为 PB与平面PAC所成的角为
30°,球心O在平面 ABC的投影为 ABC 的外心D,计算得到答案.
取 AC中点D,连接 ,BD PD, 2AB BC ,则 BD AC .
PA 平面 ABC, BD 平面 ABC,故 PA BD .
PA AC A ,故 BD 平面 PAC,故 DPB 为 PB与平面PAC所成的角为 30°.
2 2PB ,故 2BD , 6PD , 2 2AC ,故
2
ABC
.
球心O在平面 ABC的投影为 ABC 的外心D,
根据OA OP 知,
1, , 1
2
OH AP AH HP OD AP ,故 2 2 2 3R OD AD ,
故球的表面积为 24 12R .
故选:C.
本题考查了三棱锥的外接球问题,确定球心O在平面 ABC的投影为 ABC 的外心D是解题的关
键,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
10.C
利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出.
向量 a=( 4a , 5a ),b
=( 7a , 6a ),且 a •b
=4,
∴ 4 7a a + 5 6a a =4,
由等比数列的性质可得: 1 10a a =……= 4 7a a = 5 6a a =2,
则 2 1 2 2 2 10log log loga a a log2( 1 2a a • 10a )= 5 5
2 1 10 2log log 2 5a a .
故选 C.
本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质,考查推理能力与计算能力,属于中
档题.
11.C
由原不等式恒成立可转化为 1 2
1 22 2x xx e a x e a 恒成立,构造函数
( ) ( 2)( )xf x x e a ,根据函数在[ 2,0) 上单调递减求参数 a的取值范围即可求解.
由题意,不妨设 1 2 0x x ,
则
1 2
1 2
1 2
2 2x xx e x e a
x x
( ) ( )
可变为 1 2
1 2 1 22 2 ( )x xx e x e a x x ( ) ( ) ,
即 1 2
1 2 1 22 2 2 2x xx e x e a x x ( ) ( )
整理得: 1 2
1 22 2x xx e a x e a
所以函数 ( ) ( 2)( )xf x x e a 在[ 2,0) 上为减函数,
( ) 1xf x e x a Q ,
令 ( ) 0f x ,
得 ( 1)xe x a
设 (( )) 1xg e xx ,
则 max( )a g x
因为 ( ) 0xg x xe ,
所以 (( )) 1xg e xx 在[ 2,0) 上为减函数,
即 max 2
3( ) ( 2)g x g
e
所以 2
3a
e
,即 a的最小值为 2
3
e
.
故选:C
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值,利用导数解决不等式恒成立问题,考查了转化
思想,属于难题.
12.C
根据斜率与定点,求得直线方程,联立抛物线方程,并解得直线与抛物线的两个交点横坐标;根据
三角形面积比值,转化为两个交点的横坐标比值,进而求得参数 p的值.
因为直线斜率为 2,经过定点 2,0D
所以直线方程为 2 2y x ,即 2 4 0x y
作 BM y 轴, AN y 轴
因为
1
2
1
4
S
S
,即
1
4
CB
CA
,所以
1
4
BM
AN
联立方程 2
2 4 0
2
x y
y px
,化简得 22 8 8 0x p x
根据一元二次方程的求根公式,得
28 16
4
p p p
x
所以
2 2
1 2
8 16 8 16
, , ,
4 4
p p p p p p
A y B y
因为
1
4
BM
AN
,所以
2
2
8 16 1
48 16
p p p
p p p
化简得 2 16 36 0p p ,即 18 2 0p p
因为 0p ,所以 2p 即, 2 4y x
所以选 C
本题考查了直线与抛物线的位置关系,并根据方程思想求得参数值,计算量较为复杂,属于难题.
13. 3 .
根据双曲线渐近线方程过点 (1, )a ,将点代入渐近线方程即可求得 a,即可求得离心率。
双曲线的渐近线方程为
2by x x
a a
因为渐近线方程过点 (1, )a ,即渐近线方程
2y x
a
过 (1, )a
代入可求得 2a 或 2a (舍)
则 2 2 6c a b
所以离心率
6 3
2
ce
a
本题考查了双曲线的标准方程及其性质的应用,渐近线方程和离心率的简单求法,属于基础题。
14.
5
2
试题分析:作出可行域,如下图:
由图像可知,目标函数 2z x y ,在点 处,取得最大值,此时最大值为 .
