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- 2021-06-15 发布
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2020届扬州中学6月月考数学卷
第Ⅰ卷(必做题,共160分) 2020.6
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.集合,若,则 ▲ .
2.已知复数,其中是虚数单位,则▲.
3.袋中共有大小相同的4只小球,编号为1,2,3,4.现从中任取2只小球,则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为 ▲ .
4. 根据如图所示的伪代码,当输出y的值为时,则输入的的值为 ▲ .
5.某地区连续5天的最低气温(单位:°C)依次为8,-4,-1,0,2,则该组数据的方差为 ▲ .
6.设x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为 ▲ .
7.在平面直角坐标系xOy中,将函数的图象向右平移个单位得到的图象,则的值为 ▲ .
8. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的顶点到其渐近线的距离为 ▲ .
9.在等比数列中,若,,则 ▲ .
10.各棱长都为的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为,则的 值为 ▲ .
11.如图,已知点是曲线上
一个动点, 则的最小值是 ▲ .
12.已知函数,若在R上有两个不同的零点,则的取值范围是 ▲ .
13.已知正数a,b满足,则的最小值等于 ▲ .
- 14 -
14. 已知函数是定义域为上的偶函数,当时,若关于的方程有且仅有8个不同实数根,则实数的取值范围是▲ .
[二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,过的平面
分别与,交于点,.
(1)求证:平面平面;
(2)求证:∥.
16.(本小题满分14分)
在中,角,,所对的边分别为,,,,.
(1)求及的值;
(2)若,求的面积.
- 14 -
17.(本小题满分14分)
如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图),水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形,南北向渠宽为4 m,东西向渠宽m(从拐角处,即图中处开始).假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差).
(1)在水平面内,过点的一条直线与水渠的内壁交于两点,且与水渠的一边的夹角为,将线段的长度表示为的函数;
(2)若从南面漂来一根长为7 m的笔直的竹竿(粗细不计),竹竿始终浮于水平面内,且不发生形变,问:这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)?请说明理由.
18.(本小题满分16分)
如图,已知椭圆的左、右焦点分别为,下顶点为,点是椭圆上任一点,圆是以为直径的圆.
⑴ 圆的面积为,求点的坐标;
⑵当圆与直线相切时,求圆的方程;
- 14 -
19.(本小题满分16分)
在数列中,,其中.
⑴ 证明:数列为等差数列,并求出通项公式;
⑵ 设,数列的前项和为,求;
⑶ 已知当且时,,其中,求满足等式的所有的值之和.
20.(本小题满分16分)
设函数,,
(1)讨论函数的单调性;
(2)若(其中),证明:;
(3)是否存在实数a,使得在区间内恒成立,且关于x的方程在内有唯一解?请说明理由.
- 14 -
数学Ⅱ(附加题)
21. (本小题满分10分)
设点在矩阵对应变换作用下得到点.
(1)求矩阵的逆矩阵;
(2)若曲线C在矩阵对应变换作用下得到曲线,求曲线C的
方程.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)设为上的点,,垂足为,若的最小值为,求的值.
- 14 -
23.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1ABAC2,AB⊥AC,M是棱BC的中点,点P在线段A1B上.
(1)若P是线段A1B的中点,求直线MP与直线AC所成角的大小;
(2)若是的中点,直线与平面所成角的正弦值为,
求线段BP的长度.
24.(本小题满分10分)
设二项展开式的整数部分为,小数部分为.
(1)计算的值;
(2)求.
- 14 -
数学答案Ⅰ
一、填空题:
1. 0. 2. . 3. 4. 5.
6.11 7. 8. 9. 4 10.
11.. 12. 13. 14.
二、解答题:
15.证:(1)因为平面,平面,所以.
因为底面是矩形,所以.
因为,平面,所以平面.
因为平面,所以平面平面.
(2)底面是矩形,所以∥,
因为平面,平面,所以∥平面.
因为平面,平面平面,所以∥.
16. 解:(1)∵,∴.
∵,∴.
由题意可知,.
∴.∵.
∴.
(2)∵,,∴,∴.
∴.
- 14 -
17.(1)由题意,,,
所以,即().
(2)设,.
由,
令,得.
且当,;当,,
所以,在上单调递减;在上单调递增,
所以,当时,取得极小值,即为最小值.
当时,,,
所以的最小值为,
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m.
因为,所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.
18.解 ⑴易得,,,设,
则,
∴,
又圆的面积为,∴,解得, ∴或,
⑵∵直线的方程为,且到直线的距离为, 化简得,联立方程组,解得或. 当时,可得,
∴ 圆的方程为;当时,可得,
- 14 -
∴ 圆的方程为;
19.⑴证明:
∴数列为等差数列 ,又
⑵因为=,
所以=. ①
=. ②
①-②,得=-.
故=-=8--=8-.
⑶由⑵得等式
可化为
即
∴
∵当时,,
∴ …
∴
∴当时,
当时,经验算时等号成立
∴满足等式的所有
其和为5.
- 14 -
20.解(1)由已知得:
当时,,在上递增;
当时,令得
当时,,递增;
当时,,递减;
综上: 当时, 的递增区间为;
当时,的递增区间为,
的递减区间为.
(2)
在递增,递减,且
又当时,;当时,
,
要证:成立,只需证:
在递增,故只需证:
即证:
令,只需证:,即证:
- 14 -
令,,.证毕
(3)令
,且需在区间内恒成立
,可得
事实上,当时,,下证:
法一:,
令,则在单调递减,
由于,,
存在使在单调递增,单调递减,且.
,
在递减,递增,,
在区间内恒成立,
当时,在区间内恒成立,且在内有唯一解,证毕.
法二:
令,则,所以递减,递增
,即,
在递减,递增,
- 14 -
在区间内恒成立
当时,在区间内恒成立,且在内有唯一解,证毕.
数学Ⅱ(附加题)
21. (1),,所以.
(2)设曲线上任意一点在矩阵对应变换作用下得到点,
则,所以.
又点在曲线上,所以,即.
所以曲线的方程为.
22.(1)因为的极坐标方程为,即,则,化简得,所以的直角坐标方程为.
参数方程消去参数,得的普通方程为.
(2)设,由点到直线的距离公式得,
由题意知,
当时,,得,
当时,,得,
所以或.
- 14 -
23.以为正交基建立如图所示的空间直角坐标系,
N
则,,,,.
(1)若P是线段A1B的中点,
则,,.
所以.
又,所以.
所以直线MP与直线AC所成的角的大小为.
(2)由,得.
设,,,
则,
所以,所以,所以.
设平面的法向量,
则,,
所以取.
因为,设直线与平面所成角为.
由,得.
所以,所以.
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24.
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