考点:简单的线性规划.
【方法点睛】一般地,在解决简单线性规划问题时,如果目标函数 z Ax By ,首先,作直线
Ay x
B
,并将其在可行区域内进行平移;当 0B 时,直线
Ay x
B
在可行域内平移时截距越
高,目标函数值越大,截距越低,目标函数值越小;当 0B 时,直线
Ay x
B
在可行域内平移
时截距越低,目标函数值越大,截距越高,目标函数值越小.
15.
32
3
分析:首先根据题中所给的球的体积求得球的半径的大小,之后利用对应几何体的轴截面,找出内
接圆锥的底面圆的半径,圆锥的高和球的半径之间满足的等量关系式,将圆锥的体积转化为高的函
数,借助于均值不等式求得最大值.
详解:设球的半径为 R,则有
34 36
3
R ,整理得 3 27R ,即 3R ,设给球的内接圆锥的底
面圆的半径为 r,高为 h,则有 2 (6 )r h h ,而该圆锥的体积
21 1 4 1 1(6 ) (6 )
3 3 3 2 2
V r h h h h h h h ,利用均值不等式可得当
1 1 6
2 2
h h h 的
时候,即 4h 时取得最大值,且最大值为
34 322
3 3
.
点睛:该题所考查的是有关几何体的内接问题,在解题的过程中,直角三角形中摄影定理在寻求 ,r h
的关系时起着关键性的作用,还有就是在求最大值的时候,也可以应用导数来完成.
16.1176
由题 2 22 1n n nf x x a x a ,, 1 1 15nx a n 是函数 nf x 的极值点,即
2 22
1 1 1 12 1 0, 1, 1n n n n n n n na a a a a a a a
1 2 2 3 7 8 1 8... 3a a a a a a a a
又 1 2 2 3 7 8, ...a a a a a a 故这七项中必有 2项取 1,5项取-1,,即
2
7C 中方法,又曲线
8y f x 在点 16 8 16,a f a 处的切线的斜率为15.,即 216 8 16 8 1616, 4, 0a a a a a 或
16 8a , 8 9 9 10 15 16 8 16... 4a a a a a a a a (或-4),故这八项中必有 2项取
-1,6项取 1,(这八项中必有 6项取-1,2项取 1),故满足条件的数列 na 共有
2
8C (或
6
8C 中方法,
所以方法总数为
2 2
7 8 1176C C 个
即答案为 1176.
17.(1)
7 9,
3 5
(2)
11 1,
12 4
(1)利用零点分类讨论方法求解不等式解集即可;
(2)由存在 1x R ,存在 2x R ,使得 1 2f x g x 成立,可以转化为
, ,y y f x x R y y g x x R ,利用绝对值的性质、函数的最值,通过解绝
对值不等式求出 a的取值范围.
(1) 2x 时, 4 1 2 6x x ,解得
5
3
x ,不合题意;
1 2
4
x 时, 4 1 2 6x x ,解得
9
5
x ,
1
4
x 时,1 4 2 6x x ,解得
7
3
x .
综上,不等式的解集是
7 9,
3 5
.
(2)因为存在 1x R ,存在 2x R ,使得 1 2f x g x 成立,
所以 , ,y y f x x R y y g x x R .
又 3 3 1 3 3 3 1 3 1f x x a x x a x a ,
而
3 1, 2
15 3, 2
4
13 1,
4
x x
g x x x
x x
,故 g x 的最小值是
7
4
,
可知 max
7
4
g x ,所以
73 1
4
a ,解得
11 1
12 4
a .
所以实数 a的取值范围为
11 1,
12 4
.
本题考查了解绝对值不等式,考查了存在性问题,考查了绝对值的性质,考查了数学运算能力.
18.(Ⅰ) 2nna (Ⅱ)
2 11
2n
n n
(Ⅰ)设等比数列 na 的公比为q,再根据 1a , 2a , 3 2a 成等差数列求解即可.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 2nna ,代入有
1 2
2
n
nb n
,再分组利用等比和等差数列的求和公式求
解即可.
(Ⅰ)设等比数列 na 的公比为q,
∵ 1a , 2a , 3 2a 成等差数列,
2 1 32 2a a a ,
3
2
2 2nn
aq a
a
(Ⅱ) 2 2
1 1 12log 2log 2 2
2 2
n n
n
n n
n
b a n
a
,
2 31 1 1 12 4 6 ... 2
2 2 2 2
n
nS n
2 31 1 1 1+ .. 2 4 ... 2
2 2 2 2
n
n
2
1 11
2 2 11 11 21
2
n
n
n n n n
.
本题主要考查了等差数列的基本量求解以及等差等比数列求和公式,属于基础题.
19.(1)当 0a 时,函数 ( )f x 的单调增区间为 ( 1),0a a , 0, ( 1)a a ;当0 1a 时,
函数 ( )f x 的单调增区间为 ,0 , 0, ;当 1a 时,函数 ( )f x 的单调增区间为
, ( 1)a a , ( 1),a a ;(2) 3a ,
2( ) , 03 3
3
xf x x
x
;(3) 3y x ,
3
3
y x .
(1)根据复合函数的单调性与对勾函数的单调性级即可;(2)根据(1)的结论即可求解;(3)设
直线 l的方程 0y kx k , ,( )P p q 与 ,( )P p q 曲线C上关于直线 l,结合直线的斜率公式、
中点坐标公式及曲线C的方程即可求解.
(1)①当 0a 时,函数 ( )f x 的单调增区间为 ( 1),0a a , 0, ( 1)a a ;
②当0 1a 时,函数 ( )f x 的单调增区间为 ,0 , 0, ;
③当 1a 时,函数 ( )f x 的单调增区间为 , ( 1)a a , ( 1),a a .
(2)由题设及(1)中③知 ( 1) 6a a ,且 1a ,解得 3a ,
因此函数解析式为
2( ) , 03 3
3
xf x x
x
.
(3)假设存在经过原点的直线 l为曲线C的对称轴,
显然 ,x y轴不是曲线C的对称轴,故可设 l: 0y kx k .
设 ,( )P p q 为曲线C上的任意一点, ,( )P p q 与 ,( )P p q 关于直线 l对称,
且 ,p p q q ,则P也在曲线C上,
由此得
2 2
q q p pk
,
1q q
p p k
,
且
2 3
3
pq
p
,
2 3
3
pq
p
,
整理得
2
3
1k
k
,解得 3k 或
3
3
k .
所以存在经过原点的直线 3y x 及
3
3
y x 为曲线C的对称轴.
本题考查函数的单调性,直线与曲线交点的对称性.求函数单调区间常用方法:1、定义法;2、根
据基本函数单调性;3、根据复合函数单调性;4、导数法;5、图像法.
20.(1)证明见解析;(2)证明见解析.
(1)利用三角形中位线的性质,证明 1 1/ /GH BC ,从而可得 / /GH BC,即可证明 B,C,H ,
G四点共面;
(2)证明平面 1EFA 中有两条直线 1AE、 EF 分别与平面 BCHG中的两条直线 BG、 BC平行,
即可得到平面 1EFA //平面 BCHG.
(1) G H , 分别是 1 1 1 1A B AC, 的中点,
GH 是 1 1 1A B C△ 的中位线,
则 1 1/ /GH BC ,
又 1 1 / / / /BC BC GH BC , ,
B C H G , , , 四点共面.
(2) E F , 分别为 AB AC, 的中点, / /EF BC ,
EF 平面 BCHG BC , 平面 BCHG,
EF 平面 BCHG,
又G E, 分别是 1 1AB AB, 的中点, 1 1A B AB ,
1AG EB ,
四边形 1A EBG是平行四边形, 1 / /A E GB ,
1A E 平面 BCHG GB , 平面 BCHG,
1 / /AE 平面 BCHG,
又 1A E EF E = ,
平面 1EFA //平面 BCHG,
本题考查平面的基本性质,考查面面平行,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
21.(1)
2 2
1
4 2
y x
;(2)证明见解析.
(1)设椭圆的焦距为 2c,根据题中条件,得出椭圆的离心率
2
2
ce
a
,再由点 1, 2A 代入
椭圆方程,根据 2 2 2 a b c ,即可求出 , ,a b c,从而可得椭圆方程;
(2)设直线 BD的方程为 2y x m ,根据题意得 0m ,设 1 1,B x y , 2 2,D x y ,联立直
线与椭圆方程,根据韦达定理,结合斜率计算公式,直接计算 1 2k k ,即可得出结果.
(1)设椭圆的焦距为 2c,由双曲线方程 2 2 1x y 易得双曲线的离心率为 2,
则椭圆的离心率
2
2
ce
a
,
将 1, 2A 代入
2 2
2 2 1y x
a b
,得 2 2
2 1 1
a b
,
又 2 2 2 a b c ,解得
2
2
a
b c
,
所以椭圆 C的方程
2 2
1
4 2
y x
;
(2)证明:设直线 BD的方程为 2y x m ,
又 A, B,D三点不重合,∴ 0m ,
设 1 1,B x y , 2 2,D x y ,
则由 2 2
2
1
4 2
y x m
y x
消去 y ,整理得 2 24 2 2 4 0x mx m ,
所以 1 2
2
2
x x m ,
2
1 2
4
4
mx x
, 28 64 0m ,则 2 2 2 2m ,
设直线 AB, AD的斜率分别为 1k , 2k ,
则 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
y y x m x mk k
x x x x
2
2
1 2
2 2
1 2 1 2
2 2 422 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0
1 4 2 2 21
4 2 4
m mm mm x x
x x x x m m mm
所
以 1 2 0k k ,即直线 AB, AD的斜率之和为定值.
本题主要考查求椭圆的方程,考查椭圆中的定值问题,涉及双曲线的离心率,属于常考题型.
22.(1)单调增区间为
1 ,
2
,单调减区间为
10,
2
, =2 2ln 2f x
极小值 ,无极大值.(2)
k≥1.
(1)可由切线方程求得 a与 b的值,再还原函数的导数,通过分类讨论得出函数的增减性
(2)可通过分离参数与构造函数的方法将参数问题转化为恒成立问题,利用导数进行求解
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 2
bx af x
x
,
故 f′(1)=b-a=1,
又 f(1)=a,点(1,a)在直线 y=x上,
∴a=1,则 b=2.
∴ 1 2lnf x x
x
且, 2
2 1xf x
x
,
当
10
2
x 时,f′(x)<0,当
1
2
x 时,f′(x)>0.
故函数 f(x)的单调增区间为
1 ,
2
,单调减区间为
10,
2
,
1= 2 2ln 2
2
f x f
极小值
,无极大值.
(2)由题意知, 2
( ) 2 ln 1 ( 1)f x xk x
x x x
恒成立,
令 2
2ln 1( ) ( 1)xg x x
x x
,
则 2 3 3
2 2ln 2 2( ln 1)( ) ( 1)x x x xg x x
x x x
,
令 h(x)=x-xlnx-1(x≥1),
则 h′(x)=-lnx(x≥1),
当 x≥1时,h′(x)≤0,h(x)在[1,+∞)上为减函数,
故 h(x)≤h(1)=0,故 g′(x)≤0,
∴g(x)在[1,+∞)上为减函数,
故 g(x)的最大值为 g(1)=1,∴k≥1.
分离参数是解决参数问题常用方法,适用于新构造函数能很快求出增减性,判断最值的情况。
23.(1)见解析;(2)见解析.
试题分析:(1)根据频率分布直方图中矩形和面积为 1 可求 a的值;
(2)抽得的高中组的人数 X 服从超几何分布,利用超几何分布的原理列分布列求期望即可.
试题解析:
(1)频率分布表如图所示:
分组 人数 频率
0,4 3 0.1
4,8 9 0.3
8,12 9 0.3
12,16 6 0.2
16,20 3 0.1
由频率分布直方图知 2 0.025 2 0.050 4 1a ,解得 0.1a .
(2)由频率分布表知,初中组一个月内去图书馆的次数不少于 16 次的学生有 3人,高中组一个月
内去图书馆的次数不少于 16 次的学生的频率为0.025 4 0.1 ,所以,人数为0.1 30 3 人,
所以 X 的可能取值为 0,1,2,3,
于是
0 3 1 2
3 3 3 3
3 3
6 6
1 90 , 1
20 20
C C C CP X P X
C C
,
2 1 3 0
3 3 3 3
3 3
6 6
9 12 , 3
20 20
C C C CP X P X
C C
,
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
1
20
9
20
9
20
1
20
所以 1 9 9 1 30 1 2 3
20 20 20 20 2
E X .
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